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  • 2021-06-30 发布

2019届二轮复习(文)解三角形问题学案(全国通用)

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‎【母题原题1】【2018新课标1,文16】△的内角的对边分别为,已知,,则△的面积为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用正弦定理将题中的式子化为,化简求得,利用余弦定理,结合题中的条件,可以得到,可以断定A为锐角,从而求得,进一步求得,利用三角形面积公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用,属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2)‎ ‎,同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.‎ ‎【母题原题2】【2017新课标1,文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,a=2,c=,则C=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵a>c,‎ ‎∴C=,‎ 故选:B.‎ 点睛:本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式,属于难题.在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 ‎ 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 学 ‎ ‎【母题原题3】【2016新课标1,文4】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知, , ,则b=‎ ‎(A)(B)(C)2 (D)3‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析:由余弦定理得,解得(舍去),选D.‎ ‎【考点】余弦定理 ‎【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记!‎ ‎【命题意图】学 ]‎ ‎1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.‎ ‎2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题.‎ ‎【命题规律】‎ ‎1.===2R,其中R是三角形外接圆的半径.‎ 由正弦定理可以变形:(1) a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;(2) a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.‎ ‎2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.‎ 变形:cos A=,cos B=,cos C=.‎ ‎3.在△ABC中,已知a,b和A解三角形时,解的情况 ]‎ A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b ‎ a≥b a>b a≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 ‎4.三角形常用的面积公式 ‎(1)S=a·ha(ha表示a边上的高).(2)S=absinC=acsinB=bcsinA=.‎ ‎(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径). ]‎ ‎【方法总结】 学 ‎ ‎1.三角形中常见的结论 ‎ (1)A+B+C=π. (2)在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.‎ ‎(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.‎ ‎(4)三角形内的诱导公式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;‎ tan(A+B)=-tan C;sin=cos;cos=sin.‎ ‎(6)在△ABC中,A,B,C成等差数列的充要条件是B=60° .‎ ‎(7)△ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列且a,b,c成等比数列.‎ ‎2.判定三角形形状的两种常用途径 ‎ (1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.‎ (2) 利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断.‎ ‎1.【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试】在中,内角的对边分别为.若,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵‎ ‎∴根据正弦定理可得,即 ‎∵‎ ‎∴,即 ‎∵‎ ‎∴,即为锐角 ‎∴‎ 故选A ‎2.【广西钦州市2018届高三第三次质量检测】在中,,,,则的值为( )‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D 点睛:本题主要考查了正弦定理解三角形,着重考查了推理与运算能力,试题比较基础,属于基础题.‎ ‎3.【长春市普通高中2018-2019届高三质量监测(一)】在中,内角、、的对边分别为、、,若,则角为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由利用正弦定理、结合诱导公式可得,从而可得.‎ ‎【详解】 学 ‎ ‎【点睛】‎ 题主要考查正弦定理在解三角形中的应用,属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下三种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径 学 ‎ ‎4.【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷(五)】在中,,若,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,由向量线性运算法则可得=,即可得P为△ABC的重心,则有++=,由正弦定理分析sinB•+2sinA•+3sinC•=可得b•+2a•+3c•=,由向量减法法则可得b(﹣)+2a•+3c•=,即b•+(2a﹣b)+3c•=,由平面向量基本定理可得,解可得a=b=3c,由余弦定理计算可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎:根据题意,如图,在△ABC中,设D为BC的中点,‎ 有+=2,‎ ‎【考点】‎ 向量、三角形重心性质、余弦定理.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理和正弦定理的应用,涉及平面向量基本定理,关键是明确a、b、c的具体关系.‎ ‎5.【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第八次模拟考试】设的三个内角所对的边分别为,如果,且,那么外接圆的半径为 A. 1 B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】 学 ]‎ ‎【分析】‎ 首先根据题中所给的三角形的边所满足的条件,结合余弦定理,求得,结合三角形内角的取值范围,求得,再结合正弦定理,从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,‎ 化为,‎ 所以,又因为,所以,‎ 由正弦定理可得,所以,故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关解三角形问题,涉及到的知识点有余弦定理,正弦定理,在解题的过程中,需要对题的条件进行认真分析,求得结果. 学 ‎ ‎6.【福建省莆田第九中学2018届高三高考模拟】在中,角的对边分别为,若,,则( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理和余弦定理,意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.‎ ‎7.【东北师范大学附属中学2018届高三第五次模拟考试】在中,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合正弦定理首先求得b的值,然后利用余弦定理求解c的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可得,‎ 且,‎ 由余弦定理可得:.‎ ‎【点睛】‎ 在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.‎ ‎8.【河南省巩义市市直高中2018届高三下学期模拟考试】已知,是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左支交于点,与右支交于点,若,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:先利用双曲线的定义求出,再利用余弦定理求出,再利用双曲线的定义判 ‎.‎ 点睛:处理椭圆或双曲线上的点到焦点的距离时,往往利用椭圆或双曲线的定义合理转化,如本题中两次利用双曲线的定义,第一次是求得,第二次是结合、判定三角形的形状. 学 ‎ ‎9.【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考试】已知锐角的三个内角的对边分别为,若 ‎,则的值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎∴,解得,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 即的值范围是.‎ 点睛:三角形中的最值问题,一般利用正、余弦定理将变化为角,转化为三角函数的最值问题求解,解题过程中要注意角的取值范围,如在本题中要通过“锐角三角形”这一条件得到角A的取值范围.‎ ‎10.【山东省烟台市2018届高三高考适应性练习(二)】在中,内角所对的边分别为,若,,则的值为( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛:在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.‎ ‎11.【山东省潍坊市2017-2018学年高二5月份统一检测】的内角,,的对边分别为,,,且,则为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 点睛:本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,属基础题.‎ ‎12.【安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考】在中,内角的对边分别为,,,,则( )‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得外接圆半径,然后结合合分比的性质求解的值即可. 学 ‎ ‎【详解】‎ 由三角形面积公式可得:,即,解得:,‎ 结合余弦定理可得:,则 由正弦定理有:,‎ 结合合分比定理可得: .‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理、余弦定理及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎13.【甘肃省师大附中2018-2019学年上学期高三期中模拟】在锐角中,,则的取值范围是 ‎( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合余弦函数的图像与性质可得 ‎ 。答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定量、二角和的正弦公式、二部角公式及余弦函数的图像与性质,综合性较强,考查了学生的转化能力,数学运算能力,逻辑推理能力及创新能力,属于中档题。‎ ‎14.【山东、湖北部分重点中学2018届高三高考冲刺模拟考试(二)】我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇:“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?” ‎ ‎(参考译文:假设测量海岛,立两根标杆,高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, ‎ 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少? 岛与前标杆相距多远?)(丈、步为古时计量单位,三丈=5步).则海岛高度为( )‎ A. 1055步 B. 1255步 C. 1550步 D. 2255步 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图,设岛高步,与前标杆相距步,则有解得步,即海岛高度为步,故选B.‎ ‎15.【安徽省江南十校2018届高三冲刺联考(二模)】在中,角,,所对的边分别为,,,且是和的等差中项,,,则周长的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:由得B角是钝角,由等差中项定义得A为60°,再根据正弦定理把周长用三角函数表示后可求得范围.‎ 点睛:本题考查解三角形的应用,解题时只要把三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出来,结合三角函数的恒等变换可求得取值范围.解题易错的是向量的夹角是B角的外角,而不是B角,要特别注意向量夹角的定义.‎

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