数学理卷·2018届四川省雅安市高三下学期三诊考试（2018 12页

‎2018届四川省雅安市高三下学期三诊 数学（理）试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.若复数满足，则的虚数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，半径等于米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（ ）‎ A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 ‎4.若实数，满足，则目标函数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知展开式的各个二项式系数的和为，则的展开式中的系数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.执行如图的程序框图，如果输入，则输出的（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两条渐近线于，两点，若为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知、、是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数只有一个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）.若，其中，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.函数的图象在区间上的对称轴方程为 ．‎ ‎14.已知数列是等差数列，数列是等比数列，满足：，，则 ．‎ ‎15.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表所示.若根据表中数据得出的线性回归方程为，则表中空格处的值为 ．‎ ‎16.已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是 ．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（2）在中，三内角，，的对边分别为，，，已知，若，且，求的值.‎ ‎18.某校初一年级全年级共有名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分已被损毁），统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级人中抽出人来作进一步调查.‎ ‎（1）从抽出的人中选出人来担任正副组长，求这两个组长中至少有一人的阅读量少于万字的概率；‎ ‎（2）为进一步了解广泛阅读对今后学习的影响，现从抽出的人中挑选出阅读量低于万字和高于万字的同学，再从中随机选出人来长期跟踪调查，求这人中来自阅读量为万到万字的人数的概率分布列和期望值.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面，为的中点，底面为直角梯形，，，且.‎ ‎（1）求证：平面，平面平面；‎ ‎（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.‎ ‎20.已知椭圆：过点，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过的直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设为整数，且对于任意正整数.若恒成立，求的最小值.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为：（为参数）.‎ ‎（1）求圆和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）点的极坐标为，直线与圆相交于，，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数（其中）.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.‎ 雅安市高中2015级第三次诊断性考试 数学试题(理科)参考答案 一、选择题 ‎1-5: CBBCA 6-10: BDCDA 11、12：DA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解答：‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）最小正周期：， ‎ 由可解得：，‎ 所以的单调递增区间为：;‎ ‎（Ⅱ）由可得：‎ 而所以， ‎ 又因为， ‎ 而，‎ ‎，.‎ ‎18. 解答：(1)设阅读量为5万到7万的小矩形的面积为，阅读量为7万到9万的小矩形的面积为 则： ，‎ 可得，‎ 按分层抽样的方法在各段抽得的人数依次为：2人，4人，6人，5人，3人.‎ 或或或，‎ 从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率为.‎ ‎(2) 设3人中来自阅读量为11万到13万的人数为随机变量 由题意知随机变量的所有可能的取值为1，2，3‎ ‎ ‎ 故的分布列为 ‎，‎ 这3人来自阅读量为11万到13万的人数的期望值为. ‎ ‎19．（1）证明：‎ 设中点是，连接则，‎ ‎，‎ 为平行四边形，‎ ‎，‎ 平面，平面，‎ 平面，‎ 为直角梯形，，，且，‎ ‎，‎ ‎，‎ 底面，‎ ‎，‎ ‎，‎ 底面，‎ 底面，‎ 平面平面.‎ ‎（2）与平面所成角的正弦值为，‎ ‎，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系 平面的法向量，‎ 平面的法向量，‎ ‎.‎ 二面角的余弦值为.‎ ‎20.解答：（1）椭圆E：过点，且离心率为 ‎ ，‎ 即，‎ 椭圆E的方程.‎ ‎(Ⅱ)当的斜率为时，显然G与以线段AB为直径的圆的外面，‎ 当的斜率不为时，设的方程为：，点AB中点为．‎ 由得，‎ 所以 从而. ‎ 所以.‎ ‎，‎ 故，‎ 所以，故G在以AB为直径的圆外． ‎ 解法二：(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)当的斜率为时，显然G与以线段AB为直径的圆的外面，‎ 当的斜率不为时，设的方程为：，设点，‎ 则，‎ 由得，‎ ‎. ‎ ‎，‎ 又不共线，所以为锐角，‎ 故点G在以AB为直径的圆外．‎ ‎21．解：（1）=a-a=a( ，‎ 当a>0时，令>0，解得x>0f（x）在(0，)上单调递增，‎ 当a=0时，显然无单调区间，‎ 当a<0时，令>0，解得x>0f（x）在(0，)上单调递增，‎ 综上：当a=0时，无单调区间，a时，减区间为，增区间为(0，) .‎ ‎（2）令a=1，由（1）可知f（x）的最小值为f(0)=0，‎ f（x），‎ ‎(当时取得“=”)，‎ 令x=n-1， >，‎ 所以，‎ 所以，‎ 两边进行次方得，‎ 所以m的最小值为3.‎ 选考题： ‎ ‎22、解：圆的直角坐标方程为，‎ 代入圆得：，‎ 化简得圆的极坐标方程：，‎ 由得，‎ 的极坐标方程为即.‎ ‎（2）由得点的直角坐标为，‎ 直线的参数的标准方程可写成（为参数），‎ 代入圆得：，‎ 化简得：，‎ ‎    ，‎ ‎.‎ ‎23解:‎ 解：（1）当时，函数，‎ 则不等式为， ‎ ① 时，原不等式为，解得：； ‎ ‎②当时，原不等式为，解得：.此时不等式无解； ‎ ‎③当时，原不等式为，解得：， ‎ 原不等式的解集为.‎ 方法二：当时，函数，画出函数的图象，如图：‎ 结合图象可得原不等式的解集为.‎ ‎（2）不等式即为，‎ 即关于的不等式恒成立.‎ 而，‎ 所以， ‎ 解得或，‎ 解得或.‎ 所以的取值范围是.‎