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- 2021-06-30 发布
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2020年新课标二高考数学(文科)预测卷 (二)
注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.设复数z在复平面内对应的点的坐标为,则( )
A. B. C. D.3
3.若双曲线()的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
4.已知,且,则a与b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
5.已知,,则( )
A. B. C. D.
6.如图,在等腰直角三角形中, , ,以为直径作半圆,再以为直径作半圆,若向整个几何图形中随机投掷一点,那么该点落在阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
7.平面过正方体的顶点A,平面,平面,平面,则所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.函数的部分图象如图所示,关于函数有下述四个结论:
①②;③当时,的最小值为;④在上单调递增.
其中所有正确结论的序号是( )
A.①②④ B.②④ C.①② D.①②③④
10.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某四面体的三视图,则该四面体的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
11.抛物线的焦点为F,准线为l, 是抛物线上的两个动点,且满足,P为线段的中点,设P在l上的射影为Q,则的最大值是( )
A. B. C. D.
12.已知函数,且(,且)在区间上为单调函数,若函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.命题“”是假命题则实数a的取值范围是 .
14.已知直线与圆交于两点,过分别作l的垂线与x轴交于两点,若,则__________.
15.已知实数满足约束条件,若的最大值为11,则实数c的值为________.
16.在中,内角所对的边分别是,且 ,
,则的面积为 .
三、解答题
17.已知为数列的前n项和,满足,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
18.如图,在直三棱柱中,,,为的中点.
(1)证明:平面平面.
(2)求三棱锥的体积.
19.下面给出了根据我国2012年~2018年水果人均占有量y(单位:kg)和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图(2012年~2018年的年份代码x分别为1~7).
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
(1)根据散点图分析y与x之间的相关关系;
(2)根据散点图相应数据计算得,求y关于x的线性回归方程;(精确到0.01)
(3)根据线性回归方程的残差图,分析线性回归方程的拟合效果.
20.已知椭圆直线过焦点并与椭圆C交于两点,且当直线平行于x轴时,.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若,求直线的方程.
21.已知函数.
(1)若,讨论的单调性.
(2)若在区间内有两个极值点,求实数a的取值范围.
22.在极坐标系中,直线的极坐标方程为,曲线C的极坐标方程为,以极点为坐标原点O,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,射线与曲线C交于两点.
(1)写出直线的直角坐标方程以及曲线C的参数方程.
(2)若射线与直线交于点N,求的取值范围.
23.设函数.
(1)解不等式;
(2)若函数图象的最低点的坐标为,且正实数满足,求的最小值.
参考答案
1.答案:B
解析:依题意,,故.
2.答案:C
解析:由题意得,所以.故选C.
3.答案:C
解析:∵双曲线方程为
∴该双曲线的渐近线方程为,
又∵一条渐近线经过点,∴,得,
由此可得,双曲线的离心率
4.答案:C
解析:因为,所以,所以.
又,,所以.由向量的夹角公式,得.
又,所以向量a与b的夹角为120°故选C.
5.答案:B
解析:,,
,,又
6.答案:B
解析:如图,不妨设,则.由图易知区域②的面积等于以为直径的半圆的面积减去区域①的面积,所以,而,所以阴影部分的面积为,又整个图形的面积,所以由几何概型概率的计算方法知,所求概率为.
7.答案:A
解析:如图,设平面平面,平面,因为平面,所以,则所成角等于所成的角,延长,过作,连接,则为,同理为,而,则所成的角即为所成的角,即为,故所成角的正弦值为,故选A
8.答案:A
解析:由题意知
所以函数是奇函数,排除C,D选项,因为当时,,所以排除B,选A
9.答案:C
解析:根据题意,得函数的最小正周期,所以,
又易知,所以,
又,所以,所以,①正确
,所以②正确;
当时,,,的最小值为,所以③不正确;
令,解得,所以的单调递增区间为,当时的单调递增区间为,所以④不正确故选C
10.答案:D
解析:由三视图可知,这个四面体为三棱锥,且三棱锥的每个顶点都在边长为4的正方体上,如下图所示
三棱锥底面为直角边长等于4的等腰直角三角形,同时三棱锥的高为4,三条侧棱长分别为
,
由图可知四面体的外接球与正方体的外接球为同一个外接球,所以外接球的半径,故外接球表面积,故选项D正确.
11.答案:C
解析:设,在l上的射影分别为,则,故.又,所以.因为,所以,当且仅当时等号成立,故.故选C
12.答案:C
解析:因为函数在区间上为单调函数,且当时,在上单调递增,所以,解得.函数有两个不同的零点等价于有两个不同的实数根,所以函数的图像与直线有两个不同的交点,作出函数的大致图像与直线,如图,当时,由,得,易知函数的图像与直线在内有唯一交点,则函数的图像与直线在内有唯一交点,所以或.综上可知实数a的取值范围是.
13.答案:
解析:因为命题“”是假命题,
所以原命题的否定“”为真命题,
所以,解得或1.所以实数a的取值范围为.
14.答案:4
解析:设圆心到直线的距离为d,
则弦长,
得,
即,
解得,
则直线,
数形结合可得.
15.答案:23
解析:作出可行域如图中阴影部分所示,
易知,所以
作出直线并平移,分析可知,当平移后的直线经过直线和直线的交点时,取得最大值,由解得,故,解得
16.答案:6
解析:由题设得,,
所以,,
所以,.
所以,即.又,,,
所以,所以,
所以的面积.
17.答案:(1)由,得①,
所以②,
由②-①,得,所以,
故数列是公差为2的等差数列.
因为,所以,解得,
所以.
(2)由(1)得,,
所以.
解析:
18.答案:(1)易知,
,,,,,
又,平面,
平面,
平面,.
为的中点,,,
,.
又,平面,平面,
又平面,平面平面.
(2)由(1)知,
,,平面,平面.
又,平面,平面,
平面,点E到平面的距离为线段的长.
.
解析:
19.答案:(1)根据散点图可知y与x正线性相关.
(2)由所给数据计算得
,
,
,
,
,
所求线性回归方程为.
(3)由题中的残差图知历年数据的残差均在-2到2之间,说明线性回归方程的拟合效果较好.
解析:
20.答案:(1)当直线平行于x轴时,直线,
则,即
又,,,.
椭圆C的标准方程为.
(2)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时不满足.
且由(1)知当时也不满足.
设直线的斜率为k,则直线的方程为
设,.
联立得方程组,
消去y并整理,得.
,.
,,
,即,解得
直线的方程为.
解析:
21.答案:(1)由题意可得的定义域为,
,
当时,易知,
所以,由得,由得,
所以在上单调递减,在上单调递增.
(2)由(1)可得,
当时,
记,则,
因为在区间内有两个极值点,
所以在区间内有两个零点,所以.
令,则,
①当,即时,在上,,所以在上,
单调递减,的图象至多与x轴有一个交点,不满足题意
②当,即时,在上,,所以在上,
单调递增,的图象至多与x轴有一个交点,不满足题意.
③当,即时,在上单调递增,在上单调递减,
由知,要使在区间内有两个零点,
必须满足,解得,
综上所述,实数a的取值范围是.
解析:
22.答案:(1)依题意,直线的直角坐标方程为.
曲线,故,故,
故曲线C的参数方程为,(φ为参数).
(2)设,,则,.
所以.
因为,故,所以,所以.
所以,故的取值范围是.
解析:
23.答案:(1),
所以不等式等价于,或,或,
解得或或,
所以不等式的解集为
(2)由(1)可得函数图象的最低点的坐标为,
则,所以,
,当且仅当时取等号,
所以的最小值为1