安徽省安庆市桐城市某中学2019-2020学年高三第三次模拟考试数学（理）试卷 10页

数学模拟试卷 一、填空题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为______． ‎ 2. 执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是______． ‎ 3. 甲、乙、丙、丁4名志愿者参加两个小区防控值班，每个小区去两人，则“甲、乙两人恰好在同一个小区”的概率为______．‎ 4. 函数f(x)=‎lg‎2‎x-1‎的定义域为______．‎ 5. 己知双曲线x‎2‎‎4‎‎-y‎2‎‎12‎=1‎的右准线与渐近线的交点在抛物线y‎2‎‎=2px上，则实数p的值为______．‎ 6. 已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为‎60°‎，侧面积为‎4‎‎7‎，则该棱锥的体积为______．‎ 7. 公比为正数的等比数列‎{an}‎的前n项和为Sn，a‎2‎‎=2‎，S‎4‎‎-5S‎2‎=0‎，则S‎6‎‎-‎S‎3‎的值为______．‎ 8. 在平面直角坐标系xOy中，己知圆C：x‎2‎‎+(y-1‎)‎‎2‎=1‎，圆C'‎：‎(x+2‎3‎‎)‎‎2‎+y‎2‎=6.‎直线l：y=kx+3‎与圆C相切，且与圆C'‎相交于A，B两点、，则弦AB的长为______．‎ 9. 将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π‎6‎个单位，得到函数g(x)‎的图象，则函数y=f(x)-g(x)‎在区间‎[0,π‎2‎]‎上的值域为______．‎ 1. 己知函数f(x)=x(‎2‎‎|x|‎-1)‎，若关于x的不等式f(x‎2‎-2x-2a)+f(ax-3)≤0‎对任意的x∈[1,3]‎恒成立，则实数a的取值范围是______．‎ 2. 如图，己知半圆．的直径AB=8‎，点P是弦AC：‎(‎包含端点A，C)‎上的动点，点Q在弧BC上．若‎△OAC是等边三角形，且满足OQ‎⋅OP=0‎，则OP‎⋅‎BQ的最小值为______．‎ 3. 记实数x‎1‎，x‎2‎，‎…‎，xn中的最大数为max{x‎1‎,x‎2‎,…,xn}‎，最小数为min{x‎1‎,x‎2‎,…,xn}.‎已知实数‎1≤x≤y且三数能构成三角形的三边长，若t=max{‎1‎x,xy,y}⋅min{‎1‎x,xy,y}‎，则t的取值范围是______ ．‎ 二、解答题（本大题共9小题，共126.0分）‎ 4. 已知‎△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m‎=(cosB,2cos‎2‎C‎2‎-1)‎，n‎=(c,b-2a)‎且m‎⋅n=0‎． ‎(1)‎求角C的大小； ‎(2)‎若‎△ABC的面积为‎2‎‎3‎，a+b=6‎，求c． ‎ 5. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥ABCD，且PA=AD，E，F分别是棱AB，PC的中点．求证： ‎(1)EF//‎平面PAD； ‎(2)‎平面PCE⊥‎平面PCD． ‎ 6. 如图，设点F‎2‎‎(1,0)‎为椭圆E：C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的右焦点，圆C：‎(x-a‎)‎‎2‎+y‎2‎=‎a‎2‎，过F‎2‎且斜率为k(k>0)‎的直线l交圆C于A，B两点，交椭圆E于点P，Q两点，已知当k=‎‎3‎时，AB=2‎‎6‎． ‎(1)‎求椭圆E的方程； ‎(2)‎当PF‎2‎=‎‎10‎‎3‎时，求‎△PQC的面积．‎ ‎ ‎ 1. 如图为某大江的一段支流，岸线l‎1‎与l‎2‎近似满足l‎1‎‎/​/‎l‎2‎，宽度为‎7km.‎圆O为江中的一个半径为2km的小岛，小镇A位于岸线‎1‎‎1‎上，且满足岸线l‎1‎‎⊥OA，OA=3km.‎现计划建造一条自小镇A经小岛O至对岸l‎2‎的水上通道ABC(‎图中粗线部分折线段，B在A右侧‎)‎，为保护小岛，BC段设计成与圆O相切．设‎∠ABC=π-θ(0<θ<π‎2‎).‎ ‎(1)‎试将通道ABC的长L表示成θ的函数，并指出定义域； ‎(2)‎若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？‎ ‎ ‎ 2. 已知函数f(x)=lnx+2ax(a∈R)‎，g(x)=x‎2‎+1-2f(x)‎ ‎(1)‎当a=-1‎时， ‎①‎求函数f(x)‎在点A(1,f(1))‎处的切线方程； ‎②‎比较f(m)‎与f(‎1‎m)‎的大小； ‎(2)‎当a>0‎时，若对‎∀x∈(1,+∞)‎时，g(x)≥0‎，且g(x)‎有唯一零点，证明：a<‎‎3‎‎4‎． ‎ 3. 若数列‎{an}‎满足：对于任意n∈N*‎，an‎+|an+1‎-an+2‎|‎均为数列‎{an}‎中的项，则称数列‎{an}‎为“T数列”． ‎(1)‎若数列‎{an}‎的前n项和Sn‎=2‎n‎2‎，n∈N*‎，求证：数列‎{an}‎为“T数列”； ‎(2)‎若公差为d的等差数列‎{an}‎为“T数列”，求d 的取值范围； ‎(3)‎若数列‎{an}‎为“T数列”，a‎1‎‎=1‎，且对于任意n∈N*‎，均有an‎a成立，求实数a的取值范围． 数学模拟试卷 ‎1.【答案】85 2.【答案】8 3.【答案】‎1‎‎3‎ 4.【答案】‎{x|00‎， 所以yP‎=-‎‎8‎‎3‎，‎∴P(-1,-‎8‎‎3‎)‎， 此时k=‎-‎8‎‎3‎-0‎‎-1-1‎=‎‎4‎‎3‎， 直线l的方程为y=‎4‎‎3‎(x-1)‎将其代入椭圆x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎8‎=1‎消去y并整理得：x‎2‎‎-‎4‎‎3‎x-‎7‎‎3‎=0‎， ‎∴xP+xQ=‎‎4‎‎3‎，‎∴xQ=‎4‎‎3‎-xP=‎4‎‎3‎+1=‎‎7‎‎3‎，‎∴yQ=‎4‎‎3‎(‎7‎‎3‎-1)=‎‎16‎‎9‎， ‎∴S‎△PQC=‎1‎‎2‎|F‎2‎C|(yQ-yP)=‎1‎‎2‎×2×(‎16‎‎9‎+‎8‎‎3‎)=‎‎40‎‎9‎． ‎ ‎16.【答案】解：‎(1)‎以A为坐标原点，直线l‎1‎为x轴建立如图所示平面直角坐标系， 设AB=a(a>0)‎，则B(a,0)‎，O(0,3)‎， l‎2‎：y=7‎． ‎∵∠ABC=π-θ(0<θ<π‎2‎)‎，‎∴‎直线BC的方程为y=tanθ(x-a)‎， 即x⋅tanθ-y-atanθ=0‎． ‎∵‎圆O与BC相切，‎∴‎|-3-atanθ|‎‎1+tan‎2‎θ=2‎， 即‎3cosθ+asinθcosθ‎=‎‎2‎cosθ，从而a=‎‎2-3cosθsinθ， 在直线BC的方程中，令y=7‎，得xC‎=a+‎7‎tanθ=a+‎‎7cosθsinθ， ‎∴BC=‎1+tan‎2‎θ|xB-xC|=‎1‎cosθ⋅‎7cosθsinθ=‎‎7‎sinθ． ‎∴L=AB+BC=a+‎7‎sinθ=‎‎9-3cosθsinθ． 当a=0‎时，cosθ=‎‎2‎‎3‎，设锐角θ‎0‎满足cosθ‎0‎=‎‎2‎‎3‎，则θ‎0‎‎<θ<‎π‎2‎． ‎∴L关于θ的函数为L=‎‎9-3cosθsinθ ‎，定义域为‎(θ‎0‎,π‎2‎)‎； ‎(2)‎由L(θ)=‎‎9-3cosθsinθ， 得L'(θ)=‎3sin‎2‎θ-(9-3cosθ)cosθsin‎2‎θ=‎3-9cosθsin‎2‎θ(θ‎0‎<θ<π‎2‎).‎ 令L'(θ)=0‎，得cosθ=‎‎1‎‎3‎， 设锐角θ‎1‎满足cosθ‎1‎=‎1‎‎3‎<‎‎2‎‎3‎，则θ‎1‎‎∈(θ‎0‎,π‎2‎)‎， ‎∴‎当cosθ=‎‎1‎‎3‎时，‎[L(θ)‎]‎min=‎9-3×‎‎1‎‎3‎‎2‎‎2‎‎3‎=6‎‎2‎． 故建造此通道最少需要‎6‎‎2‎百万元． ‎ ‎ 17.【答案】解：‎(1)①‎当a=-1‎时，f(x)=lnx-2x，f'(x)=‎1‎x-2‎，f'(1)=-1‎， 又A(1,2)‎，‎∴‎切线方程为y+2=-(x-1)‎，即x+y+1=0‎； ‎②‎令h(m)=f(m)-f(‎1‎m)=lnm-2m-(ln‎1‎m-‎2‎m)=2lnm-2m+‎‎2‎m， 则h'(m)=‎2‎m-2-‎2‎m‎2‎=-‎2(m‎2‎-m+1)‎m‎2‎<0‎， ‎∴h(m)‎在‎(0,+∞)‎上单调递减． 又h(1)=0‎， ‎∴‎当‎00‎，即f(m)>f(‎1‎m)‎； 当m=1‎时，h(m)=0‎，即f(m)=f(‎1‎m)‎； 当m>1‎时，h(m)<0‎，即f(m)0‎，‎∴a+a‎2‎‎+1‎>1‎， ‎∴g'(x)‎在‎(1,+∞)‎上有唯一零点x‎0‎‎=a+‎a‎2‎‎+1‎． 当x∈(1,x‎0‎)‎时，g'(x)<0‎，g(x)‎在‎(1,x‎0‎)‎上单调递减， 当x∈(x‎0‎,+∞)‎时，g'(x)>0‎，g(x)‎在‎(x‎0‎,+∞)‎上单调递增． ‎∴g(x‎)‎min=g(x‎0‎). ‎‎∵g(x)≥0‎在‎(1,+∞)‎恒成立，且g(x)=0‎有唯一解， ‎∴‎g'(x‎0‎)=0‎g(x‎0‎)=0‎，即‎2x‎0‎-‎2‎x‎0‎-4a=0‎x‎0‎‎2‎‎+1-2lnx‎0‎-4ax‎0‎=0‎， 消去a，得x‎0‎‎2‎‎+1-2lnx‎0‎-(2x‎0‎-‎2‎x‎0‎)x‎0‎=0‎， 即‎-2lnx‎0‎-x‎0‎‎2‎+3=0‎． 令h(x‎0‎)=-2lnx‎0‎-x‎0‎‎2‎+3‎，则h'(x‎0‎)=-‎2‎x‎0‎-2‎x‎0‎， ‎∵h'(x‎0‎)<0‎在‎(1,+∞)‎上恒成立，‎∴h(x‎0‎)‎在‎(1,+∞)‎上单调递减， 又h(1)=2>0‎，‎ h(2)=-2ln2-1<0‎‎，‎∴10)‎，则有an‎=1+(n-1)t， 由an‎t‎2‎-3t+1‎，‎①‎ n(t-2t‎2‎)>2t-t‎2‎-1.‎ ‎②‎ 若‎2t‎2‎-t<0‎，取正整数N‎0‎‎>‎t‎2‎‎-3t+1‎‎2t‎2‎-t， 则当n>‎N‎0‎时，n(2t‎2‎-t)<(2t‎2‎-t)‎ N‎0‎‎0‎，所以t=‎‎1‎‎2‎． 经检验当t=‎‎1‎‎2‎时，‎①②‎两式对于任意n∈N*‎恒成立， 所以数列‎{an}‎的通项公式为an‎=1+‎1‎‎2‎(n-1)=n+1‎‎2‎.‎     ‎………………………………(16‎分‎)‎ 19.【答案】解：‎(1)‎设M=‎abcd， 则abcd‎1‎‎1‎‎2‎‎=‎‎9‎‎4‎‎-2‎， abcd‎0‎‎1‎‎=‎‎-‎‎3‎‎2‎‎4‎， 所以： a+‎1‎‎2‎b=‎‎9‎‎4‎c+‎1‎‎2‎d=-‎‎3‎‎2‎b=-‎‎3‎‎2‎d=4‎， 解得：a=3‎，b=-‎‎3‎‎2‎，c=-‎‎7‎‎2‎，d=4‎． 则M=‎‎3‎‎-‎‎3‎‎2‎‎-‎‎7‎‎2‎‎4‎； ‎(2)‎设矩阵M的特征多项式为f(λ)‎， 可得f(λ)=λ-3‎‎3‎‎2‎‎4‎λ-4‎=(λ-3)(λ-4)-6=λ‎2‎-7λ+6‎， 令f(λ)=0‎，可得λ=1‎ 或λ=6‎．‎ ‎20.【答案】解：把直线方程lx=1+2ty=1-2t(t为参数‎)‎，转化为普通方程为x+y=2‎． 将圆C：ρ‎2‎‎+2ρcosθ-2ρsinθ=0‎转化为：x‎2‎‎+2x+y‎2‎-2y=0‎， 即：‎(x+1‎)‎‎2‎+(y-1‎)‎‎2‎=2‎． 圆C到直线l的距离d=‎2‎‎2‎=‎‎2‎， 所以直线l与C相切．‎ ‎21.【答案】解：由y=f(x)+g(x)=‎3x+6‎+‎‎14-x， 由柯西不等式可得‎(‎3‎⋅x+2‎+1⋅‎14-x‎)‎‎2‎≤(3+1)(x+2+14-x)=64‎， 即为‎3‎‎⋅x+2‎+1⋅‎14-x≤8‎， 当且仅当‎3‎‎1‎‎=‎x+2‎‎14-x，即x=10‎时，上式取得等号， 即有f(x)+g(x)‎的最大值为8， 存在实数x使f(x)+g(x)>a成立，即有a<8‎， 可得a的范围是‎(-∞,8)‎． ‎