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- 2021-06-30 发布
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2019-2020学年度第二学期第二次(6月)月考试卷
高二理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共150分,考试时间120分钟。
第I卷
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。)
1.命题“,如果,则”的否命题为( )
A. ,如果,则 B. ,如果,则
C. ,如果,则 D. ,如果,则
2.已知命题;命题;则下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
3.命题函数(且)的图像恒过定点,命题若函数为偶函数,则函数的图像关于直线对称,则下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
4.下列有关命题的说法正确的是( )
A. 命题“,均有”的否定是:“,使得”
B. “”是“”成立的充分不必要条件
C. 命题“若,则”的逆否命题为“若,则”
D. 若“”为真命题,则“”也为真命题
5.设命题, ,则为( )
A. , B. ,
C. , D. ,
6.在平面直角坐标系中,动点与两点的连线
的斜率之积为,则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
7.若点和点分别为椭圆的中心和左焦点,点为椭圆上的任意一点,则的最大值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8.已知椭圆的上下左右顶点分别为,且左右焦点为,且以 为直径的圆内切于菱形,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
9.已知双曲线()的一条渐近线方程为,且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
10.抛物线()的焦点为,其准线经过双曲线 的左焦点,点为这两条曲线的一个交点,且,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.
D.
11.已知双曲线的离心率为3,若抛物线 的焦点到双曲线的渐进线的距离为2,则抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
12.已知双曲线的左、右焦点分别为,焦距为,抛物线的准线交双曲线左支于两点,且,其中为原点,则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. C. D.
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.条件,条件,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是______________.
14.已知双曲线的焦点、,点在双曲线上,且,则的面积为__________.
15.抛物线上的点到焦点的距离为2,则__________.
16.已知点在椭圆上, 垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为,并且为线段的中点,则点的轨迹方程是___________.
三、解答题(共6小题,共70分)
17.(10分) 设命题,命题:关于不等式的解集为.
(1)若命题为真命题,求实数的取值范围;
(2)若命题或是真命题, 且是假命题,求实数的取值范围.
18. (12分)已知椭圆与y轴的正半轴相交于点M,且椭圆E上相异两点A、B满足直线MA,MB的斜率之积为.
(Ⅰ)证明直线AB恒过定点,并求定点的坐标;
(Ⅱ)求三角形ABM的面积的最大值.
19. (12分)已知命题:“,都有不等式成立”是真命题.
(1)求实数的取值集合;
(2)设不等式的解集为,若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
20. (12分)设椭圆: 的离心率与双曲线的离心率互为倒数,且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线交椭圆于, 两点, ()为椭圆上一点,求面积的最大值.
21. (12分)已知关于的方程.
(1)若方程表示圆,求实数的取值范围 ;
(2)若圆与直线相交于两点,且,求的值
22. (12分)已知椭圆的中心和抛物线的顶点都在坐标原点, 和有公共焦点,点在轴正半轴上,且的长轴长、短轴长及点到直线的距离成等比数列。
(Ⅰ)当的准线与直线的距离为时,求及的方程;
(Ⅱ)设过点且斜率为的直线交于, 两点,交于, 两点。当时,求的值。
参考答案
1.B 2.C 3.A 4.B 5.C 6.A 7.C 8.D 9.A 10.D 11.D 12.C
13. 14. 15.2 16.
17.(1)当为真时, ;(2)的取值范围是。
解析:(1)当为真时,
∵不等式的解集为,
∴当时, 恒成立.
∴,∴
∴当为真时,
(2)当为真时,
∵,∴当为真时, ;
当为真时, ,
由题设,命题或是真命题, 且是假命题,
真假可得,
假真可得或
综上可得或
则的取值范围是.
18.(1)直线恒过定点.(2)
解:(Ⅰ)由椭圆的方程得,上顶点,记 由题意知, ,若直线的斜率不存在,则直线的方程为,故,且
,因此,与已知不符,因此直线的斜率存在,设直线: ,代入椭圆的方程得: ………①
因为直线与曲线有公共点,所以方程①有两个非零不等实根,
所以,
又, ,
由 ,得
即
所以
化简得: ,故或,
结合知,
即直线恒过定点.
(Ⅱ)由且得: 或,
又
,当且仅当,即 时, 的面积最大,最大值为 .
19.
解析:(1)命题:“,都有不等式成立”是真命题,得在时恒成立,
∴,得,即.
(2)不等式,
①当,即时,解集,若是的充分不必要条件,则是的真子集,
∴,此时;
②当,即时,解集,满足题设条件;
③当,即时,解集,若是的充分不必要条件,则有,此时.
综上①②③可得
20.(1)(2)
解析:(Ⅰ)双曲线的离心率为(1分),
则椭圆的离心率为(2分), 2a=4, (3分)
由⇒,故椭圆M的方程为. (5分)
(Ⅱ)由,得, (6分)
由,得﹣2<m<2
∵,. (7分)
∴=(9分)
又P到AB的距离为. (10分)
则
, (12分)
当且仅当取等号 (13分)
∴. (14分)
21.(1)时方程C表示圆. (2)m=4
(1)方程C可化为 ………………2分
显然时,即时方程C表示圆.
(2)圆的方程化为
圆心 C(1,2),半径 …………6分
则圆心C(1,2)到直线l:x+2y-4=0的距离为……………8分
则,有 解得:m=4
22.(Ⅰ): , : (Ⅱ)
解:(Ⅰ)设: ,其半焦距为 .则: .
由条件知,得.
的右准线方程为,即.
的准线方程为.
由条件知, 所以,故, .
从而: , : .
(Ⅱ)由题设知: ,设, , , .
由(Ⅰ)知,即
由, 知满足 ,
从而
由条件,得, 故: .
由 得,所以
于是