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- 2021-06-30 发布
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第一章 解三角形
测试一 正弦定理和余弦定理
Ⅰ 学习目标
1.掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.
2.会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1.在△ABC中,若BC=,AC=2,B=45°,则角A等于( )
(A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150°
2.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,b=3,cosC=-,则c等于( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
3.在△ABC中,已知,AC=2,那么边AB等于( )
(A) (B) (C) (D)
4.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知B=30°,c=150,b=50,那么这个三角形是( )
(A)等边三角形 (B)等腰三角形
(C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形
5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,如果A∶B∶C=1∶2∶3,那么a∶b∶c等于( )
(A)1∶2∶3 (B)1∶∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶∶
二、填空题
6.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,B=45°,C=75°,则b=________.
7.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,b=2,c=4,则A=________.
8.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2cosBcosC=1-cosA,则△ABC形状是________三角形.
9.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=4,B=60°,则c=________.
10.在△ABC中,若tanA=2,B=45°,BC=,则 AC=________.
三、解答题
11.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,b=4,C=60°,试解△ABC.
12.在△ABC中,已知AB=3,BC=4,AC=.
(1)求角B的大小;
(2)若D是BC的中点,求中线AD的长.
13.如图,△OAB的顶点为O(0,0),A(5,2)和B(-9,8),求角A的大小.
14.在△ABC中,已知BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.
(1)求角C的度数;
(2)求AB的长;
(3)求△ABC的面积.
测试二 解三角形全章综合练习
Ⅰ 基础训练题
一、选择题
1.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=bc,则角A等于( )
(A) (B) (C) (D)
2.在△ABC中,给出下列关系式:
①sin(A+B)=sinC ②cos(A+B)=cosC ③
其中正确的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
3.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a=3,sinA=,sin(A+C)=,则b等于( )
(A)4 (B) (C)6 (D)
4.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=4,sinC=,则此三角形的面积是( )
(A)8 (B)6 (C)4 (D)3
5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,则此三角形的形状是( )
(A)直角三角形 (B)正三角形
(C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形
二、填空题
6.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=,b=2,B=45°,则角A=________.
7.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,b=3,c=,则角C=________.
8.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,c=4,cosA=,则此三角形的面积为________.
9.已知△ABC的顶点A(1,0),B(0,2),C(4,4),则cosA=________.
10.已知△ABC的三个内角A,B,C满足2B=A+C,且AB=1,BC=4,那么边BC上的中线AD的长为________.
三、解答题
11.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a=3,b=4,C=60°.
(1)求c;
(2)求sinB.
12.设向量a,b满足a·b=3,|a|=3,|b|=2.
(1)求〈a,b〉;
(2)求|a-b|.
13.设△OAB的顶点为O(0,0),A(5,2)和B(-9,8),若BD⊥OA于D.
(1)求高线BD的长;
(2)求△OAB的面积.
14.在△ABC中,若sin2A+sin2B>sin2C,求证:C为锐角.
(提示:利用正弦定理,其中R为△ABC外接圆半径)
Ⅱ 拓展训练题
15.如图,两条直路OX与OY相交于O点,且两条路所在直线夹角为60°,甲、乙两人分别在OX、OY上的A、B两点,| OA |=3km,| OB |=1km,两人同时都以4km/h的速度行走,甲沿方向,乙沿方向.
问:(1)经过t小时后,两人距离是多少(表示为t的函数)?
(2)何时两人距离最近?
16.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且.
(1)求角B的值;
(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.
第二章 数列
测试三 数列
Ⅰ 学习目标
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊的函数.
2.理解数列的通项公式的含义,由通项公式写出数列各项.
3.了解递推公式是给出数列的一种方法,能根据递推公式写出数列的前几项.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1.数列{an}的前四项依次是:4,44,444,4444,…则数列{an}的通项公式可以是( )
(A)an=4n (B)an=4n
(C)an=(10n-1) (D)an=4×11n
2.在有一定规律的数列0,3,8,15,24,x,48,63,……中,x的值是( )
(A)30 (B)35 (C)36 (D)42
3.数列{an}满足:a1=1,an=an-1+3n,则a4等于( )
(A)4 (B)13 (C)28 (D)43
4.156是下列哪个数列中的一项( )
(A){n2+1} (B){n2-1} (C){n2+n} (D){n2+n-1}
5.若数列{an}的通项公式为an=5-3n,则数列{an}是( )
(A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对
二、填空题
6.数列的前5项如下,请写出各数列的一个通项公式:
(1)=________;
(2)0,1,0,1,0,…,an=________.
7.一个数列的通项公式是an=.
(1)它的前五项依次是________;
(2)0.98是其中的第________项.
8.在数列{an}中,a1=2,an+1=3an+1,则a4=________.
9.数列{an}的通项公式为(n∈N*),则a3=________.
10.数列{an}的通项公式为an=2n2-15n+3,则它的最小项是第________项.
三、解答题
11.已知数列{an}的通项公式为an=14-3n.
(1)写出数列{an}的前6项;
(2)当n≥5时,证明an<0.
12.在数列{an}中,已知an=(n∈N*).
(1)写出a10,an+1,;
(2)79是否是此数列中的项?若是,是第几项?
13.已知函数,设an=f(n)(n∈N+).
(1)写出数列{an}的前4项;
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?
测试四 等差数列
Ⅰ 学习目标
1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式,并能解决一些简单问题.
2.掌握等差数列的前n项和公式,并能应用公式解决一些简单问题.
3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能体会等差数列与一次函数的关系.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1.数列{an}满足:a1=3,an+1=an-2,则a100等于( )
(A)98 (B)-195 (C)-201 (D)-198
2.数列{an}是首项a1=1,公差d=3的等差数列,如果an=2008,那么n等于( )
(A)667 (B)668 (C)669 (D)670
3.在等差数列{an}中,若a7+a9=16,a4=1,则a12的值是( )
(A)15 (B)30 (C)31 (D)64
4.在a和b(a≠b)之间插入n个数,使它们与a,b组成等差数列,则该数列的公差为( )
(A) (B) (C) (D)
5.设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和,则( )
(A)S4<S5 (B)S4=S5 (C)S6<S5 (D)S6=S5
二、填空题
6.在等差数列{an}中,a2与a6的等差中项是________.
7.在等差数列{an}中,已知a1+a2=5,a3+a4=9,那么a5+a6=________.
8.设等差数列{an}的前n项和是Sn,若S17=102,则a9=________.
9.如果一个数列的前n项和Sn=3n2+2n,那么它的第n项an=________.
10.在数列{an}中,若a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),设{an}的前n项和是Sn,则S10=________.
三、解答题
11.已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,a3=7,S4=24.求数列{an}的通项公式.
12.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a10=30,a20=50.
(1)求通项an;
(2)若Sn=242,求n.
13.数列{an}是等差数列,且a1=50,d=-0.6.
(1)从第几项开始an<0;
(2)写出数列的前n项和公式Sn,并求Sn的最大值.
Ⅲ 拓展训练题
14.记数列{an}的前n项和为Sn,若3an+1=3an+2(n∈N*),a1+a3+a5+…+a99=90,求S100.
测试五 等比数列
Ⅰ 学习目标
1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式,并能解决一些简单问题.
2.掌握等比数列的前n项和公式,并能应用公式解决一些简单问题.
3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能体会等比数列与指数函数的关系.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1.数列{an}满足:a1=3,an+1=2an,则a4等于( )
(A) (B)24 (C)48 (D)54
2.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5等于( )
(A)33 (B)72 (C)84 (D)189
3.在等比数列{an}中,如果a6=6,a9=9,那么a3等于( )
(A)4 (B) (C) (D)3
4.在等比数列{an}中,若a2=9,a5=243,则{an}的前四项和为( )
(A)81 (B)120 (C)168 (D)192
5.若数列{an}满足an=a1qn-1(q>1),给出以下四个结论:
①{an}是等比数列; ②{an}可能是等差数列也可能是等比数列;
③{an}是递增数列; ④{an}可能是递减数列.
其中正确的结论是( )
(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
二、填空题
6.在等比数列{an}中,a1,a10是方程3x2+7x-9=0的两根,则a4a7=________.
7.在等比数列{an}中,已知a1+a2=3,a3+a4=6,那么a5+a6=________.
8.在等比数列{an}中,若a5=9,q=,则{an}的前5项和为________.
9.在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________.
10.设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q=________.
三、解答题
11.已知数列{an}是等比数列,a2=6,a5=162.设数列{an}的前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若Sn=242,求n.
12.在等比数列{an}中,若a2a6=36,a3+a5=15,求公比q.
13.已知实数a,b,c成等差数列,a+1,b+1,c+4成等比数列,且a+b+c=15,求a,b,c.
Ⅲ 拓展训练题
14.在下列由正数排成的数表中,每行上的数从左到右都成等比数列,并且所有公比都等于q,每列上的数从上到下都成等差数列.aij表示位于第i行第j列的数,其中a24=,a42=1,a54=.
a11
a12
a13
a14
a15
…
a1j
…
a21
a22
a23
a24
a25
…
a2j
…
a31
a32
a33
a34
a35
…
a3j
…
a41
a42
a43
a44
a45
…
a4j
…
…
…
…
…
…
…
…
…
ai1
ai2
ai3
ai4
ai5
aij
…
…
…
…
…
…
…
…
(1)求q的值;
(2)求aij的计算公式.
测试六 数列求和
Ⅰ 学习目标
1.会求等差、等比数列的和,以及求等差、等比数列中的部分项的和.
2.会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1.已知等比数列的公比为2,且前4项的和为1,那么前8项的和等于( )
(A)15 (B)17 (C)19 (D)21
2.若数列{an}是公差为的等差数列,它的前100项和为145,则a1+a3+a5+…+a99的值为( )
(A)60 (B)72.5 (C)85 (D)120
3.数列{an}的通项公式an=(-1)n-1·2n(n∈N*),设其前n项和为Sn,则S100等于( )
(A)100 (B)-100 (C)200 (D)-200
4.数列的前n项和为( )
(A) (B) (C) (D)
5.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且an+2=an+3(n=1,2,3,…),则S100等于( )
(A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950
二、填空题
6.=________.
7.数列{n+}的前n项和为________.
8.数列{an}满足:a1=1,an+1=2an,则a+a+…+a=________.
9.设n∈N*,a∈R,则1+a+a2+…+an=________.
10.=________.
三、解答题
11.在数列{an}中,a1=-11,an+1=an+2(n∈N*),求数列{|an|}的前n项和Sn.
12.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*,x∈R),且对一切正整数n都有f(1)=n2成立.
(1)求数列{an}的通项an;
(2)求.
13.在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an=,求数列的前n项和Sn.
Ⅲ 拓展训练题
14.已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=anxn(x∈R),求数列{bn}的前n项和公式.
测试七 数列综合问题
Ⅰ 基础训练题
一、选择题
1.等差数列{an}中,a1=1,公差d≠0,如果a1,a2,a5成等比数列,那么d等于( )
(A)3 (B)2 (C)-2 (D)2或-2
2.等比数列{an}中,an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5等于( )
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
3.如果a1,a2,a3,…,a8为各项都是正数的等差数列,公差d≠0,则( )
(A)a1a8>a4a5 (B)a1a8<a4a5
(C)a1+a8>a4+a5 (D)a1a8=a4a5
4.一给定函数y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意a1∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an(n∈N*),则该函数的图象是( )
5.已知数列{an}满足a1=0,(n∈N*),则a20等于( )
(A)0 (B)- (C) (D)
二、填空题
6.设数列{an}的首项a1=,且则a2=________,a3=________.
7.已知等差数列{an}的公差为2,前20项和等于150,那么a2+a4+a6+…+a20
=________.
8.某种细菌的培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3个小时,这种细菌可以由1个繁殖成________个.
9.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+3n(n∈N*),则an=________.
10.在数列{an}和{bn}中,a1=2,且对任意正整数n等式3an+1-an=0成立,若bn是an与an+1的等差中项,则{bn}的前n项和为________.
三、解答题
11.数列{an}的前n项和记为Sn,已知an=5Sn-3(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求a1+a3+…+a2n-1的和.
12.已知函数f(x)=(x>0),设a1=1,a·f(an)=2(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
13.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的范围;
(2)指出S1,S2,…,S12中哪个值最大,并说明理由.
Ⅲ 拓展训练题
14.甲、乙两物体分别从相距70m的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m,以后每分钟比前1分钟多走1m,乙每分钟走5m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1m,乙继续每分钟走5m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?
15.在数列{an}中,若a1,a2是正整数,且an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,…则称{an}为“绝对差数列”.
(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);
(2)若“绝对差数列”{an}中,a1=3,a2=0,试求出通项an;
(3)*证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
测试八 数列全章综合练习
Ⅰ 基础训练题
一、选择题
1.在等差数列{an}中,已知a1+a2=4,a3+a4=12,那么a5+a6等于( )
(A)16 (B)20 (C)24 (D)36
2.在50和350间所有末位数是1的整数和( )
(A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)4877
3.若a,b,c成等比数列,则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定
4.在等差数列{an}中,如果前5项的和为S5=20,那么a3等于( )
(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4
5.若{an}是等差数列,首项a1>0,a2007+a2008>0,a2007·a2008<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是( )
(A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015
二、填空题
6.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项an=________.
7.等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和S20=________.
8.数列{an}的前n项和记为Sn,若Sn=n2-3n+1,则an=________.
9.等差数列{an}中,公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则=________.
10.设数列{an}是首项为1的正数数列,且(n+1)a-na+an+1an=0(n∈N*),则它的通项公式an=________.
三、解答题
11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S13.
12.已知数列{an}中,a1=1,点(an,an+1+1)(n∈N*)在函数f(x)=2x+1的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)设cn=Sn,求数列{cn}的前n项和Tn.
13.已知数列{an}的前n项和Sn满足条件Sn=3an+2.
(1)求证:数列{an}成等比数列;
(2)求通项公式an.
14.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船,用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.
(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用);
(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)?
(3)若当盈利总额达到最大值时,渔船以8万元卖出,那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元?
Ⅱ 拓展训练题
15.已知函数f(x)=(x<-2),数列{an}满足a1=1,an=f(-)(n∈N*).
(1)求an;
(2)设bn=a+a+…+a,是否存在最小正整数m,使对任意n∈N*有bn<成立?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.
16.已知f是直角坐标系平面xOy到自身的一个映射,点P在映射f下的象为点Q,记作Q=f(P).
设P1(x1,y1),P2=f(P1),P3=f(P2),…,Pn=f(Pn-1),….如果存在一个圆,使所有的点Pn(xn,yn)(n∈N*)都在这个圆内或圆上,那么称这个圆为点Pn(xn,yn)的一个收敛圆.特别地,当P1=f(P1)时,则称点P1为映射f下的不动点.
若点P(x,y)在映射f下的象为点Q(-x+1,y).
(1)求映射f下不动点的坐标;
(2)若P1的坐标为(2,2),求证:点Pn(xn,yn)(n∈N*)存在一个半径为2的收敛圆.
第三章 不等式
测试九 不等式的概念与性质
Ⅰ 学习目标
1.了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景,掌握用作差的方法比较两个代数式的大小.
2.理解不等式的基本性质及其证明.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1.设a,b,c∈R,则下列命题为真命题的是( )
(A)a>ba-c>b-c (B)a>bac>bc
(C)a>ba2>b2 (D)a>bac2>bc2
2.若-1<a<b<1,则a-b 的取值范围是( )
(A)(-2,2) (B)(-2,-1) (C)(-1,0) (D)(-2,0)
3.设a>2,b>2,则ab与a+b的大小关系是( )
(A)ab>a+b (B)ab<a+b (C)ab=a+b (D)不能确定
4.使不等式a>b和同时成立的条件是( )
(A)a>b>0 (B)a>0>b (C)b>a>0 (D)b>0>a
5.设1<x<10,则下列不等关系正确的是( )
(A)lg2x>lgx2>lg(lgx) (B)lg2x>lg(lgx)>lgx2
(C)lgx2>lg2x>1g(lgx) (D)lgx2>lg(lgx)>lg2x
二、填空题
6.已知a<b<0,c<0,在下列空白处填上适当不等号或等号:
(1)(a-2)c________(b-2)c; (2)________; (3)b-a________|a|-|b|.
7.已知a<0,-1<b<0,那么a、ab、ab2按从小到大排列为________.
8.已知60<a<84,28<b<33,则a-b的取值范围是________;的取值范围是________.
9.已知a,b,c∈R,给出四个论断:①a>b;②ac2>bc2;③;④a-c>b-c.以其中一个论断作条件,另一个论断作结论,写出你认为正确的两个命题是________________;________________.(在“”的两侧填上论断序号).
10.设a>0,0<b<1,则P=与的大小关系是________.
三、解答题
11.若a>b>0,m>0,判断与的大小关系并加以证明.
12.设a>0,b>0,且a≠b,.证明:p>q.
注:解题时可参考公式x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2).
Ⅲ 拓展训练题
13.已知a>0,且a≠1,设M=loga(a3-a+1),N=loga(a2-a+1).求证:M>N.
14.在等比数列{an}和等差数列{bn}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3,试比较a5和b5的大小.
测试十 均值不等式
Ⅰ 学习目标
1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1.已知正数a,b满足a+b=1,则ab( )
(A)有最小值 (B)有最小值 (C)有最大值 (D)有最大值
2.若a>0,b>0,且a≠b,则( )
(A) (B)
(C) (D)
3.若矩形的面积为a2(a>0),则其周长的最小值为( )
(A)a (B)2a (C)3a (D)4a
4.设a,b∈R,且2a+b-2=0,则4a+2b的最小值是( )
(A) (B)4 (C) (D)8
5.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么( )
(A)ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一
(B)ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一
(C)ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一
(D)ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一
二、填空题
6.若x>0,则变量的最小值是________;取到最小值时,x=________.
7.函数y=(x>0)的最大值是________;取到最大值时,x=________.
8.已知a<0,则的最大值是________.
9.函数f(x)=2log2(x+2)-log2x的最小值是________.
10.已知a,b,c∈R,a+b+c=3,且a,b,c成等比数列,则b的取值范围是________.
三、解答题
11.四个互不相等的正数a,b,c,d成等比数列,判断和的大小关系并加以证明.
12.已知a>0,a≠1,t>0,试比较logat与的大小.
Ⅲ 拓展训练题
13.若正数x,y满足x+y=1,且不等式恒成立,求a的取值范围.
14.(1)用函数单调性的定义讨论函数f(x)=x+(a>0)在(0,+∞)上的单调性;
(2)设函数f(x)=x+(a>0)在(0,2]上的最小值为g(a),求g(a)的解析式.
测试十一 一元二次不等式及其解法
Ⅰ 学习目标
1.通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
2.会解简单的一元二次不等式.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1.不等式5x+4>-x2的解集是( )
(A){x|x>-1,或x<-4 (B){x|-4<x<-1
(C){x|x>4,或x<1 (D){x|1<x<4
2.不等式-x2+x-2>0的解集是( )
(A){x|x>1,或x<-2 (B){x|-2<x<1}
(C)R (D)
3.不等式x2>a2(a<0)的解集为( )
(A){x|x>±a} (B){x|-a<x<a
(C){x|x>-a,或x<a (D){x|x>a,或x<-a}
4.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则不等式cx2+bx+a<0的解集是( )
(A){x|-3<x< (B){x|x<-3,或x>
(C){x-2<x< (D){x|x<-2,或x>
5.若函数y=px2-px-1(p∈R)的图象永远在x轴的下方,则p的取值范围是( )
(A)(-∞,0) (B)(-4,0] (C)(-∞,-4) (D)[-4,0)
二、填空题
6.不等式x2+x-12<0的解集是________.
7.不等式的解集是________.
8.不等式|x2-1|<1的解集是________.
9.不等式0<x2-3x<4的解集是________.
10.已知关于x的不等式x2-(a+)x+1<0的解集为非空集合{x|a<x<},则实数a的取值范围是________.
三、解答题
11.求不等式x2-2ax-3a2<0(a∈R)的解集.
12.k在什么范围内取值时,方程组有两组不同的实数解?
Ⅲ 拓展训练题
13.已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6<0},B={x|x2+2x-8>0},C={x|x2-4ax+3a2<0}.
(1)求实数a的取值范围,使C (A∩B);
(2)求实数a的取值范围,使C (UA)∩(UB).
14.设a∈R,解关于x的不等式ax2-2x+1<0.
测试十二 不等式的实际应用
Ⅰ 学习目标
会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1.函数的定义域是( )
(A){x|-2<x<2 (B){x|-2≤x≤2
(C){x|x>2,或x<-2 (D){x|x≥2,或x≤-2
2.某村办服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p=300-2x,生产x件的成本r=500+30x(元),为使月获利不少于8600元,则月产量x满足( )
(A)55≤x≤60 (B)60≤x≤65
(C)65≤x≤70 (D)70≤x≤75
3.国家为了加强对烟酒生产管理,实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元,不征收附加税时,每年大约产销100万瓶;若政府征收附加税,每销售100元征税r元,则每年产销量减少10r万瓶,要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元,那么r的取值范围为( )
(A)2≤r≤10 (B)8≤r≤10
(C)2≤r≤8 (D)0≤r≤8
4.若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集是M,则对任意实常数k,总有( )
(A)2∈M,0∈M (B)2M,0M
(C)2∈M,0M (D)2M,0∈M
二、填空题
5.已知矩形的周长为36cm,则其面积的最大值为________.
6.不等式2x2+ax+2>0的解集是R,则实数a的取值范围是________.
7.已知函数f(x)=x|x-2|,则不等式f(x)<3的解集为________.
8.若不等式|x+1|≥kx对任意x∈R均成立,则k的取值范围是________.
三、解答题
9.若直角三角形的周长为2,求它的面积的最大值,并判断此时三角形形状.
10.汽车在行驶过程中,由于惯性作用,刹车后还要继续滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素,在一个限速为40km/h的弯道上,甲乙两车相向而行,发现情况不对同时刹车,但还是相撞了,事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.已知甲乙两种车型的刹车距离s(km)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问交通事故的主要责任方是谁?
Ⅲ 拓展训练题
11.当x∈[-1,3]时,不等式-x2+2x+a>0恒成立,求实数a的取值范围.
12.某大学印一份招生广告,所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm的空白,上下留有都为6cm的空白,中间排版面积为2400cm2.如何选择纸张的尺寸,才能使纸的用量最小?
测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
Ⅰ 学习目标
1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.
2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1.已知点A(2,0),B(-1,3)及直线l:x-2y=0,那么( )
(A)A,B都在l上方 (B)A,B都在l下方
(C)A在l上方,B在l下方 (D)A在l下方,B在l上方
2.在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3.三条直线y=x,y=-x,y=2围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是( )
(A) (B) (C) (D)
4.若x,y满足约束条件则z=2x+4y的最小值是( )
(A)-6 (B)-10 (C)5 (D)10
5.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有( )
(A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种
二、填空题
6.在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域内的点位于第________象限.
7.若不等式|2x+y+m|<3表示的平面区域包含原点和点(-1,1),则m
的取值范围是________.
8.已知点P(x,y)的坐标满足条件那么z=x-y的取值范围是________.
9.已知点P(x,y)的坐标满足条件那么的取值范围是________.
10.方程|x|+|y|≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________.
三、解答题
11.画出下列不等式(组)表示的平面区域:
(1)3x+2y+6>0 (2)
12.某实验室需购某种化工原料106kg,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35kg,价格为140元;另一种是每袋24kg,价格为120元.在满足需要的前提下,最少需要花费多少元?
Ⅲ 拓展训练题
13.商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖,准备混合在一起装成每袋1公斤出售,有两种混合办法:第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖,每袋可盈利0.5元;第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖,每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋,使所获利润最大?最大利润是多少?
14.甲、乙两个粮库要向A,B两镇运送大米,已知甲库可调出100吨,乙库可调出80吨,而A镇需大米70吨,B镇需大米110吨,两个粮库到两镇的路程和运费如下表:
路程(千米)
运费(元/吨·千米)
甲库
乙库
甲库
乙库
A镇
20
15
12
12
B镇
25
20
10
8
问:(1)这两个粮库各运往A、B两镇多少吨大米,才能使总运费最省?此时总运费是多少?
(2)最不合理的调运方案是什么?它给国家造成不该有的损失是多少?
测试十四 不等式全章综合练习
Ⅰ基础训练题
一、选择题
1.设a,b,c∈R,a>b,则下列不等式中一定正确的是( )
(A)ac2>bc2 (B) (C)a-c>b-c (D)|a|>|b|
2.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是( )
(A) (B)3 (C)4 (D)6
3.某房地产公司要在一块圆形的土地上,设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m,则这个矩形的面积最大值是( )
(A)50m2 (B)100m2 (C)200m2 (D)250m2
4.设函数f(x)=,若对x>0恒有xf(x)+a>0成立,则实数a的取值范围是( )
(A)a<1-2 (B)a<2-1 (C)a>2-1 (D)a>1-2
5.设a,b∈R,且b(a+b+1)<0,b(a+b-1)<0,则( )
(A)a>1 (B)a<-1 (C)-1<a<1 (D)|a|>1
二、填空题
6.已知1<a<3,2<b<4,那么2a-b的取值范围是________,的取值范围是________.
7.若不等式x2-ax-b<0的解集为{x|2<x<3},则a+b=________.
8.已知x,y∈R+,且x+4y=1,则xy的最大值为________.
9.若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围为________.
10.三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+|x3-5x2|≥ax在[1,12]上恒成立,求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.
甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”
乙说:“把不等式变形为左边含变量x的函数,右边仅含常数,求函数的最值.”
丙说:“把不等式两边看成关于x的函数,作出函数图象.”
参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a的取值范围是________.
三、解答题
11.已知全集U=R,集合A={x| |x-1|<6,B={x|>0}.
(1)求A∩B;
(2)求(UA)∪B.
12.某工厂用两种不同原料生产同一产品,若采用甲种原料,每吨成本1000元,运费500元,可得产品90千克;若采用乙种原料,每吨成本1500元,运费400元,可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元,运费不得超过2000元,问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克,才能使产品的日产量最大?
Ⅱ 拓展训练题
13.已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质P:对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与两数中至少有一个属于A.
(1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由;
(2)证明:a1=1,且.
测试十五 必修5模块自我检测题
一、选择题
1.函数的定义域是( )
(A)(-2,2) (B)(-∞,-2)∪(2,+∞)
(C)[-2,2] (D)(-∞,-2]∪[2,+∞)
2.设a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( )
(A)a-b<0 (B)0<<1
(C)< (D)ab>a+b
3.设不等式组所表示的平面区域是W,则下列各点中,在区域W内的点是( )
(A) (B)
(C) (D)
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列不等式中一定成立的是( )
(A)a1+a3>0 (B)a1a3>0 (C)S1+S3<0 (D)S1S3<0
5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c等于( )
(A)1∶∶2 (B)1∶2∶3 (C)2∶∶1 (D)3∶2∶1
6.已知等差数列{an}的前20项和S20=340,则a6+a9+a11+a16等于( )
(A)31 (B)34 (C)68 (D)70
7.已知正数x、y满足x+y=4,则log2x+log2y的最大值是( )
(A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2
8.如图,在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P,已知点P距测速区起点A的距离为0.08 km,距测速区终点B的距离为0.05 km,且∠APB=60°.现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3s,则此车的速度介于( )
(A)60~70km/h (B)70~80km/h
(C)80~90km/h (D)90~100km/h
二、填空题
9.不等式x(x-1)<2的解集为________.
10.在△ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,则cos(A+C)的值为________.
11.已知{an}是公差为-2的等差数列,其前5项的和S5=0,那么a1等于________.
12.在△ABC中,BC=1,角C=120°,cosA=,则AB=________.
13.在平面直角坐标系中,不等式组,所表示的平面区域的面积是________;变量z=x+3y的最大值是________.
14.如图,n2(n≥4)个正数排成n行n列方阵,符号aij(1≤i≤n,1≤j≤n,i,j∈N)表示位于第i行第j列的正数.已知每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,且各列数的公比都等于q.若a11=,a24=1,a32=,则q=________;aij=________.
三、解答题
15.已知函数f(x)=x2+ax+6.
(1)当a=5时,解不等式f(x)<0;
(2)若不等式f(x)>0的解集为R,求实数a的取值范围.
16.已知{an}是等差数列,a2=5,a5=14.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设{an}的前n项和Sn=155,求n的值.
17.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,A,B是锐角,c=10,且.
(1)证明角C=90°;
(2)求△ABC的面积.
18.某厂生产甲、乙两种产品,生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨,供电至多45千瓦,问该厂如何安排生产,使得该厂日产值最大?
用煤(吨)
用电(千瓦)
产值(万元)
甲种产品
7
2
8
乙种产品
3
5
11
19.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cosA=.
(1)求的值;
(2)若a=,求bc的最大值.
20.数列{an}的前n项和是Sn,a1=5,且an=Sn-1(n=2,3,4,…).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:
参考答案
第一章 解三角形
测试一 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1.B 2.C 3.B 4.D 5.B
提示:
4.由正弦定理,得sinC=,所以C=60°或C=120°,
当C=60°时,∵B=30°,∴A=90°,△ABC是直角三角形;
当C=120°时,∵B=30°,∴A=30°,△ABC是等腰三角形.
5.因为A∶B∶C=1∶2∶3,所以A=30°,B=60°,C=90°,
由正弦定理=k,
得a=k·sin30°=k,b=k·sin60°=k,c=k·sin90°=k,
所以a∶b∶c=1∶∶2.
二、填空题
6. 7.30° 8.等腰三角形 9. 10.
提示:
8.∵A+B+C=π,∴-cosA=cos(B+C).∴2cosBcosC=1-cosA=cos(B+C)+1,
∴2cosBcosC=cosBcosC-sinBsinC+1,∴cos(B-C)=1,∴B-C=0,即B=C.
9.利用余弦定理b2=a2+c2-2accosB.
10.由tanA=2,得,根据正弦定理,得,得AC=.
三、解答题
11.c=2,A=30°,B=90°.
12.(1)60°;(2)AD=.
13.如右图,由两点间距离公式,
得OA=,
同理得.由余弦定理,得
cosA=,
∴A=45°.
14.(1)因为2cos(A+B)=1,所以A+B=60°,故C=120°.
(2)由题意,得a+b=2,ab=2,
又AB2=c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC
=12-4-4×()=10.
所以AB=.
(3)S△ABC=absinC=·2·=.
测试二 解三角形全章综合练习
1.B 2.C 3.D 4.C 5.B
提示:
5.化简(a+b+c)(b+c-a)=3bc,得b2+c2-a2=bc,
由余弦定理,得cosA=,所以∠A=60°.
因为sinA=2sinBcosC,A+B+C=180°,
所以sin(B+C)=2sinBcosC,
即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC.
所以sin(B-C)=0,故B=C.
故△ABC是正三角形.
二、填空题
6.30° 7.120° 8. 9. 10.
三、解答题
11.(1)由余弦定理,得c=;
(2)由正弦定理,得sinB=.
12.(1)由a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉,得〈a,b〉=60°;
(2)由向量减法几何意义,
知|a|,|b|,|a-b|可以组成三角形,
所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2|a|·|b|·cos〈a,b〉=7,
故|a-b|=.
13.(1)如右图,由两点间距离公式,
得,
同理得.
由余弦定理,得
所以A=45°.
故BD=AB×sinA=2.
(2)S△OAB=·OA·BD=··2=29.
14.由正弦定理,
得.
因为sin2A+sin2B>sin2C,
所以,
即a2+b2>c2.
所以cosC=>0,
由C∈(0,π),得角C为锐角.
15.(1)设t小时后甲、乙分别到达P、Q点,如图,
则|AP|=4t,|BQ|=4t,因为|OA|=3,所以t=h时,P与O重合.
故当t∈[0,]时,
|PQ|2=(3-4t)2+(1+4t)2-2×(3-4t)×(1+4t)×cos60°;
当t>h时,|PQ|2=(4t-3)2+(1+4t)2-2×(4t-3)×(1+4t)×cos120°.
故得|PQ|=(t≥0).
(2)当t=时,两人距离最近,最近距离为2km.
16.(1)由正弦定理,
得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.
所以等式可化为,
即,
2sinAcosB+sinCcosB=-cosC·sinB,
故2sinAcosB=-cosCsinB-sinCcosB=-sin(B+C),
因为A+B+C=π,所以sinA=sin(B+C),
故cosB=-,
所以B=120°.
(2)由余弦定理,得b2=13=a2+c2-2ac×cos120°,
即a2+c2+ac=13
又a+c=4,
解得,或.
所以S△ABC=acsinB=×1×3×=.
第二章 数列
测试三 数列
一、选择题
1.C 2.B 3.C 4.C 5.B
二、填空题
6.(1)(或其他符合要求的答案) (2)(或其他符合要求的答案)
7.(1) (2)7 8.67 9. 10.4
提示:
9.注意an的分母是1+2+3+4+5=15.
10.将数列{an}的通项an看成函数f(n)=2n2-15n+3,利用二次函数图象可得答案.
三、解答题
11.(1)数列{an}的前6项依次是11,8,5,2,-1,-4;
(2)证明:∵n≥5,∴-3n<-15,∴14-3n<-1,
故当n≥5时,an=14-3n<0.
12.(1);
(2)79是该数列的第15项.
13.(1)因为an=n-,所以a1=0,a2=,a3=,a4=;
(2)因为an+1-an=[(n+1)]-(n-)=1+
又因为n∈N+,所以an+1-an>0,即an+1>an.
所以数列{an}是递增数列.
测试四 等差数列
一、选择题
1.B 2.D 3.A 4.B 5.B
二、填空题
6.a4 7.13 8.6 9.6n-1 10.35
提示:
10.方法一:求出前10项,再求和即可;
方法二:当n为奇数时,由题意,得an+2-an=0,所以a1=a3=a5=…=a2m-1=1(m∈N*).
当n为偶数时,由题意,得an+2-an=2,
即a4-a2=a6-a4=…=a2m+2-a2m=2(m∈N*).
所以数列{a2m}是等差数列.
故S10=5a1+5a2+×2=35.
三、解答题
11.设等差数列{an}的公差是d,依题意得
解得
∴数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n+1.
12.(1)设等差数列{an}的公差是d,依题意得
解得
∴数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n+10.
(2)数列{an}的前n项和Sn=n×12+×2=n2+11n,
∴Sn=n2+11n=242,解得n=11,或n=-22(舍).
13.(1)通项an=a1+(n-1)d=50+(n-1)×(-0.6)=-0.6n+50.6.
解不等式-0.6n+50.6<0,得n>84.3.
因为n∈N*,所以从第85项开始an<0.
(2)Sn=na1+d=50n+×(-0.6)=-0.3n2+50.3n.
由(1)知:数列{an}的前84项为正值,从第85项起为负值,
所以(Sn)max=S84=-0.3×842+50.3×84=2108.4.
14.∵3an+1=3an+2,∴an+1-an=,
由等差数列定义知:数列{an}是公差为的等差数列.
记a1+a3+a5+…+a99=A,a2+a4+a6+…+a100=B,
则B=(a1+d)+(a3+d)+(a5+d)+…+(a99+d)=A+50d=90+.
所以S100=A+B=90+90+=213.
测试五 等比数列
一、选择题
1.B 2.C 3.A 4.B 5.D
提示:
5.当a1=0时,数列{an}是等差数列;当a1≠0时,数列{an}是等比数列;
当a1>0时,数列{an}是递增数列;当a1<0时,数列{an}是递减数列.
二、填空题
6.-3 7.12 8.279 9.216 10.-2
提示:
10.分q=1与q≠1讨论.
当q=1时,Sn=na1,又∵2Sn=Sn+1+Sn+2,
∴2na1=(n+1)a1+(n+2)a1,
∴a1=0(舍).
当q≠1,Sn=.又∵2Sn=Sn+1+Sn+2,
∴2×=,
解得q=-2,或q=1(舍).
三、解答题
11.(1)an=2×3n-1; (2)n=5.
12.q=±2或±.
13.由题意,得,解得,或.
14.(1)设第4列公差为d,则.
故a44=a54-d=,于是q2=.
由于aij>0,所以q>0,故q=.
(2)在第4列中,ai4=a24+(i-2)d=.
由于第i行成等比数列,且公比q=,
所以,aij=ai4·qj-4=.
测试六 数列求和
一、选择题
1.B 2.A 3.B 4.A 5.C
提示:
1.因为a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)q4=1×24=16,
所以S8=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)=1+16=17.
2.参考测试四第14题答案.
3.由通项公式,得a1+a2=a3+a4=a5+a6=…=-2,所以S100=50×(-2)=-100.
4.
.
5.由题设,得an+2-an=3,所以数列{a2n-1}、{a2n}为等差数列,
前100项中奇数项、偶数项各有50项,
其中奇数项和为50×1+×3=3725,偶数项和为50×2+×3=3775,
所以S100=7500.
二、填空题
6. 7. 8.(4n-1)
9. 10.
提示:
6.利用化简后再求和.
8.由an+1=2an,得,∴=4,
故数列{a}是等比数列,再利用等比数列求和公式求和.
10.错位相减法.
三、解答题
11.由题意,得an+1-an=2,所以数列{an}是等差数列,是递增数列.
∴an=-11+2(n-1)=2n-13,
由an=2n-13>0,得n>.
所以,当n≥7时,an>0;当n≤6时,an<0.
当n≤6时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-an
=-[n×(-11)+×2]=12n-n2;
当n≥7时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-a6+a7+a8+…+an
=(a1+a2+…+an)-2(a1+a2+…+a6)
=n×(-11)+×2-2[6×(-11)+×2]=n2-12n+72.
Sn=(n∈N*).
12.(1)∵f(1)=n2,∴a1+a2+a3+…+an=n2. ①
所以当n=1时,a1=1;
当n≥2时,a1+a2+a3+…+an-1=(n-1)2 ②
①-②得,an=n2-(n-1)2=2n-1.(n≥2)
因为n=1时,a1=1符合上式.
所以an=2n-1(n∈N*).
(2)
.
13.因为.
所以
.
14.(1)an=2n;
(2)因为bn=2nxn,
所以数列{bn}的前n项和Sn=2x+4x2+…+2nxn.
当x=0时,Sn=0;
当x=1时,Sn=2+4+…+2n==n(n+1);
当x≠0且x≠1时,Sn=2x+4x2+…+2nxn,
xSn=2x2+4x3+…+2nxn+1;
两式相减得(1-x)Sn=2x+2x2+…+2xn-2nxn+1,
所以(1-x)Sn=2-2nxn+1,
即.
综上,数列{bn}的前n项和
测试七 数列综合问题
一、选择题
1.B 2.A 3.B 4.A 5.B
提示:
5.列出数列{an}前几项,知数列{an}为:0,-,,0,-,,0….不难发现循环规律,即a1=a4=a7=…=a3m-2=0;
a2=a5=a8=…=a3m-1=-;
a3=a6=a9=…=a3m=.
所以a20=a2=-.
二、填空题
6. 7.85 8.512 9.n2-n+2 10.2[1-()n]
三、解答题
11.(1).
(2)当n=1时,由题意得a1=5S1-3,所以a1=;
当n≥2时,因为an=5Sn-3,
所以an-1=5Sn-1-3;
两式相减得an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an,
即4an=-an-1.
由a1=≠0,得an≠0.
所以(n≥2,n∈N*).
由等比数列定义知数列{an}是首项a1=,公比q=-的等比数列.
所以
(3)a1+a3+…+a2n-1=.
12.由a·f(an)=2,得,
化简得a-a=4(n∈N*).
由等差数列定义知数列{a}是首项a=1,公差d=4的等差数列.
所以a=1+(n-1)×4=4n-3.
由f(x)的定义域x>0且f(an)有意义,得an>0.
所以an=.
13.(1),
又a3=a1+2d=12a1=12-2d,
∴,故<d<-3.
(2)由(1)知:d<0,所以a1>a2>a3>…>a13.
∵S12=6(a1+a12)=6(a6+a7)>0,S13=(a1+a13)=13a7<0,
∴a7<0,且a6>0,故S6为最大的一个值.
14.(1)设第n分钟后第1次相遇,依题意有2n++5n=70,
整理得n2+13n-140=0.解得n=7,n=-20(舍去).
∴第1次相遇是在开始运动后7分钟.
(2)设第n分钟后第2次相遇,依题意有2n++5n=3×70,
整理得n2+13n-420=0.解得n=15,n=-28(舍去).
∴第2次相遇是在开始运动后15分钟.
15.(1)a1=3,a2=1,a3=2,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=1.(答案不唯一)
(2)因为在绝对差数列{an}中,a1=3,a2=0,所以该数列是a1=3,a2=0,a3=3,a4=3,a5=0,a6=3,a7=3,a8=0,….
即自第1项开始,每三个相邻的项周期地取值3,0,3,
所以(n=0,1,2,3,…).
(3)证明:根据定义,数列{an}必在有限项后出现零项,证明如下:
假设{an}中没有零项,由于an=|an-1-an-2|,所以对于任意的n,都有an≥1,从而
当an-1>an-2时,an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3);
当an-1<an-2时,an=an-2-an-1≤an-2-1(n≥3);
即an的值要么比an-1至少小1,要么比an-2至少小1.
令cn=(n=1,2,3,…).
则0<cn≤cn-1-1(n=2,3,4,…).
由于c1是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项cn<0,
这与cn>0(n=1,2,3,…)矛盾,从而{an}必有零项.
若第一次出现的零项为第n项,记an-1=A(A≠0),则自第n项开始,每三个相邻的项周期地取值0,A,A,即
(k=0,1,2,3,…).
所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项.
测试八 数列全章综合练习
一、选择题
1.B 2.A 3.A 4.D 5.C
二、填空题
6.3·2n-3 7.180 8.an= 9. 10.an=(n∈N*)
提示:
10.由(n+1)a-na+an+1an=0,得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0,
因为an>0,所以(n+1)an+1-nan=0,即,
所以.
三、解答题
11.S13=156.
12.(1)∵点(an,an+1+1)在函数f(x)=2x+1的图象上,
∴an+1+1=2an+1,即an+1=2an.
∵a1=1,∴an≠0,∴=2,
∴{an}是公比q=2的等比数列,
∴an=2n-1.
(2)Sn=.
(3)∵cn=Sn=2n-1,
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1)
=(2+22+…+2n)-n==2n+1-n-2.
13.当n=1时,由题意得S1=3a1+2,所以a1=-1;
当n≥2时,因为Sn=3an+2,
所以Sn-1=3an-1+2;
两式相减得an=3an-3an-1,
即2an=3an-1.
由a1=-1≠0,得an≠0.
所以(n≥2,n∈N*).
由等比数列定义知数列{an}是首项a1=-1,公比q=的等比数列.
所以an=-()n-1.
14.(1)设第n年所需费用为an(单位万元),则
a1=12,a2=16,a3=20,a4=24.
(2)设捕捞n年后,总利润为y万元,则
y=50n-[12n+×4]-98=-2n2+40n-98.
由题意得y>0,∴2n2-40n+98<0,∴10-<n<10+.
∵n∈N*,∴3≤n≤17,即捕捞3年后开始盈利.
(3)∵y=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102,
∴当n=10时,y最大=102.
即经过10年捕捞盈利额最大,共盈利102+8=110(万元).
15.(1)由an=f(-),得(an+1>0),
∴{}为等差数列,∴=+(n-1)·4.
∵a1=1,∴an=(n∈N*).
(2)由,
得bn-bn+1=
∵n∈N*,∴bn-bn+1>0,
∴bn>bn+1(n∈N*),∴{bn}是递减数列.
∴bn的最大值为.
若存在最小正整数m,使对任意n∈N*有bn<成立,
只要使b1=即可,∴m>.
∴对任意n∈N*使bn<成立的最小正整数m=8.
16.(1)解:设不动点的坐标为P0(x0,y0),
由题意,得,解得,y0=0,
所以此映射f下不动点为P0(,0).
(2)证明:由Pn+1=f(Pn),得,
所以xn+1-=-(xn-),yn+1=yn.
因为x1=2,y1=2,
所以xn-≠0,yn≠0,
所以.
由等比数列定义,得数列{xn-}(n∈N*)是公比为-1,
首项为x1-=的等比数列,
所以xn-=×(-1)n-1,则xn=+(-1)n-1×.
同理yn=2×()n-1.
所以Pn(+(-1)n-1×,2×()n-1).
设A(,1),则|APn|=.
因为0<2×()n-1≤2,
所以-1≤1-2×()n-1<1,
所以|APn|≤<2.
故所有的点Pn(n∈N*)都在以A(,1)为圆心,2为半径的圆内,即点Pn(xn,yn)存在一个半径为2的收敛圆.
第三章 不等式
测试九 不等式的概念与性质
一、选择题
1.A 2.D 3.A 4.B 5.C
提示:
3.∵a>2,b>2,∴.∵ab>0,∴ab>a+b.故选A.
5.∵1<x<10,∴0<lgx<1,∴lg(lgx)<0.
又lg2x-lgx2=lgx(lgx-2)<0,∴lg2x<lgx2.故选C.
二、填空题
6.>;<;= 7.a<ab2<ab 8.a-b∈(27,56),∈(,3)
9.①④;④①;②①;②④(注:答案不唯一,结论必须是上述四个中的两个)
10.P<Q
提示:
8.由60<a<84,28<b<33-33<-b<-28,,
则27<a-b<56,.
10.∵(a+)2-(a+1)(a+2)=>0,且a+>0,(a+1)(a+2)>0,
∴a+>,又∵0<b<1,∴P<Q.
三、解答题
11.略解:.证明如下:
∵,
又a>b>0,m>0,∴b-a<0,a(a+m)>0,
∴.
12.证明:因为
,∴p>q.
13.证明:∵(a3-a+1)-(a2-a+1)=a2(a-1),
∴当a>1时,(a3-a+1)>(a2-a+1),又函数y=logax单调递增,∴M>N;
当0<a<1时,(a3-a+1)<(a2-a+1),又函数y=logax单调递减,∴M>N.
综上,当a>0,且a≠1时,均有M>N.
14.略解:设等比数列{an}的公比是q,等差数列{bn}的公差是d.
由a3=b3及a1=b1>0,得a1q2=b1+2d q2=1+;
由a1≠a3q2≠1,从而d≠0.
∴a5-b5=a1q4-(b1+4d)=(b1+2d)(1+)-b1-4d=>0.
∴a5>b5.
测试十 均值不等式
一、选择题
1.C 2.B 3.D 4.B 5.A
提示:
5.∵正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,
∴ab≤(a+b)2=4,c+d≥2=4,
∴等号当且仅当a=b=2,c=d=2时取到,
∴ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一.
二、填空题
6.6;3 7.2;1 8.-5 9.3 10.[-3,1]
提示:
8..
当且仅当3-a=,即a=-1时,取得最大值-5.
9.函数f(x)=2log2(x+2)-log2x的定义域是(0,+∞),
且f(x)=2log2(x+2)-log2x=≥log28=3,
当且仅当x=2时,f(x)取得最小值3.
10.由a,b,c成等比数列,得b2=ac.
∴(3-b)2=(a+c)2=a2+c2+2ac≥4ac=4b2,整理得b2+2b-3≤0,
解得b∈[-3,1].
三、解答题
11.略解:.证明如下:
∵四个互不相等的正数a,b,c,d成等比数列,∴ad=bc.
∴.
又a≠d,∴.
12.略解:比较与的大小,也就是与的大小.
又,从而,当t=1时,;
当t≠1,0<a<1时,;a>1时,.
13.略解:∵.
当且仅当x=y=时,等号成立,从而的最大值为.
∵不等式恒成立,∴a≥,
即a的取值范围是[,+∞).
14.略解:
(1)用函数单调性的定义可证明:当x∈(0,]时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当x
∈[,+∞]时,f(x)在(0,+∞)上单调递增.证明略.
(2)由(1)得,当≥2时,f(x)在(0,2]上单调递减,f(x)在(0,2]上的最小值为f(2);
当<2时,f(x)在(0,]上单调递减,在[,2]上单调递增,从而f(x)在(0,2]上的最小值为f().
∴g(a)=
测试十一 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1.A 2.D 3.C 4.A 5.B
提示:
5.①当p=0时,y=-1,适合题意;
②当p≠0时,y=px2-px-1为二次函数,
依题意有.
综合①,②知B正确.
二、填空题
6.{x|-4<x<3 7.. 8.{x|-<x<,且x≠0
9.{x|-1<x<0,或3<x<4 10.a∈(-∞,-1)∪(0,1)
提示:
10.x2-(a+)x+1<0(x-a)(x-)<0.
∵该集合为非空集合,∴a<.
即①或②
解①得0<a<1;解②得a<-1.
综合①,②得a<-1,或0<a<1.
三、解答题
11.略解:原不等式(x+a)(x-3a)<0.
分三种情况讨论:
①当a<0时,解集为{x|3a<x<-a};
②当a=0时,原不等式x2<0,显然解集为;
③当a>0时,解集为{x|-a<x<3a}.
12.略解:由3x-4y+k=0得,代入x2+y2-2x=0,
得,
即25x2+(6k-32)x+k2=0,
令=(6k-32)2-4×25×k2>0,解得-8<k<2.
13.略解:A={x|-2<x<3},B={x|x<-4或x>2}.
当a>0时,C={x|a<x<3a},当a=0时,C=,当a<0时,C={x|3a<x<a}.
(1)A∩B={x|2<x<3},欲使A∩B C,则解得1≤a≤2;
(2)(UA)∩(UB)={x=|-4≤x≤-2},
欲使(UA)∩(UB)C,则
解得-2<a<-.
14.略解:①当a=0时,原不等式x>;
②当a>0时,由于=4-4a,所以
(1)当0<a<1时,原不等式;
(2)当a≥1时,原不等式解集为.
③当a<0时,由于=4-4a>0,所以
原不等式,或.
测试十二 不等式的实际应用
一、选择题
1.A 2.C 3.C 4.A
提示:
2.依题意,有(300-2x)x-(500+30x)≥8600,化简整理为x2-135x+4550≤0,
解得65≤x≤70.
3.设产销量为每年x(万瓶),则销售收入为70x(万元),从中征收附加税为70x·(万元),且x=100-10r,依题意得
70(100-10r)·≥112,得r2-10r+16≤0,解得2≤r≤8.
4.方法-:(1+k2)x≤k4+42.
设.
从而,f(k)的最小值是.
这说明只要不大于的实数x必是不等式x≤f(k)的解.
由于2<,0<,从而选A.
方法二:将x=0,x=2分别代入不等式进行检验即可.
二、填空题
5.81cm2 6.(-4,4) 7.{x|x<3 8.[0,1]
提示:
7.∵x|x-2|<3或2≤x<3或x<2,
∴不等式f(x)<3的解集为{x|x<3}.
8.在同一坐标系中,画出函数y1=|x+1|和y2=kx的图象进行研究.
三、解答题
9.略解:设直角三角形的两直角边分别为x,y,则x+y+=2.
∴,∴.
∴xy≤6-4,∴S=xy≤3-2,此时三角形为等腰直角三角形.
10.略解:由题意:对甲0.1x+0.01x2>12,得x<-40(舍),或x>30.
对乙来说0.05x+0.005x2>10,解得x<-50(舍),或x>40.
即x甲>30km/h,x乙>40km/h,∴乙车超过路段限速,应负主要责任
11.略解:-x2+2x+a>0恒成立a>x2-2x在区间[-1,3]上恒成立.
由于x2-2x在区间[-1,3]上的最大值是3,从而a>3.
12.略解:设版面横向长为xcm,则纵向长为cm,那么纸张横向长为(x+8)cm,纵向长为(+12)cm.
∴纸张的面积S=(x+8)(+12)=2496++12x.
∵x>0,>0,12x>0.∴S≥2496+2=3456(cm2).
当且仅当=12x,即x=40(cm),=60(cm).
∴纸张的宽为40+8=48(cm),长为60+12=72(cm)时,纸的用量最小.
测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、选择题
1.D 2.B 3.A 4.A 5.C
提示:
5.设软件买x片,磁盘少买y盒,则约束条件为
在可行域内的解为(3,2)、(4,2)、(5,2)、(6,2)、(3,3)、(4,3)、(3,4),共有7个.
二、填空题
6.四 7.(-2,3) 8.[-3,1] 9.[0,+∞) 10.2
提示:
10.分类讨论去掉绝对值符号,可得曲线围成的图形是边长为的正方形.
三、解答题
11.略.
12.略解:设购买35kg的x袋,24kg的y袋,则
共花费z=140x+120y.画出可行域,做出目标函数z=140x+120y对应的一组平行线,观察在点(1,3)处,z取得最小值500,即最少需要花费500元.
13.略解:设第一种应装x袋,第二种应装y袋,则所获利润z=0.5x+0.9y.
x,y应满足约束条件
直线x+2y=300与3x+2y=480的交点M(90,105),
z=0.5x+0.9y在M点取最大值,此时z=0.5×90+0.9×105=139.5.
∴第一种装法应装90袋,第二种装法应装105袋,可使利润最大,最大利润是139.5元.
14.略解:设甲库运往A镇x吨大米,乙库运往A镇y吨大米,易知x,y应满足约束条件
目标函数是
z=20·12·x+25·10(100-x)+15·12·y+20·8(80-y)=37800-10x+20y.
易知目标函数在(0,70)处取最大值,(70,0)处取最小值.
(1)甲库运往A镇70吨、运往B镇30吨,乙库大米全部运往B镇,总运费最小,为37100元.
(2)甲库全部运往B镇,乙库运10吨给B镇,70吨给A镇,总运费最多,为39200元.造成不该有的损失2100元.
测试十四 不等式全章综合练习
一、选择题
1.C 2.B 3.C 4.D 5.D
二、填空题
6.(-2,4), 7.-1 8. 9.-1≤a≤0 10.(-∞,10]
三、解答题
11.解:由|x-1|<6,得-6<x-1<6,解得-5<x<7.
由>0,得(x-8)(2x-1)>0,解得x>8,或x<.
(1)A∩B={x|-5<x<7∩{x|x>8,或x<={x|-5<x<.
(2)∵UA={x|x≤-5,或x≥7,
∴(UA)∪B={x|x≤-5,或x≥7∪{x|x>8,或x<={x|x≥7,或x<.
12.解:设此工厂每日需甲种原料x吨,乙种原料y吨,则可得产品z=90x+100y(千克).
由题意,得
上述不等式组表示的平面区域如右图所示,
阴影部分(含边界)即为可行域.
作直线l:90x+100y=0,并作平行于直线l的一组直线与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M点,且与直线l的距离最大,此时目标函数达到最大值.这里M点是直线2x+3y=12和5x+4y=20的交点,容易解得,
此时z取到最大值.
答:当每天提供甲原料吨,乙原料吨时,每日最多可生产440千克产品.
13.(1)由于3×4与均不属于数集{1,3,4},∴该数集不具有性质P.
由于1×2,1×3,1×6,2×3,都属于数集{1,2,3,6},
∴该数集具有性质P.
(2)∵A={a1,a2,…,an}具有性质P,∴anan与中至少有一个属于A.
由于1≤a1<a2<…<an,∴anan>an,故ananA.
从而1=∈A,∴a1=1.
∵1=a1<a2<…<an,∴akan>an,故akanA(k=2,3,…,n).
由A具有性质P可知∈A(k=1,2,3,…,n).
又∵,
∴.
从而,
∴.
测试十五 数学必修5模块自我检测题
一、选择题
1.D 2.C 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8.C
提示:
6.∵S20==340,∴a1+a20=34.
∴a6+a9+a11+a16=(a6+a16)+(a9+a11)=2a11+2a10=2(a10+a11)=2(a1+a20)=68.
7.∵正数x、y满足x+y=4,
∴xy≤()2=4 (当x=y时取等号).
∴ log2x+log2y=log2(xy)≤log24=2.
即log2x+log2y的最大值是2.
8.根据余弦定理得AB2=AP2+BP2-2AP·BP·cos60°.
解得AB=0.07(km).
从而汽车从A地到B地的车速为×3600=84(km/h).
二、填空题
9.{x|-1<x<2} 10. 11.4 12.
13.,9 14.,j·()i
提示:
14.设第一行的等差数列的公差为d,则有
即
解得d=或d=-(舍去).从而q=.
∴aij=a1j·qi-1=[a11+(j-1)d]·qi-1=.
三、解答题
15.解:(1)当a=5时,f(x)=x2+5x+6.
f(x)<0x2+5x+6<0(x+2)(x+3)<0-3<x<-2.
(2)若不等式f(x)>0的解集为R,则a2-4×6<0,
即实数a的取值范围是.
16.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则a1+d=5,a1+4d=14,解得a1=2,d=3.
所以数列{an}的通项为an=a1+(n-1)d=3n-1.
(2)数列{an}的前n项和Sn=.
由,化简得3n2+n-310=0,
即(3n+31)(n-10)=0,所以n=10.
17.证明:(1)根据正弦定理得,
整理为sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.
∵0<2A,2B<π,∴2A=2B,或2A+2B=π.
∵,∴A+B=,即∠C=90°
(2)因为△ABC是以角C为直角的直角三角形,且c=10,易求得a=6,b=8.
∴△ABC的面积S=ab=24.
18.略解:设每天生产甲种产品x吨,乙种产品y吨,
则目标函数z=8x+11y,作出线性约束条件所表示的平面区域,
可求得鲞x=5,y=7时,z取最大值117万元.
所以,每天生产甲种产品5吨,乙种产品7吨,日产值到达最大值117万元.
19.略解:(1)
.
(2)∵cosA=,
∴,整理得bc≤.
当且仅当b=c=时,bc取得最大值.
20.(1)解:依题意得两式相减得:
an+1-an=an,即(n=2,3,4,…).
∴a2,a3,a4,…构成首项为a2,公比为2的等比数列.
∵a2=S1=a1=5,∴an=5·2n-2(n≥2).
∴
(2)证明:
.
单元测试一 解三角形
一、选择题
1.在△ABC中,若AC=3,A=30°,B=45°,则BC等于( )
(A) (B) (C) (D)
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=4,c=6,则cosB等于( )
(A) (B) (C) (D)
3.在△ABC中,若,则△ABC是( )
(A)等腰三角形 (B)直角三角形
(C)等边三角形 (D)等腰三角形或直角三角形
4.在等腰锐角△ABC中,a=3,c=2,则cosA等于( )
(A) (B) (C) (D)
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a、b、c,A=,b=1,则c等于( )
(A)1 (B)2 (C)-1 (D)
二、填空题
6.在△ABC中,若a2+ab=c2-b2,则角C=________.
7.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于________.
8.已知△ABC的顶点A(1,1),B(-1,3),C(3,0),则cosB=________.
9.在△ABC中,∠A=60°,AC=16,△ABC的面积S=220,则BC=________.
10.若三角形的三边之比为3∶5∶7,则其最大角等于________.
三、解答题
11.在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,设a=4,c=3,cosB=.
(1)求b的值;
(2)求△ABC的面积.
12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=,b=3,sinC=2sinA.
(1)求c的值;
(2)求sinA的值.
13.在△ABC中,cosA=,cosB=,BC=5,求△ABC的面积.
14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足,=3,c=1,求a的值.
单元测试二 数列
一、选择题
1.在等差数列{an}中,若a2=3,a6=11,则a4等于( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)9
2.在正项等比数列{an}中,若a4a5=6,则a1a2a7a8等于( )
(A)6 (B)12 (C)24 (D)36
3.等差数列{an}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列{an}的公差等于( )
(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2
4.若数列{an}是公比为4的等比数列,且a1=2,则数列{log2an}是( )
(A)公差为2的等差数列 (B)公差为lg2的等差数列
(C)公比为2的等比数列 (D)公比为lg2的等比数列
5.等比数列{an}的前n项和记为Sn,若S4=2,S8=6,则S12等于( )
(A)8 (B)10 (C)12 (D)14
6.{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,用Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是( )
(A)21 (B)20 (C)19 (D)18
7.如果数列{an}(an∈R)对任意m,n∈N*满足am+n=am·an,且a3=8,那么a10等于( )
(A)1024 (B)512 (C)510 (D)256
8.设f(n)为正整数n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,例如f(123)=12+22+32=14.记a1=f(2009),ak+1=f(ak),k=1,2,3,…则a2009等于( )
(A)85 (B)16 (C)145 (D)58
二、填空题
9.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________.
10.在等差数列{an}中,a2,a11是方程x2-3x-5=0的两根,则a5+a8=________.
11.设等比数列{an}的公比,前n项和为Sn,则=________.
12.若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N*),则a5=______;前8项的和S8=______.(用数字作答)
13.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q=________.
14.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=________.
三、解答题
15.在等差数列{an}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{an}前n项和Sn.
16.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.
(1)求{an}的公比q;
(2)若a1-a3=3,求Sn.
17.已知三个数成等差数列,它们的和为30,如果第一个数减去5,第二个数减去4,第三个数不变,则所得三个数组成等比数列,求这三个数.
18.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(x∈R,n∈N*),且对一切正整数n都有f(1)=n2成立.
(1)求数列{an}的通项an;
(2)求.
19.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
单元测试三 不等式
一、选择题
1.设S={x|2x+1>0},T={x|3x-5<0},则集合S∩T等于( )
(A) (B)x|x<- (C)x|x> (D)
2.若a,b是任意实数,且a>b,则下列不等式中一定正确的是( )
(A)a2>b2 (B) (C)2a>2b (D)|a|>|b|
3.不等式的解集是( )
(A)(-∞,-1)∪(-1,2) (B)[-1,2]
(C)(-∞,-1)∪[2,+∞] (D)(-1,2]
4.设x,y为正数,则(x+y)()的最小值为( )
(A)6 (B)9 (C)12 (D)15
5.若f(x)是定义在R上的减函数,则满足f()>f(1)的实数x的取值范围是( )
(A)(-∞,1) (B)(1,+∞)
(C)(-∞,0)∪(0,1) (D)(-∞,0)∪(1,+∞)
6.若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集是M,则对任意实常数k,总有( )
(A)2∈M,0∈M (B)2M,0M (C)2∈M,0M (D)2M,0∈M.
二、填空题
7.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(RB)=R,则实数a的取值范围是________.
8.若实数a满足a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2由小到大的顺序是________.
9.函数f(x)=的定义域是________.
10.已知实数x,y满足则z=2x+4y的最大值为________.
11.已知正实数a,b满足a+4b=8,那么ab的最大值是________.
12.如果方程(x-1)(x2-2x+m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长,那么实数m的取值范围是________.
三、解答题
13.已知一元二次不等式x2-ax-b<0的解集是{x|1<x<3},
(1)求实数a,b的值;
(2)解不等式>1.
14.设a∈R,且a≠-1,试比较1-a与的大小.
15.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%(盈利率=×100%),可能的最大亏损率分别为30%和10%(亏损率=×100%),投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元,才能使可能的盈利最大?
16.已知函数f(x)=,其中x∈[1,+∞.
(1)当a>0时,求函数f(x)的最小值g(a);
(2)若对任意x∈[1,+∞,f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
数学必修5 模块检测题
一、选择题
1.在等比数列{an}中,若a1=2,a3=4,则a7等于( )
(A)8 (B)16 (C)32 (D)64
2.设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列不等式中一定成立的是( )
(A)a+c>b+d (B)a-c>b-d
(C)ac>bd (D)
3.已知函数y=-x2+x,那么使y<-2成立时x的取值范围是( )
(A)(-1,2) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞)
(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)
4.在数列{an}中,a1=4,an+1=2an-1(n=1,2,3,…),则a4等于( )
(A)7 (B)13 (C)25 (D)49
5.在△ABC中,三个内角A,B,C满足A<B<C(C≠),则下列不等式一定成立的是( )
(A)sinA<sinC (B)cosA<cosC
(C)tanA<tanC (D)tanA>tanC
6.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )
(A)10项 (B)11项 (C)12项 (D)13项
7.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( )
(A)a<5 (B)a≥7
(C)5≤a<7 (D)a<5,或a≥7
8.若不等式(-1)na<2+对于任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题
9.不等式x(2-x)>0的解集为________.
10.已知正数a,b满足ab=4,那么-a-b的最大值是________.
11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,a3=7,则S10等于________.
12.已知点P(x,y)的坐标满足条件点O为坐标原点,那么|PO|的最大值等于________,最小值等于________.
13.等比数列{an}的前n项和是Sn,若8S6=9S3,则{an}的公比等于________.
14.Rt△ABC的三个内角的正弦值成等比数列,设最小的锐角为角A,则sinA=________.
三、解答题
15.解不等式:0<x2-3x<4.
16.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边.已知a,b,c成等比数列,且a2-c2=ac-bc.
(1)求角A的大小;
(2)求的值.
17.已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,a3=6,S3=12.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:.
18.电视台为某个广告公司特约播放两套片集:片集甲每集播映时间为21分钟,其中含广告时间1分钟,收视观众为60万人;片集乙每集播映时间为11分钟,含广告时间1分钟,收视观众为20万人.广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(含广告时间).电视台每周应播映两套片各多少集,才能获得最高的收视率?
19.对于定义域分别是Df,Dg的函数y=f(x),y=g(x),规定:函数
(1)若函数,g(x)=x2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;
(2)求问题中(1)函数h(x)的值域.
20.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2(n=1,2,3,…).
(1)设bn=an+1-2an(n=1,2,3,…),求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式;
(2)设cn=(n=1,2,3,…),求证数列{cn}是等差数列,并求其通项公式;
(3)求数列{an}的通项公式及前n项和公式.
测试卷参考答案
单元测试一 解三角形
一、选择题
1.D 2.C 3.D 4.A 5.B
二、填空题
6.120° 7.2 8. 9.49 10.
提示:
9.因为△ABC的面积S=220AC·AB·sinA,所以求得AB=55,
由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=162+552-2×16×55cos60°,
所以BC=49.
三、解答题xkb1.com
11.(1)解:在△ABC中,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
得b2=16+9-24×=22,
所以b=.
(2)解:由cosB=,B∈(0,π),
所以,
由三角形的面积公式S=acsinB,
得S=×4×3×.
12.(1)解:在△ABC中,根据正弦定理,,
于是c=sinC·.
(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,
得,
于是sinA=,
13.解:由cosA=-,得sinA=,
由cosB=,得sinB=.
所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.
由正弦定理,得.
所以△ABC的面积.
14.解:,
又A∈(0,π),sinA=,而,
所以bc=5,
又c=1,所以b=5,
所以.
单元测试二 数列
一、选择题xkb1.com
1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 6.B 7.A 8.D
二、填空题
9.13 10.3 11.15 12.16,255 13.-9 14.3
三、解答题
15.解:设{an}的公差为d,则
,
即,
解得或.
因此Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9),或Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).
16.解:(1)依题意有
a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),
由于a1≠0,故2q2+q=0,
又q≠0,从而q=.
(2)由已知可得a1-a1()2=3,
故a1=4,
从而Sn=.
17.解:设这三个数为a-d,a,a+d,
则(a-d)+a+(a+d)=30,解得a=10.
又由(a-d-5)(a+d)=(a-4)2,
解得d=2,或-7.
所以三个数为8,10,12,或17,10,3.
18.解:(1)由题意,得a1+a2+a3+…+an=n2. ①
所以当n=1时,a1=1;
当n≥2时,a1+a2+a3+…+an-1=(n-1)2 ②
①-②得,an=n2-(n-1)2=2n-1.(n≥2)
因为n=1时,a1=1符合上式,
所以an=2n-1(n∈N*).
(2)
.
19.解:(1)由a1=1及Sn+1=4an+2,
得a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,∴b1=a2-2a1=3.
由Sn+1=4an+2, ……………①
得当n≥2时,有Sn=4an-1+2 ……………②
①-②得an+1=4an-4an-1,∴an+1-2an=2(an-2an-1),
又因为bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,
所以{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.
(2)由(1)可得bn=an+1-2an=3·2n-1,所以,
所以数列{}是首项为,公差为的等差数列.
所以=,an=(3n-1)·2n-2.
单元测试三 不等式
一、选择题
1.D 2.C 3.D 4.B 5.D 6.A
二、填空题
7.a≥2 8.a<-a2<a2<-a 9.[2,3∪(3,4) 10.14 11.4
12.<m≤1
三、解答题
13.(1)因为不等式x2-ax-b<0的解集是{x|1<x<3}
所以1,3是方程x2-ax-b=0的两根,
故a=1+3,-b=1×3,即a=4,b=-3.
(2)不等式>1,即为:>1.
因为>1-1>0
(x+7)(x-3)>0
x>3,或x<-7.
所以,原不等式的解集为{x|x>3,或x<-7.
14.当a=0时,1-a=;
当a<-1时,1-a>;
当a>-1且a≠0时,1-a<.
15.解:设投资人对甲、乙两个项目分别投资x、y万元,
由题意知
目标函数为z=x+0.5y,
上述不等式组表示的平面区域如右图所示,
阴影部分(含边界)即为可行域.
作直线l:x+0.5y=0,并作平行于直线l的一组直线与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M点,且与直线l的距离最大,此时目标函数达到最大值.
这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点,容易解得M(4,6),此时
z取到最大值1×4+0.5×6=7.
答:投资人用4万元投资甲项目,用6万元投资乙项目,才能确保在可能的资金亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.
16.略解:
(1)当a≥1时,,
当且仅当x=,即x=时,f(x)有最小值2+2;
当0<a<1时,可证函数f(x)在x∈[1,+∞)上是单调增函数(在此略),
所以f(x)有最小值f(1)=a+3,
综上,函数f(x)有最小值.
(2)因为x∈[1,+∞],且f(x)=>0,
所以x2+2x+a>0,
即a>-x2-2x=-(x+1)2+1对于x∈[1,+∞)恒成立,
而函数y=-(x+1)2+1,x∈[1,+∞)的最大值为-3,
所以a>-3.
数学必修5 模块检测题
一、选择题
1.B 2.A 3.B 4.C 5.A 6.D 7.C 8.A
提示:
8.①当n是正奇数时,原不等式化为a>-(2+),
欲使上式对于任意正奇数n恒成立,则a≥-2.
②当n是正偶数时,原不等式化为a<2-,
欲使上式对于任意正偶数n恒成立,则a<2-.
综上,a的取值范围是[-2,).
二、填空题
9.{x|0<x<2 10.-4 11.120
12. 13. 14.
提示:
13.设{an}的公比为q,
①当q=1时,S6=6a1,S3=3a1,此时不适合8S6=9S3,所以q≠1.
②当q≠1时,由,且a1≠0,得
8(1+q3)=9,即q3=,所以q=.
14.不妨设∠C为直角.由题意sinA·sinC=sin2B,即sinA=sin2B,
又因为A+B=,所以sinB=cosA,故sinA=cos2A=1-sin2A.
解此方程得sinA=,又sinA∈(0,1),故sinA=.
三、解答题
15.原不等式{x|-1<x<0,或3<x<4.
16.解:(1)因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.
又a2-c2=ac-bc,所以b2+c2-a2=bc.
根据余弦定理得cosA=,所以∠A=60°.
(2)根据正弦定理,得sinB=.
因为b2=ac,∠A=60°,
所以.
17.解:(1)设等差数列{an}的公差是d,依题意得
解得
所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n.
(2)证明:an=2n,所以Sn==n(n+1).
.
所以.
18.解:设片集甲播映x集,片集乙播映y集,则有设此不等式组表示的平面区域为D.要获得最高的收视率,只要最大即可,问题转化为求目标函数在区域D上的最大值即可.画图分析得,当x=2,y=4时,z取得最大值200万.
19.解:(1)由函数,,x∈R,可得:
Df={x|x≠1},Dg=R,从而当x≠1时,;当x=1时,h(x)=1.
(2)当x>1时,;
当x<1时,;
所以,h(x)的值域为{y|y≥4,或y≤0,或y=1}.
20.(1)证明:由,两式相减得.
整理得,即bn+1=2bn.
故{bn}是公比为2的等比数列,
而,可得(n∈N*)
(2)证明:,
所以{cn}是等差数列,,故.
(3).
当n≥2时,,因为S1=a1=1也适合,
故.