江苏省苏州市2020届高三上学期期中考试 数学 14页

‎2019～2020学年第一学期高三期中调研试卷 数　　学 ‎(满分160分，考试时间120分钟)‎ ‎2019．11‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1. 已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝________．‎ ‎2. 已知复数z满足＝i(i为虚数单位)，则复数z的实部为________．‎ ‎3. 已知向量a＝(x，2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则实数x的值是________．‎ ‎4. 函数y＝的定义域为________．‎ ‎5. 在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8，Sn是{an}的前n项和，则S5＝________．‎ ‎6. 已知tan α＝2，则的值为________．‎ ‎7. “x＞2”是“x＞1”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)‎ ‎8. 已知函数y＝sin 2x图象上的每个点向左平移φ(0＜φ＜)个单位长度得到函数y＝sin(2x＋)的图象，则φ的值为________．‎ ‎9. 设函数f(x)＝则不等式f(x＋2)＞f(x2)的解集为________．‎ ‎10. 已知函数f(x)＝ln x－的极小值大于0，则实数m的取值范围是________．‎ ‎11. 在各项都为正数的等差数列{an}中，已知a5＝3，则a3a7的最大值为________．‎ ‎12. 已知菱形ABCD的棱长为3，E为棱CD上一点且满足＝2.若·＝－6，则cos C＝________．‎ ‎13. 若方程cos(2x－)＝在(0，π)上的解为x1，x2，则cos(x1－x2)＝________．‎ ‎14. 已知函数f(x)＝3x2－x3，g(x)＝ex－1－a－ln x．若对于任意x1∈(0，3)，总是存在两个不同的x2，x3∈(0，3)，使得f(x1)＝g(x2)＝g(x3)，则实数a的取值范围是________．‎ 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. (本小题满分14分)‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝120°，c＝7，a－b＝2.‎ ‎(1) 求a，b的值；‎ ‎(2) 求sin(A＋C)的值．‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 已知向量a＝(cos x，cos x)，b＝(cos x，sin x)．‎ ‎(1) 若a∥b，x∈[0，]，求x的值；‎ ‎(2) 若f(x)＝a·b，x∈[0，]，求f(x)的最大值及相应x的值．‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ 已知等比数列{an}满足a2＝2，且a2，a3＋1，a4成等差数列．‎ ‎(1) 求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2) 设bn＝|an－2n＋1|，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆心为O.经测量AB＝4 m，BC＝ m，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF＝θ，矩形EFGH的面积为S.‎ ‎(1) 求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；‎ ‎(2) 求cos θ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 已知函数f(x)＝－.‎ ‎(1) 求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；‎ ‎(2) 求函数F(x)＝f(x)－x的极大值；‎ ‎(3) 若af(x)≤ln x对x∈(0，1]恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 已知数列{an}满足(n－1)an＋1＝nan－a1，n∈N*.‎ ‎(1) 求证：数列{an}为等差数列；‎ ‎(2) 设数列{an}的前n项和为Sn.若a2－a1＝1，且对任意的正整数n，都有＜＋＋＋…＋＜，求整数a1的值；‎ ‎(3) 设数列{bn}满足bn＝an＋.若a2－a1＝，且存在正整数s，t，使得as＋bt是整数，求|a1|的最小值.‎ 高三数学附加题试卷(一)　第页(共2页)(这是边文，请据需要手工删加)‎ ‎2019～2020学年第一学期高三期中调研试卷(一)‎ 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)‎ ‎21. 【选做题】 从A，B，C三小题中选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A. (选修42：矩阵与变换)‎ 已知二阶矩阵M＝的特征值λ＝－1所对应的一个特征向量为.‎ ‎(1) 求矩阵M；‎ ‎(2) 设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C′的方程为y2＝x，求曲线C的方程．‎ B. (选修44：坐标系与参数方程)‎ 已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos α＋2sin α(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数，0＜β＜)．若曲线C被直线l截得的弦长为，求β的值．‎ C. (选修45：不等式选讲)‎ 设正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥.‎ ‎【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22. 某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是，甲、丙二人都没有击中目标的概率是，乙、丙二人都击中目标的概率是.甲、乙、丙是否击中目标相互独立．‎ ‎(1) 求乙、丙二人各自击中目标的概率；‎ ‎(2) 设乙、丙二人中击中目标的人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎23. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AA1＝b，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BE＝BB1，C1F＝CC1.设λ＝.‎ ‎(1) 当λ＝3时，求异面直线AE与A1F所成角的大小；‎ ‎(2) 当平面AEF⊥平面A1EF时，求λ的值．‎ 高三数学试卷(一)参考答案　第页(共4页)‎ ‎2019～2020学年第一学期高三期中调研试卷(苏州)‎ 数学参考答案及评分标准 ‎1. {1，2}　2. －1　3. 1　4. (1，2)　5. 31　6. 　7. 充分不必要　8. 　9. (－1，2)‎ ‎10. (－∞，－)　11. 9　12. 　13. －　14. [1，e2－ln 3－4)‎ ‎15. 解：(1) 由余弦定理cos C＝，且c＝7，C＝120°得a2＋b2＋ab＝49.(3分)‎ 因为a－b＝2，所以b2＋2b－15＝0.(5分)‎ 因为b＞0，所以b＝3，a＝5.‎ 综上：a＝5，b＝3.(7分)‎ ‎(2) 由(1)知a＝5，b＝3，c＝7，所以cos B＝＝.(10分)‎ 因为B为△ABC的内角，所以sin B＝＝.(12分)‎ 因为sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B＝，‎ 所以sin(A＋C)的值为.(14分)‎ ‎16. 解：(1) 因为a＝(cos x，cos x)，b＝(cos x，sin x)，a∥b，‎ 所以cos xsin x＝cos2x，‎ 所以cos x(sin x－cos x)＝0，(2分)‎ 所以cos x＝0或sin x－cos x＝0，即cos x＝0或tan x＝.(4分)‎ 因为x∈，所以x＝或x＝.(6分)‎ ‎(2) 因为a＝(cos x，cos x)，b＝(cos x，sin x)，‎ 所以f(x)＝a·b＝cos2x＋cos xsin x(8分)‎ ‎＝＋sin 2x＝sin(2x＋)＋.(10分)‎ 因为x∈，所以2x＋∈，‎ 所以sin(2x＋)∈，所以f(x)∈，(12分)‎ 所以f(x)的最大值为，此时x＝.(14分)‎ ‎17. 解：(1) 设等比数列{an}的公比为q(不为0)，‎ 因为a2 ，a3＋1，a4成等差数列，所以2(a3＋1)＝a2＋a4.(1分)‎ 因为a2＝2，所以2(2q＋1)＝2＋2q2，‎ 解得q＝2或q＝0(舍去)，所以a1＝＝1，(3分)‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(5分)‎ ‎(2) 设cn＝an－2n＋1＝2n－1－2n＋1，‎ 所以cn＋1－cn＝2n－2(n＋1)＋1－(2n－1－2n＋1)＝2n－1－2，‎ 所以n≥3，cn＋1＞cn.(7分)‎ 因为c4＝1＞0，所以n≥4时，cn＞0，即n≥4时，bn＝cn＝2n－1－2n＋1.‎ 因为c1＝0，c2＝－1，c3＝－1，所以b1＝0，b2＝1，b3＝1，‎ 所以T1＝0，T2＝1，T3＝2.(10分)‎ 当n≥4时，Tn＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋bn＝(0＋1＋1)＋b4＋b5＋…＋bn ‎＝2＋(23＋24＋…＋2n－1)－(7＋9＋…＋2n－1)‎ ‎＝2＋－·(n－3)＝2n－n2＋3.(13分)‎ 综上，Tn＝(14分)‎ ‎18. 解：(1) 如图，作OP⊥CD分别交AB，GH于M，N.‎ 由四边形ABCD，EFGH是矩形，O为圆心，∠COD＝120°，‎ 所以OM⊥AB，ON⊥GH，点P，M，N分别为CD，AB，GH的中点，∠CON＝60°.‎ 在Rt△COP中，CP＝2，∠COP＝60°，‎ 所以OC＝，OP＝，‎ 所以OM＝OP－PM＝OP－BC＝.(3分)‎ 在Rt△ONG中，∠GON＝∠OGF＝θ，OG＝OC＝，‎ 所以GN＝sin θ，ON＝cos θ，‎ 所以GH＝2GN＝sin θ，GF＝MN＝ON－OM＝cos θ－，(6分)‎ 所以S＝GF·GH＝(cos θ－)·sin θ＝(4cos θ－1)sin θ，θ∈(0，)，‎ 所以S关于θ的函数关系式为S＝(4cos θ－1)sin θ，θ∈(0，)．(8分)‎ ‎(2) S′＝(4cos2θ－4sin2θ－cos θ)＝(8cos2θ－cos θ－4)．(10分)‎ 因为θ∈(0，)，所以cos θ∈(，1)，所以S′＝0，得cos θ＝∈(，1)．(12分)‎ 设θ0∈(0，)且cos θ0＝，‎ 所以由S′＞0，得0＜θ＜θ0，即S在(0，θ0)上单调递增，‎ 由S′＜0，得θ0＜θ＜，即S在(θ0，)上单调递减，(14分)‎ 所以当θ＝θ0时，S取得最大值，‎ 所以当cos θ＝时，矩形EFGH的面积S最大．(16分)‎ ‎19. 解：(1) 因为f(x)＝－，所以f′(x)＝＋，所以f′(1)＝1.(2分)‎ 因为y＝f(x)经过(1，0)，所以f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝x－1.(4分)‎ ‎(2) 因为F(x)＝－－x，x＞0，‎ 所以F′(x)＝＋－1，F′(x)在(0，＋∞)上递减．‎ 又F′(1)＝0，(5分)‎ 所以当x∈(0，1)时，F′(x)＞0，即F(x)在x∈(0，1)上递增；‎ 当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＜0，即F(x)在x∈(1，＋∞)上递减，(7分)‎ 所以在x＝1处，F(x)的极大值为F(1)＝－1.(8分)‎ ‎(3) 设g(x)＝ln x－af(x)＝ln x－a(－)，x∈(0，1]，‎ 所以g′(x)＝－(＋)＝.‎ ‎①当a≤0时，g′(x)＞0对x∈(0，1]恒成立，所以g(x)在(0，1]上递增．‎ 又g(1)＝0，所以∃x0∈(0，1)时，g(x0)＜0，这与af(x)≤ln x对x∈(0，1]恒成立矛盾；(10分)‎ ‎②当a≥1时，设φ(x)＝－a()2＋2－a，x∈(0，1]，Δ＝4－4a2≤0，所以φ(x)≤0，x∈(0，1]，所以g′(x)≤0对(0，1]恒成立，所以g(x)在(0，1]上递减．‎ 又g(1)＝0，所以g(x)≥0对x∈(0，1]恒成立，所以a≥1成立；(12分)‎ ‎③当0＜a＜1时，设φ(x)＝－a()2＋2－a，x∈(0，1]，Δ＝4－4a2＞0，解φ(x)＝0得两根为x1，x2，其中＝＞1，＝＝∈(0，1)，所以0＜x1＜1，x2＞1，所以x∈(x1，1)，φ(x)＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在(x1，1)上递增．‎ 又g(1)＝0，所以g(x1)＜0，这与af(x)≤ln x对x∈(0，1]恒成立矛盾．(15分)‎ 综上：a≥1.(16分)‎ ‎20. (1) 证明：因为(n－1)an＋1＝nan－a1，n∈N*　①，‎ 所以(n－2)an＝(n－1)an－1－a1，n≥2且n∈N*　②.‎ ‎①－②，得(n－1)an＋1－2(n－1)an＋(n－1)an－1＝0，n≥2且n∈N*，(2分)‎ 所以an＋1－2an＋an－1＝0，n≥2且n∈N*，‎ 所以an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1，‎ 所以数列{an}为等差数列．(4分)‎ ‎(2) 解：因为a2－a1＝1，所以{an}的公差为1.‎ 因为对任意的正整数n，都有＜＋＋＋…＋＜，‎ 所以＜＜，所以＜S1＜3，即＜a1＜3，‎ 所以a1＝1或2.(6分)‎ 当a1＝1时，a2＝2，S1＝1，S2＝3，‎ 所以＋＝1＋＝，这与题意矛盾，所以a1≠1；(7分)‎ 当a1＝2时，an＝n＋1，Sn＝＞0，＝＞，＋＋＋…＋＞恒成立．(8分)‎ 因为＝(－)，‎ ＋＋＋…＋＝(1－＋－＋－＋…＋－＋－＋－)＝(1＋＋－－－)＜＜.‎ 综上，a1的值为2.(10分)‎ ‎(3) 解：因为a2－a1＝，所以{an}的公差为，‎ 所以an＝a1＋(n－1)，所以bn＝a1＋n＋.(11分)‎ 由题意，设存在正整数s，t，使得as＋bt＝l，l∈Z，‎ 则a1＋－＋a1＋＋＝l，即20a1＝2(5l－s－t)＋1.‎ 因为5l－s－t∈Z，所以2(5l－s－t)是偶数，所以|20a1|≥1，所以|a1|≥.(14分)‎ 当a1＝时，b4＝，所以存在a1＋b4＝1∈Z.‎ 综上，|a1|的最小值为.(16分)‎