• 696.50 KB
  • 2021-06-30 发布

数学卷·2018届江西省抚州市高二上学期期末数学试卷(理科)+(解析版)

  • 24页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2016-2017学年江西省抚州市高二(上)期末数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.如图程序输出的结果是(  )‎ A.3,4 B.4,4 C.3,3 D.4,3‎ ‎2.命题:“∃x0>0,使2>10”,这个命题的否定是(  )‎ A.∀x>0,使2x>10 B.∀x>0,使2x≤10 C.∀x≤0,使2x≤10 D.∀x≤0,使2x>10‎ ‎3.如图所示的流程图,最后输出n的值是(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎4.表是某工厂1﹣4月份用电量(单位:万度)的一组数据 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用电量y ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ 由表可知,用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是═﹣0.6x+a,则a等于(  )‎ A.5.1 B.4.8 C.5 D.5.2‎ ‎5.由经验得知,在学校食堂某窗口处排队等候打饭的人数及其概率如下:‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 则至多2个人排队的概率为(  )‎ A.0.56 B.0.44 C.0.26 D.0.14‎ ‎6.“0<m<3”是“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.在一次马拉松比赛中,30名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号,再用系统抽样方法从中抽取6人,则其中成绩在区间[130,151]上的运动员人数是(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎8.设函数f(x)=(x>0),记f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),fn+1(x)=f[fn(x)].则f2017(x)等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.三棱锥S﹣ABC中,∠ASB=∠ASC=90°,∠BSC=60°,SA=SB=SC=2,点G是△ABC的重心,则||等于(  )‎ A.4 B. C. D.‎ ‎10.下列命题:‎ ‎①“若a2<b2,则a<b”的否命题;‎ ‎②“全等三角形面积相等”的逆命题;‎ ‎③“若a>1,则ax2﹣2ax+a+3>0的解集为R”的逆否命题;‎ ‎④“若x(x≠0)为有理数,则x为无理数”的逆否命题.‎ 其中正确的命题是(  )‎ A.③④ B.①③ C.①② D.②④‎ ‎11.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1B1BA,且AA1=AB=BC=2,则AC与平面A1BC所成角为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知F1、F2是双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左右焦点,P是双曲线C上一点,且|PF1|+|PF2|=6a,△PF1F2的最小内角为30°,则双曲线C的离心率e为(  )‎ A. B.2 C. D. ‎ ‎ ‎ 二、填空题(本小题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知平面β的法向量是(2,3,﹣1),直线l的方向向量是(4,λ,﹣2),若l∥β,则λ的值是  .‎ ‎14.命题“∃x∈(0,+∞),x2﹣3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为  .‎ ‎15.已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C: +=1(a>b>0且a,b为常数)上关于y轴对称的两点,P是椭圆上的左顶点,且直线PM,PN的斜率都存在(记为kPM,kPN),则kPM•kPN=.类比上述性质,可以得到双曲线的一个性质,并根据这个性质得:若M,N是双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)上关于y轴对称的两点,P是双曲线C的左顶点,直线PM,PN的斜率都存在(记为kPM,kPN),双曲线的离心率e=,则kPM•kPN等于  .‎ ‎16.已知△ABC是一个面积较大的三角形,点P是△ABC所在平面内一点且++2=,现将3000粒黄豆随机抛在△ABC内,则落在△‎ PBC内的黄豆数大约是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本题共70分)‎ ‎17.设命题p:m∈{x|x2+(a﹣8)x﹣8a≤0},命题q:方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线.‎ ‎(1)若当a=1时,命题p∧q假命题,p∨q”为真命题,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)若命题p是命题q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎18.调查某车间20名工人的年龄,第i名工人的年龄为ai,具体数据见表:‎ i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ai ‎29‎ ‎28‎ ‎30‎ ‎19‎ ‎31‎ ‎28‎ ‎30‎ ‎28‎ ‎32‎ ‎31‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎29‎ ‎29‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎32‎ ‎30‎ ‎(1)作出这20名工人年龄的茎叶图;‎ ‎(2)求这20名工人年龄的众数和极差;‎ ‎(3)执行如图所示的算法流程图(其中是这20名工人年龄的平均数),求输出的S值.‎ ‎19.已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N+).‎ ‎(1)计算a2,a3,a4,并猜测出{an}的通项公式;‎ ‎(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜测.‎ ‎20.四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,BC⊥CD,PD=1,AB=,BC=CD=‎ ‎,AD=1.‎ ‎(1)求异面直线AB、PC所成角的余弦值;‎ ‎(2)点E是线段AB的中点,求二面角E﹣PC﹣D的大小.‎ ‎21.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率e=,左顶点、上顶点分别为A,B,△OAB的面积为3(点O为坐标原点).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若P、Q分别是AB、椭圆C上的动点,且=λ(λ<0),求实数λ的取值范围.‎ ‎22.已知抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:﹣=1(a>0.b>0)有公共焦点F,且在第一象限的交点为P(3,2).‎ ‎(1)求抛物线C1,双曲线C2的方程;‎ ‎(2)过点F且互相垂直的两动直线被抛物线C1截得的弦分别为AB,CD,弦AB、CD的中点分别为G、H,探究直线GH是否过定点,若GH过定点,求出定点坐标;若直线GH不过定点,说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年江西省抚州市高二(上)期末数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.如图程序输出的结果是(  )‎ A.3,4 B.4,4 C.3,3 D.4,3‎ ‎【考点】伪代码.‎ ‎【分析】根据赋值语句的含义对语句从上往下进行运行,最后的a和b就是所求.得到结果.‎ ‎【解答】解:从所给的赋值语句中可以看出:‎ a=3,‎ b=4,‎ a是b赋给的值,a=4‎ 而b又是a赋给的值,b=4‎ ‎∴输出的a,b的值分别是4,4.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎2.命题:“∃x0>0,使2>10”,这个命题的否定是(  )‎ A.∀x>0,使2x>10 B.∀x>0,使2x≤10 C.∀x≤0,使2x≤10 D.∀x≤0,使2x>10‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.‎ ‎【解答】解:∵特称命题的否定是全称命题.‎ ‎∴命题p:“∃x0>0,使2>10”,的否定是:∀x∈R,∀x>0,使2x≤10.‎ 故选:B ‎ ‎ ‎3.如图所示的流程图,最后输出n的值是(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的n的值,当n=5时,满足条件2n=32>n2=25,退出循环,输出n的值为5.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序框图,可得 n=1,n=2‎ 不满足条件2n>n2,n=3‎ 不满足条件2n>n2,n=4‎ 不满足条件2n>n2,n=5‎ 满足条件2n=32>n2=25,退出循环,输出n的值为5.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.表是某工厂1﹣4月份用电量(单位:万度)的一组数据 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用电量y ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ 由表可知,用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是═﹣0.6x+a,则a等于(  )‎ A.5.1 B.4.8 C.5 D.5.2‎ ‎【考点】线性回归方程.‎ ‎【分析】由题中表格数据计算、,根据回归直线方程过样本中心点(,)求出a的值.‎ ‎【解答】解:由题中表格数据,计算 ‎=×(1+2+3+4)=2.5,‎ ‎=×(4.5+4+3+2.5)=3.5,‎ 且回归直线方程═﹣0.6x+a过样本中心点(,),‎ 则a=3.5﹣(﹣0.6)×2.5=5.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.由经验得知,在学校食堂某窗口处排队等候打饭的人数及其概率如下:‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 则至多2个人排队的概率为(  )‎ A.0.56 B.0.44 C.0.26 D.0.14‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列.‎ ‎【分析】至多2个人排队的概率为p=p(X=0)+P(X=1)+P(X=2),由此能求出结果.‎ ‎【解答】解:由在学校食堂某窗口处排队等候打饭的人数及其概率表知:‎ 至多2个人排队的概率为:‎ p=p(X=0)+P(X=1)+P(X=2)‎ ‎=0.1+0.16+0.3=0.56.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.“0<m<3”是“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】求出“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的充要条件,根据集合的包含关系判断即可.‎ ‎【解答】解:m>4时,椭圆的焦点在y轴上,‎ 此时a2=m,b2=4,c2=m﹣4,‎ 故>,解得:m>,‎ ‎0<m<4时,椭圆的焦点在x轴上,‎ 此时a2=4,b2=m,c2=4﹣m,‎ 故>,解得:0<m<3,‎ 故“0<m<3”是“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的充分不必要条件,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.在一次马拉松比赛中,30名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号,再用系统抽样方法从中抽取6人,则其中成绩在区间[130,151]上的运动员人数是(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【考点】茎叶图.‎ ‎【分析】根据系统抽样方法的特征,将运动员按成绩由好到差分成6组,得出成绩在区间[130,151]内的组数,即可得出对应的人数.‎ ‎【解答】解:将运动员按成绩由好到差分成6组,则 第1组为,第2组为,‎ 第3组为,第4组为,‎ 第5组为,第6组为,‎ 故成绩在区间[130,151]内的恰有5组,故有5人.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.设函数f(x)=(x>0),记f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),fn+1(x)=f[fn(x)].则f2017(x)等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法.‎ ‎【分析】由题意,可先求出f1(x),f2(x),f3(x)…,归纳出fn(x)的表达式,即可得出f2017(x)的表达式.‎ ‎【解答】解:由题意f1(x)=f(x)=,(x>0),‎ f2(x)=f(f1(x))=,‎ f3(x)=f(f2(x))==,…,‎ fn(x)=f(fn﹣1(x))=,‎ ‎∴f2017(x)=,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎9.三棱锥S﹣ABC中,∠ASB=∠ASC=90°,∠BSC=60°,SA=SB=SC=2,点G是△‎ ABC的重心,则||等于(  )‎ A.4 B. C. D.‎ ‎【考点】棱锥的结构特征.‎ ‎【分析】如图所示,取BC的中点D,连接AD,SD,则SD⊥BC,AD⊥BC.由题意,AS⊥平面SBC,SA=2,SD=,AG=2GD=,cos∠SAD=.利用余弦定理可得||.‎ ‎【解答】解:如图所示,取BC的中点D,连接AD,SD,则SD⊥BC,AD⊥BC.‎ 由题意,AS⊥平面SBC,SA=2,SD=,AG=2GD=,cos∠SAD=.‎ 由余弦定理可得||==,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎10.下列命题:‎ ‎①“若a2<b2,则a<b”的否命题;‎ ‎②“全等三角形面积相等”的逆命题;‎ ‎③“若a>1,则ax2﹣2ax+a+3>0的解集为R”的逆否命题;‎ ‎④“若x(x≠0)为有理数,则x为无理数”的逆否命题.‎ 其中正确的命题是(  )‎ A.③④ B.①③ C.①② D.②④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】‎ 结合四种命题的定义,及互为逆否的两个命题,真假性相同,分别判断各个结论的真假,可得答案.‎ ‎【解答】解:①“若a2<b2,则a<b”的否命题为“若a2≥b2,则a≥b”为假命题,故错误;‎ ‎②“全等三角形面积相等”的逆命题“面积相等的三角形全等”为假命题,故错误;‎ ‎③若a>1,则△=4a2﹣4a(a+3)=﹣12a<0,‎ 此时ax2﹣2ax+a+3>0恒成立,‎ 故“若a>1,则ax2﹣2ax+a+3>0的解集为R”为真命题,故其逆否命题为真命题,故正确;‎ ‎④“若x(x≠0)为有理数,则x为无理数”为真命题,故其的逆否命题,故正确.‎ 故选:A ‎ ‎ ‎11.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1B1BA,且AA1=AB=BC=2,则AC与平面A1BC所成角为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】直线与平面所成的角.‎ ‎【分析】证明AD⊥平面A1BC,得出∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角,求出AC=,AD=,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:如图,AB1∩A1B=D,连结CD,‎ ‎∵AA1=AB,∴AD⊥A1B,‎ ‎∵平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B,‎ ‎∴AD⊥平面A1BC,‎ 则CD是AC在平面A1BC内的射影,‎ ‎∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角,‎ 又BC⊂平面A1BC,‎ 所以AD⊥BC,‎ 因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱,‎ 则AA1⊥底面ABC,‎ 所以AA1⊥BC.‎ 又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,‎ 又AB⊂侧面A1ABB1,故AB⊥BC ‎∵AA1=AB=BC=2,∴AC=,AD=‎ ‎∴sin∠ACD=,∴∠ACD=,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎12.已知F1、F2是双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左右焦点,P是双曲线C上一点,且|PF1|+|PF2|=6a,△PF1F2的最小内角为30°,则双曲线C的离心率e为(  )‎ A. B.2 C. D. ‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|,|PF2|,进而确定最小内角,再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:设|PF1|>|PF2|,则|PF1|﹣|PF2|=2a,‎ 又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.‎ 则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°,‎ ‎∴(2a)2=(4a)2+(2c)2﹣2×4a×2c×,‎ ‎∴,解得e=.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本小题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知平面β的法向量是(2,3,﹣1),直线l的方向向量是(4,λ,﹣2),若l∥β,则λ的值是 ﹣ .‎ ‎【考点】平面的法向量.‎ ‎【分析】由l∥β,知平面β的法向量是与直线l的方向向量垂直,由此能示出结果.‎ ‎【解答】解:∵平面β的法向量是(2,3,﹣1),直线l的方向向量是(4,λ,﹣2),l∥β,‎ ‎∴(2,3,﹣1)•(4,λ,﹣2)=8+3λ+2=0,‎ 解得λ=﹣.‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎14.命题“∃x∈(0,+∞),x2﹣3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为 a≤2 .‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用;特称命题.‎ ‎【分析】若命题“∃x∈(0,+∞),x2﹣3ax+9<0”为假命题,则命题“∀x∈(0,+∞),x2﹣3ax+9≥0”为真命题,即命题“∀x∈(0,+∞),a≤=”为真命题,结合基本不等式可得答案.‎ ‎【解答】解:若命题“∃x∈(0,+∞),x2﹣3ax+9<0”为假命题,‎ 则命题“∀x∈(0,+∞),x2﹣3ax+9≥0”为真命题,‎ 即命题“∀x∈(0,+∞),a≤=”为真命题,‎ ‎∵x∈(0,+∞)时,≥=2,‎ 故a≤2,‎ 故答案为:a≤2.‎ ‎ ‎ ‎15.已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C: +=1(a>b>‎ ‎0且a,b为常数)上关于y轴对称的两点,P是椭圆上的左顶点,且直线PM,PN的斜率都存在(记为kPM,kPN),则kPM•kPN=.类比上述性质,可以得到双曲线的一个性质,并根据这个性质得:若M,N是双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)上关于y轴对称的两点,P是双曲线C的左顶点,直线PM,PN的斜率都存在(记为kPM,kPN),双曲线的离心率e=,则kPM•kPN等于 ﹣4 .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(﹣m,n),且,又设点P的坐标为(﹣a,0),表示出直线PM和PN的斜率,求得两直线斜率乘积的表达式即可 ‎【解答】解:M,N是双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)上关于y轴对称的两点,‎ P是双曲线C的左顶点,直线PM,PN的斜率都存在(记为kPM,kPN)‎ 设设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(﹣m,n),则,‎ 即n2=,又设点P的坐标为(﹣a,0),‎ 由kPM=,kPN=,‎ ‎∴kPM•kPN=×=﹣(e2﹣1)(常数).‎ ‎∴双曲线的离心率e=时,则kPM•kPN等于﹣4.‎ 故答案为:﹣4‎ ‎ ‎ ‎16.已知△ABC是一个面积较大的三角形,点P是△ABC所在平面内一点且++2=,现将3000粒黄豆随机抛在△ABC内,则落在△PBC内的黄豆数大约是 1500粒 .‎ ‎【考点】模拟方法估计概率.‎ ‎【分析】根据向量加法的平行四边形法则,结合共线向量充要条件,得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点.再根据几何概型公式,将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得概率,即可得到本题的答案.‎ ‎【解答】解:以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC,则+=,‎ ‎∵++2=,‎ ‎∴+=﹣2,‎ 得: =﹣2,‎ 由此可得,P是△ABC边BC上的中线AO的中点,‎ 点P到BC的距离等于A到BC的距离的.‎ ‎∴S△PBC=S△ABC.‎ 将一粒黄豆随机撒在△ABC内,黄豆落在△PBC内的概率为P=,‎ 将3000粒黄豆随机抛在△ABC内,则落在△PBC内的黄豆数大约是1500粒.‎ 故答案为1500粒.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本题共70分)‎ ‎17.设命题p:m∈{x|x2+(a﹣8)x﹣8a≤0},命题q:方程+‎ ‎=1表示焦点在x轴上的双曲线.‎ ‎(1)若当a=1时,命题p∧q假命题,p∨q”为真命题,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)若命题p是命题q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假.‎ ‎【分析】(1)分别求出p,q为真时的m的范围,根据p,q一真一假,得到关于m的不等式组,解出即可;‎ ‎(2)通过讨论a的范围,得到关于m的不等式组,解出即可.‎ ‎【解答】解:(1)a=1时,x2+(a﹣8)x﹣8a≤0,‎ 即x2﹣7x﹣8≤0,解得:﹣1≤x≤8,‎ 故p:﹣1≤m≤8,‎ 若方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,‎ 则,解得:m>5‎ 故q:m>5;‎ 若命题p∧q假命题,p∨q”为真命题,‎ 则p,q一真一假,‎ 故或,‎ 解得:m∈[﹣1,5]∪(8,+∞);‎ ‎(2)命题p:m∈{x|x2+(a﹣8)x﹣8a≤0}={x|(x﹣8)(x+a)≤0},‎ ‎﹣a<8即a>﹣8时,p:[﹣a,8],‎ ‎﹣a>8,即a<﹣8时,p:[8,﹣a],‎ q:m>5,‎ 若命题p是命题q的充分不必要条件,‎ 即[﹣a,8]⊊(5,+∞),或[8,﹣a]⊊(5,+∞),‎ 故﹣a>5,解得:a<﹣5.‎ ‎ ‎ ‎18.调查某车间20名工人的年龄,第i名工人的年龄为ai,具体数据见表:‎ i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ai ‎29‎ ‎28‎ ‎30‎ ‎19‎ ‎31‎ ‎28‎ ‎30‎ ‎28‎ ‎32‎ ‎31‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎29‎ ‎29‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎32‎ ‎30‎ ‎(1)作出这20名工人年龄的茎叶图;‎ ‎(2)求这20名工人年龄的众数和极差;‎ ‎(3)执行如图所示的算法流程图(其中是这20名工人年龄的平均数),求输出的S值.‎ ‎【考点】程序框图;茎叶图.‎ ‎【分析】(1)根据画茎叶图的步骤,画图即可;‎ ‎(2)根据众数和极差的定义,即可得出;‎ ‎(3)利用方差的计算公式,代入数据,计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)茎叶图如下:‎ ‎(2)这20名工人年龄的众数为30,极差为40﹣19=21;‎ ‎(3)年龄的平均数为: ==30.‎ 模拟执行程序,可得:S= [(19﹣30)2+3×(28﹣30)2+3×(29﹣30)2+5×(30﹣30)2+4×(31﹣30)2+3×(32﹣30)2+(40﹣30)2]=12.6.‎ ‎ ‎ ‎19.已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N+).‎ ‎(1)计算a2,a3,a4,并猜测出{an}的通项公式;‎ ‎(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜测.‎ ‎【考点】数学归纳法;数列递推式.‎ ‎【分析】(1)由an+1=,分别令n=1,2,3,能求出a2,a3,a4的值,根据前四项的值,总结规律能猜想出an的表达式.‎ ‎(2)当n=1时,验证猜相成立;再假设n=k时,猜想成立,由此推导出当n=k+1时猜想成立,由此利用数学归纳法能证明猜想成立.‎ ‎【解答】解:(1)a1=2,an+1=,‎ 当n=1时,a2==,‎ 当n=2时,a3==0,‎ 当n=4时,a4==﹣,‎ ‎∴猜想an=,(n∈N+).‎ ‎(2)①当n=1时,a1==2,等式成立,‎ ‎②假设n=k时,猜想成立,即ak=,‎ 那么当n=k+1时,ak+1===,等式成立,‎ 由①②可知,an=,(n∈N+).‎ ‎ ‎ ‎20.四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,BC⊥CD,PD=1,AB=,BC=CD=,AD=1.‎ ‎(1)求异面直线AB、PC所成角的余弦值;‎ ‎(2)点E是线段AB的中点,求二面角E﹣PC﹣D的大小.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角.‎ ‎【分析】(1)以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,过C点作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AB、PC所成角的余弦值.‎ ‎(2)求出平面PCE的法向量和平面PCB的法向量,利用向量法能求出二面角E﹣PC﹣D的大小.‎ ‎【解答】解:(1)以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,过C点作平面ABCD的垂线为z轴,‎ 建立空间直角坐标系,‎ A(,,0),B(0,,0),C(0,0,0),‎ P(),‎ ‎=(﹣,0,0),=(﹣),‎ 设异面直线AB、PC所成角为θ,‎ 则cosθ===,‎ ‎∴异面直线AB、PC所成角的余弦值为.‎ ‎(2)E(,,0),=(,,0),=(),=(0,),‎ 设平面PCE的法向量=(x,y,z),‎ 则,取x=,得 ‎,‎ 设平面PCB的法向量=(a,b,c),‎ 则,取a=,得=(),‎ 设二面角E﹣PC﹣D的大小为θ,‎ 则cosθ===.‎ θ=arccos.‎ ‎∴二面角E﹣PC﹣D的大小为arccos.‎ ‎ ‎ ‎21.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率e=,左顶点、上顶点分别为A,B,△OAB的面积为3(点O为坐标原点).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若P、Q分别是AB、椭圆C上的动点,且=λ(λ<0),求实数λ的取值范围.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)由e=,s△OAB==3,a2﹣b2=c2,求得a2,b2即可.‎ ‎(2)由(1)得直线AB的方程为:2x﹣3y+6=0.‎ 由得P(,y1).由得Q(,y2)‎ 由=λ(λ<0)得λ==﹣=﹣即可求解.‎ ‎【解答】解:(1)∵e=,s△OAB==3,a2﹣b2=c2∴a2=9,b2=4.‎ 椭圆C的方程为:.‎ ‎(2)由(1)得A(﹣3,0),B(0.2),∴直线AB的方程为:2x﹣3y+6=0.‎ ‎∵P、Q分别是AB、椭圆C上的动点,且=λ(λ<0),∴P、O、Q三点共线,‎ 设直线PQ的方程为:y=kx (k<0)‎ 由得P(,y1).‎ 由得Q(,y2)‎ 由=λ(λ<0)得 λ==﹣‎ ‎=﹣‎ ‎∵k<0∴9k+,∴﹣1<λ<≤﹣,‎ 当直线PQ的斜率为0或不存在时,λ=﹣1,‎ 综上:实数λ的取值范围:[﹣1,﹣]‎ ‎ ‎ ‎22.已知抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:﹣=1(a>0.b>0)有公共焦点F,且在第一象限的交点为P(3,2).‎ ‎(1)求抛物线C1,双曲线C2的方程;‎ ‎(2)过点F且互相垂直的两动直线被抛物线C1截得的弦分别为AB,CD,弦AB、CD的中点分别为G、H,探究直线GH是否过定点,若GH过定点,求出定点坐标;若直线GH不过定点,说明理由.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】(1)P(3,2)代入抛物线C1:y2=2px(p>0),可得p,求出抛物线方程.焦点F(2,0),则,求出a,b,可得双曲线C2的方程;‎ ‎(2)欲证明直线GH过定点,只需求出含参数的直线GH的方程,观察是否过定点即可.设出A,B,G,H的坐标,用A,B坐标表示G,H坐标,求出直线GH方程,化为点斜式,可以发现直线必过点(3,0).‎ ‎【解答】解:(1)P(3,2)代入抛物线C1:y2=2px(p>0),可得p=4,∴抛物线C1:y2=8x;‎ 焦点F(2,0),则,∴a=1,b=,∴双曲线C2的方程=1;‎ ‎(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),G(x3,y3),H(x4,y4)‎ 把直线AB:y=k(x﹣2)代入y2=8x,得:‎ k2x2﹣(4k2+8)x+4k2=0,∴x3=2+,y3=k(x3﹣2)=,‎ 同理可得,x4=2+4k2,y4=﹣4k,‎ ‎∴kGH=,‎ ‎∴直线GH为y﹣=(x﹣2﹣),即y=(x﹣3),过定点P(3,0).‎ ‎ ‎