安徽省芜湖市城南实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试卷 20页

数学试卷 一、单选题 ‎1.圆锥的底面半径为2，高为，则圆锥的侧面积为（ ）‎ A. 3π B. 12π C. 5π D. 6π ‎【答案】D ‎【解析】‎ 圆锥的母线l==3，∴圆锥的侧面积S=πrl=π×2×3=6π，故选D．‎ 考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的侧面积．‎ ‎2.圆的圆心和半径分别为 A. 圆心，半径为2 B. 圆心，半径为2‎ C. 圆心，半径为4 D. 圆心，半径为4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆的一般式化成标准方程，即可得到圆心和半径．‎ ‎【详解】将配方得 ‎ ‎ 所以圆心为，半径为2‎ 所以选B ‎【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化，属于基础题．‎ ‎3.过点且与直线垂直的直线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与已知直线垂直的直线系方程，可设直线垂直的直线方程，再把点代入，即可求出值，得到所求方程.‎ ‎【详解】因为所求直线方程与直线垂直，设所求直线的方程为，‎ 因为直线过点，代入可得，解得，‎ 所以所求直线的方程为，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用两条直线的位置关系求解直线的方程，根据与已知直线垂直的直线系方程，设处所求直线方程，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎4.设m，n是两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是（ ）‎ A. ，且，则 B. ，且，则 C. ，且，则 D. ，且，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间点线面的位置关系，对选项进行逐一判断，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，画出图像如下图所示，由图可知，命题正确.‎ 对于B选项，画出图像如下图所示，由图可知，，故B选项命题错误.‎ 对于C选项，画出图像如下图所示，由图可知，命题正确.‎ 对于D选项，画出图像如下图所示，由图可知，命题正确.‎ 综上所述，本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题考查空间点线面的位置关系，只需根据命题的条件画出图像，判断结论是否正确即可，属于基础题.‎ ‎5.已知水平放置的，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原的面积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直观图和原图的面积之间的关系 ，直接求解即可．‎ ‎【详解】因为，‎ 且若△A′B′C′的面积为，‎ 那么△ABC的面积为 ，‎ 故答案B．‎ ‎【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本概念、基本运算的考查．‎ ‎6. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由三视图知几何体为三棱锥，棱锥的高为2，底面为等腰三角形，且等腰三角形的底边长为2，高为2．‎ 故三棱锥的体积为．选C．‎ ‎7.若直线与互相垂直，则等于（　　）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线垂直的充分必要条件得到关于a的方程，解方程即可确定实数a的值.‎ ‎【详解】∵直线与互相垂直，‎ ‎∴，‎ 解得或．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线垂直的充分必要条件，属于中等题.‎ ‎8.两圆和的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径的关系，即可得到结果.‎ ‎【详解】由圆的圆心为，半径为1，‎ 圆圆心为半径为3，‎ 所以圆心距为，此时，即圆心距等于半径的差，所以两个圆相内切，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两个圆的的位置关系的判定，其中熟记两圆的位置关系的判定方法，准确作出运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9.在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为　　‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正方体的性质可知，是异面直线与所成的角，‎ 利用是正三角形，即可得结果.‎ ‎【详解】由正方体的性质可知，‎ 是异面直线与所成的角，‎ 是正三角形，‎ ‎，‎ 余弦值为，故选B.‎ ‎【点睛】求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ ‎10.在中，，为所在平面外一点，平面，则四面体中直角三角形的个数为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 由平面可得都是直角三角形，且，得到是直角三角形，且平面，进而得为直角三角形，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，知平面可得都是直角三角形，且，‎ 又，所以是直角三角形，且平面，‎ 所以，即为直角三角形.‎ 故四面体中共有4个直角三角形.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面位置关系的应用，其中解答中熟练应用线面垂直的性质定理，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎11.已知坐标平面内三点，，，直线过点.若直线与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线的斜率，再求出直线的斜率，然后结合图像观察即可得直线的斜率取值范围为，然后求出线的倾斜角的取值范围即可.‎ ‎【详解】解：∵，，∴直线的斜率，‎ 同理可得直线的斜率．设直线与线段交于点，‎ 当直线的倾斜角为锐角时，随着从向移动的过程中，的倾斜角变大，‎ 的斜率也变大，直到平行轴时的斜率不存在，此时的斜率；‎ 当直线的倾斜角为钝角时，随着的倾斜角变大，的斜率从负无穷增大到直线的斜率，此时的斜率．由图可得直线的斜率取值范围为：．‎ 即直线的倾斜角的取值范围.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.‎ ‎12.已知直线l：y＝x＋m与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A. ［－1,) B. (－，－1］ C. [1，) D. (－‎ ‎，1］‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由曲线表示一个半圆，直线表示平行于的直线，作出图象，利用数形结合思想，即可求解.‎ ‎【详解】根据题意，可得曲线表示一个半圆，直线表示平行于的直线，‎ 其中表示在轴上的截距，‎ 作出图象，如图所示，‎ 从图中可知之间的平行线与圆有两个交点，在轴上的截距分别为，‎ 所以实数的取值范围是，故选B.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中作出曲线的图象和明确直线表示平行于的直线，其中表示在轴上的截距，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13.已知空间两点，，则它们之间的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用空间两点间距离公式求解即可．‎ ‎【详解】空间两点，，则它们之间的距离为：‎ ‎ ．‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查空间两点间距离构公式的应用，基本知识的考查．‎ ‎14.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出条件中所给的直线的倾斜角是，根据要求的直线的倾斜角是它的二倍，得到要求的直线的倾斜角是，即直线与横轴垂直，又知直线过的点，写出直线的方程．‎ ‎【详解】∵直线的倾斜角是45°，‎ 直线的倾斜角是直线的两倍，‎ ‎∴要求直线的倾斜角是，‎ ‎∵直线过点，∴直线的方程是，故答案为 ‎【点睛】本题考查直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，考查两条直线的斜率的关系，考查过定点和已知直线的斜率的方程的写法，属于基础题．‎ ‎15.已知四面体的棱,,,则此四面体外接球的表面积__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设BD的中点为O,再证明，即得点O是四面体的外接球的球心，再求出外接球的表面积.‎ ‎【详解】设BD的中点为O,‎ 如图 因为AB=3,AD=4,BD=5,所以 因为BO=OD,所以AO=‎ 同理CO=,‎ 所以,‎ 所以点O是四面体ABCD的外接球的球心，且半径R为.‎ 所以四面体外接球的表面积为 故答案为25π.‎ ‎【点睛】本题主要考查几何体的外接球的表面积的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力,解答本题的关键是找到球的球心再求出球的半径.‎ ‎16.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论 ‎①AB⊥EF； ‎ ‎②AB与CM所成的角为60°； ‎ ‎③EF与MN是异面直线；‎ ‎④MN∥CD． ‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是 _________‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，再根据所给结论进行逐一判定即可.‎ ‎【详解】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图：‎ 则，与异面，，‎ 只有①③正确.‎ 故答案为①③.‎ ‎【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，直线与直线的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题，其中把正方体的平面展开图还原成原来的正方体是解答本题的关键.‎ 三、解答题 ‎17.如图所示(单位:cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.‎ ‎【答案】表面积，体积 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:该几何体为一个圆台去掉一个半球，分别求圆台侧面积和半球表面积及圆台下底面积，其和即为所求.‎ 试题解析：‎ S球＝×4π×22＝8π(cm2)，‎ S圆台侧＝π(2＋5)，‎ S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，‎ 即该几何体的表面积为 ‎8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．‎ ‎ ‎ 点睛：本题考查了旋转体生成以，旋转体表面积、体积，以及空间想象力，属于中档题.解决本类问题时，首先要作出旋转体的直观图，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据，这类问题对空间想象力，转化能力及计算能力都有较高的要求，需要特别强化训练注意总结解题规律.‎ ‎18.直线被两直线：和：截得的线段中点为.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）已知点，，在直线上找一点，使最小，并求出这个最小值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）,的最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先设直线与直线交于点，与直线交于点，设点，则，再列方程组，然后求解即可得解；‎ ‎（2）先求出点关于直线的对称点为 ‎，然后结合两点之间线段最短的性质，利用两点的距离公式求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）设直线与直线交于点，与直线交于点，设点，则，∴，解得，则，‎ 即直线所在直线方程为， ‎ 故所求直线为.‎ ‎（2）设点关于直线的对称点，则，‎ 解得的坐标为,‎ 又因为两点之间线段最短，‎ 故的最小值，‎ 此时直线的方程为，化简为，‎ 联立，解得，即.‎ ‎【点睛】本题考查了中点坐标公式及点关于线对称问题，重点考查了两点的距离公式及直线交点坐标的求法，属中档题.‎ ‎19.如图，四棱锥的底面为菱形，，，分别为和的中点．‎ ‎（）求证：平面．‎ ‎（）求证：平面．‎ ‎【答案】(1) 证明见解析.‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）证明线面平行，只需在面内找一条直线与已知线平行即可，取中点为，证明四边形是平行四边形即可；（2）证明线面垂直则需在面内找两条相交直线与已知线垂直即可，，即可得证.‎ 详解：‎ ‎（）证明：取中点为，‎ ‎∵在中，是中点，是中点，‎ ‎∴，且，‎ 又∵底面是菱形，‎ ‎∴，‎ ‎∵是中点，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴四边形平行四边形，‎ ‎∴，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（）证明：设，则是中点，‎ ‎∵底面是菱形，‎ ‎∴，‎ 又∵，是中点，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴平面．‎ 点睛：本题考查了空间直线平面的平行，垂直，关键是熟练掌握定理，定义，把空间问题转化为平面问题求解，属于中档题．‎ ‎20.已知圆：，直线：.‎ ‎（1）求证：直线与圆相交；‎ ‎（2）计算直线被圆截得的最短的弦长.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得直线：过定点，然后结合点与直线的位置关系求解即可；‎ ‎（2）由圆的性质可得：当垂直弦时，弦长最短，再利用勾股定理求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）将圆的一般方程化为标准方程得：，则圆心坐标为，半径为，‎ 又直线：变形为，‎ 解不等式组，解得， ‎ 即直线经过定点，‎ 又，‎ 则点在圆的内部，‎ 故直线和圆相交.‎ ‎（2）由圆的性质可得：当垂直弦时，弦长最短，‎ 又，‎ 则，‎ 即 ,‎ 故直线被圆截得的最短的弦长.‎ ‎【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，重点考查了圆的弦长的求法，属基础题.‎ ‎21.在中，边上的高所在的直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求直线BC的方程；‎ ‎（3）求点C的坐标．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（1）直线和直线的交点得，即的坐标为，‎ ‎（2）∵直线为边上的高，由垂直得，，‎ 所以直线BC的方程为 ‎（3）∵的平分线所在直线的方程为，A(-1,0),B（1，2），,设的坐标为，则，‎ 解得，即的坐标为．‎ 考点：直线方程及点的对称 ‎【点睛】‎ 点评：本题中前两问较简单，第三问主要由角平分线得到两直线AC,AB关于对称，因此点C关于的对称点必定在直线AB上，因此第三问还可结合对称性求解 ‎22.如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．‎ ‎（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）求棱锥E-DFC的体积；‎ ‎（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)平面；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查线面垂直、线面平行、线线垂直、线线平行以及锥体体积问题，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，在中，利用中位线得到与平行，通过线面平行的判断定理即可得到平面 ‎；第二问，要求三棱锥的体积，找到底面积和高是关键，通过的翻折得出平面，通过，得出平面，所以为锥体的高，利用锥体体积公式计算出体积；第三问，在线段上取点．使， 过作于，在中，利用边长求出的正切，从而确定角的度数，在等边三角形中，是角平分线，所以，再利用线面垂直的判定证出平面，所以.‎ ‎【详解】（1）平面，理由如下：‎ 如图：在中，由分别是、中点，得，‎ 又平面，平面．∴平面．‎ ‎（2）∵，，将沿翻折成直二面角．‎ ‎∴∴平面 取的中点，这时∴平面，，‎ ‎（3）在线段上存在点，使 证明如下：线段上取点．使， 过作于，‎ ‎∵平面∴平面 ‎∴， ∴‎ ‎∴，又在等边中，∴‎ ‎∵平面∴．‎ ‎∴平面， ∴．‎ 此时， ∴．‎ 考点：1.线面平行的判定定理；2.线面垂直的判定；3.锥体体积公式.‎ ‎ ‎