陕西省咸阳市2020届高三高考模拟检测检测（二）数学（理）试题 11页

咸阳市2020年高考模拟检测（二）‎ 数学（理科）试题 注意事项：‎ ‎1．本试卷共4页满分150分，时间120分钟；‎ ‎2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；‎ ‎3．第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂,第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；‎ ‎4．考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集，，，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）．‎ A．2 B． C． D．‎ ‎3．已知向量，，则向量在向量方向上的投影等于（ ）．‎ A． B．‎9 C． D．‎ ‎4．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15， ，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球， ）若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆第10层球的个数为（ ）．‎ A．66 B．‎55 C．45 D．38‎ ‎5．已知一组数据的茎叶图如图所示下列说法错误的是（ ）．‎ A．该组数据的极差为12 B．该组数据的中位数为21‎ C．该组数据的平均数为21 D．该组数据的方差为11‎ ‎6．已知，则下列不等式不成立的是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）．‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．的展开式中项的系数为（ ）．‎ A．24 B．‎18 C．12 D．4‎ ‎9．若，且，则的值为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎10．抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则的值为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎11．将函数的图像向右平移个单位长度后得函数图像，若为偶函数，则（ ）．‎ A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 ‎12．已知函数，则函数的零点个数为（ ）．‎ A．6 B．‎7 C．9 D．10‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知实数，满足不等式组，则的最大值为________．‎ ‎14．已知定义在上的函数满足，且，则________．‎ ‎15．在中内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为________．‎ ‎16．已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则该三棱柱的体积为________．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列满足，，其前项和为．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式及；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，且，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表：‎ 学生的编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 数学 ‎89‎ ‎87‎ ‎79‎ ‎81‎ ‎78‎ ‎90‎ 物理 ‎79‎ ‎75‎ ‎77‎ ‎73‎ ‎72‎ ‎74‎ ‎（Ⅰ）若在本次考试中规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手．从这6个学生中抽出2个学生，设表示理科小能手的人数，求的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用表示数学成绩，用表示物理成绩，求与的回归方程．‎ 参考公式：，其中，．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆过点，且其离心率为，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别相交于，两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在圆心在原点的定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数（且）．‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）对任意，恒成立，求的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线．‎ ‎（Ⅰ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线与相交于异于极点的交点为，与的交点为，求．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式有解，记实数的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）正数，，满足，求证．‎ 咸阳市2020年高考模拟检测（二）‎ 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．A 2．C 3．D 4．B 5．D 6．B 7．A 8．B 9．D 10．A 11．D 12．B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．6 14．3 15． 16．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，‎ 解得：， （4分）‎ ‎∴，， （6分）‎ ‎（Ⅱ）（错位相减法）‎ ‎，①‎ ‎①式两边同时乘，得，②‎ 可得，， （8分）‎ ‎，‎ ‎， （10分）‎ ‎． （12分）‎ ‎18．解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，．‎ ‎∵，∴．‎ 又∵，，∴四边形为正方形，则．‎ ‎∵平面，平面，∴．‎ ‎∵，∴平面． （4分）‎ ‎∵，，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴，∴平面．‎ 又平面，∴平面平面． （6分）‎ ‎（Ⅱ）∵平面，∴为与平面所成的角，‎ 即，则．‎ 设，则，，．‎ 以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，．‎ ‎∵平面，∴平面的一个法向量． （8分）‎ 设平面的法向量，‎ ‎∵，，‎ 则，取，则． （10分）‎ 设二面角的平面角为，‎ ‎∴．‎ 由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为． （12分）‎ ‎19．解：（Ⅰ）由题意得的可能取值为0，1，2，‎ ‎6个学生中理科小能手有2人，‎ ‎，‎ ‎， （4分）‎ ‎． （4分）‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎． （6分）‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎， （8分）‎ ‎ （9分）‎ ‎∴回归方程为：． （12分）‎ ‎20．解：（Ⅰ）椭圆经过点，∴，又∵ （2分）‎ 解之得，．所以椭圆的方程为 （4分）‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由对称性，设，．‎ ‎∵，在椭圆上，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴到直线的距离为，． （6分）‎ 当直线的斜率存在时，设的方程为，‎ 由得．‎ 设，，则，． （8分）‎ ‎∵，∴‎ ‎∴．‎ ‎∴，即． （10分）‎ ‎∴到直线的距离为，‎ 故存在定圆与直线总相切． （12分）‎ ‎21．解：（Ⅰ）由． （1分）‎ 当时，时，，单调递减；‎ 时，，单调递增． （2分）‎ 当时，时，，单调递减；‎ 时，，单调递增． （3分）‎ 综上所述，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （4分）‎ ‎（Ⅱ）由题意知对任意，‎ 恒成立，‎ 又由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以只需：‎ ‎ （8分）‎ 设．‎ ‎∵，∴在区间上单调递增；在区间上单调递减．‎ 注意到，所以，当不等式（1）成立；当时不等式（1）不成立．‎ 又，∴当不等式（1）也成立，‎ 所以，时不等式（1）成立．此时，不等式（2）也成立，而当时，‎ ‎，由函数的性质知，不等式（2）不成立．‎ 综上所述，不等式组的解为． （11分）‎ 又∵，∴实数的取值范围为． （12分）‎ ‎（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的笫一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎22．解：（Ⅰ）曲线（为参数）可化为普通方程：， （2分）‎ 由可得曲线的极坐标方程为， （3分）‎ 曲线的极坐标方程为． （5分）‎ ‎（Ⅱ）射线与曲线的交点的极径为， （6分）‎ 射线与曲线的交点的极径满足，解得， （8分）‎ ‎∴． （10分）‎ ‎23．解：（Ⅰ）， （2分）‎ 若不等式有解，则满足， （3分）‎ 解得．∴． （5分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知正数，，满足，‎ ‎∴， （7分）‎ ‎． （9分）‎ 当且仅当，时，取等号． （10分）‎