高中数学必修1课时练习及详解第1章1_3_2第一课时知能优化训练 3页

‎ ‎ ‎1．下列命题中，真命题是(　　)‎ A．函数y＝是奇函数，且在定义域内为减函数 B．函数y＝x3(x－1)0是奇函数，且在定义域内为增函数 C．函数y＝x2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数 D．函数y＝ax2＋c(ac≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数 解析：选C.选项A中，y＝在定义域内不具有单调性；B中，函数的定义域不关于原点对称；D中，当a＜0时，y＝ax2＋c(ac≠0)在(0,2)上为减函数，故选C.‎ ‎2．奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为(　　)‎ A．10　　　　　　　　　 B．－10‎ C．－15 D．15‎ 解析：选C.f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)max＝f(6)＝8，f(x)min＝f(3)＝－1.∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×8＋1＝－15.‎ ‎3．f(x)＝x3＋的图象关于(　　)‎ A．原点对称 B．y轴对称 C．y＝x对称 D．y＝－x对称 解析：选A.x≠0，f(－x)＝(－x)3＋＝－f(x)，f(x)为奇函数，关于原点对称．‎ ‎4．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________.‎ 解析：∵f(x)是[3－a,5]上的奇函数，‎ ‎∴区间[3－a,5]关于原点对称，‎ ‎∴3－a＝－5，a＝8.‎ 答案：8‎ ‎1．函数f(x)＝的奇偶性为(　　)‎ A．奇函数　　　　　　　　 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：选D.定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称．‎ ‎2．下列函数为偶函数的是(　　)‎ A．f(x)＝|x|＋x B．f(x)＝x2＋ C．f(x)＝x2＋x D．f(x)＝ 解析：选D.只有D符合偶函数定义．‎ ‎3．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(　　)‎ A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数 C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数 解析：选D.设F(x)＝f(x)f(－x)‎ 则F(－x)＝F(x)为偶函数．‎ 设G(x)＝f(x)|f(－x)|，‎ 则G(－x)＝f(－x)|f(x)|.‎ ‎∴G(x)与G(－x)关系不定．‎ 设M(x)＝f(x)－f(－x)，‎ ‎∴M(－x)＝f(－x)－f(x)＝－M(x)为奇函数．‎ 设N(x)＝f(x)＋f(－x)，则N(－x)＝f(－x)＋f(x)．‎ N(x)为偶函数．‎ ‎4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，那么g(x)＝ax3＋bx2＋cx(　　)‎ A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数 解析：选A.g(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝xf(x)，g(－x)＝－x·f(－x)＝－x·f(x)＝－g(x)，所以g(x)＝ax3＋bx2＋cx是奇函数；因为g(x)－g(－x)＝2ax3＋2cx不恒等于0，所以g(－x)＝g(x)不恒成立．故g(x)不是偶函数．‎ ‎5．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点(　　)‎ A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a))‎ C．(－a，－f(a)) D．(a，f())‎ 解析：选C.∵f(x)是奇函数，‎ ‎∴f(－a)＝－f(a)，‎ 即自变量取－a时，函数值为－f(a)，‎ 故图象必过点(－a，－f(a))．‎ ‎6．f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时(　　)‎ A．f(x)≤2 B．f(x)≥2‎ C．f(x)≤－2 D．f(x)∈R 解析：选B.可画f(x)的大致图象易知当x≤0时，有f(x)≥2.故选B.‎ ‎7．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________.‎ 解析：f(x)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，‎ ‎∴1－a＝0，a＝1.‎ 答案：1‎ ‎8．下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③f(x)＝0(x∈R)既是奇函数，又是偶函数；④偶函数的图象关于y轴对称．其中正确的命题是________．‎ 解析：偶函数的图象关于y轴对称，不一定与y轴相交，①错，④对；奇函数当x＝0无意义时，其图象不过原点，②错，③对．‎ 答案：③④‎ ‎9．①f(x)＝x2(x2＋2)；②f(x)＝x|x|；‎ ‎③f(x)＝＋；④f(x)＝.‎ 以上函数中的奇函数是________．‎ 解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R，‎ 又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，‎ ‎∴f(x)为偶函数．‎ ‎(2)∵x∈R，∴－x∈R，‎ 又∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)为奇函数．‎ ‎(3)∵定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，‎ ‎∴f(x)为非奇非偶函数．‎ ‎(4)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]‎ 即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1且－x≠0，‎ 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)．‎ ‎∴f(x)为奇函数．‎ 答案：②④‎ ‎10．判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)f(x)＝(x－1) ；(2)f(x)＝.‎ 解：(1)由≥0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，∴f(x)为非奇非偶函数．‎ ‎(2)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)，‎ 当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)，‎ 综上所述，对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)为奇函数．‎ ‎11．判断函数f(x)＝的奇偶性．‎ 解：由1－x2≥0得－1≤x≤1.‎ 由|x＋2|－2≠0得x≠0且x≠－4.‎ ‎∴定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．‎ ‎∵x∈[－1,0)∪(0,1]时，x＋2＞0，‎ ‎∴f(x)＝＝，‎ ‎∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)＝是奇函数．‎ ‎12．若函数f(x)的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立．试判断f(x)的奇偶性．‎ 解：在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝0，‎ 得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，‎ ‎∴f(0)＝0.‎ 再令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，‎ 即f(x)＋f(－x)＝0，‎ ‎∴f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．‎