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- 2021-06-30 发布
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第1讲 绝对值不等式
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 绝对值不等式的解法
1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方转化为二次不等式求解．
2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式
(1)绝对值不等式|x|>a与|x|0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．
考点2 绝对值不等式的应用
1．定理：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
2．如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
3．由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式
(1)|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
(2)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
(3)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)|ax＋b|≤c(c≥0)的解等价于－c≤ax＋b≤c.( )
(2)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( )
(3)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( )
(4)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．( )
(5)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．[课本改编]不等式3≤|5－2x|<9的解集为( )
A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]
C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)
答案 D
解析 由题得⇒
⇒得解集为(－2,1]∪[4,7)．
3．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[1,2]
D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案 A
解析 ∵|x＋3|－|x－1|≤|(x＋3)－(x－1)|＝4，∴a2－3a≥4恒成立，∴a∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
4．[课本改编]不等式|x－1|<4－|x＋2|的解集是________．
答案
解析 由|x－1|<4－|x＋2|，得或
或解得1≤x<或－22，所以x>2.
综上可知，原不等式的解集为.
板块二 典例探究·考向突破
考向 绝对值不等式的解法
例 1 [2017·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
解 (1)f(x)＝
当x＜－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，
解得1≤x≤2；
当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m，得
m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，
且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝，
故m的取值范围为.
触类旁通
绝对值不等式的常用解法
(1)基本性质法：对a>0，|x|a⇔x<－a或x>a.
(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．
(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解．
(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
【变式训练1】 [2017·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①
当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；
当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而1＜x≤.
所以f(x)≥g(x)的解集为
(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，
所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.
又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，
所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.
所以a的取值范围为[－1,1]．
考向 绝对值三角不等式的应用
例 2 (1)[2018·江西模拟]已知函数f(x)＝|2x－1|.
①求不等式f(x)<4的解集；
②若函数g(x)＝f(x)＋f(x－1)的最小值为a，且m＋n＝a(m>0，n>0)，求＋的取值范围．
解 ①不等式f(x)<4，即|2x－1|<4，即－4<2x－1<4，求得－0，n>0)，则＋＝＋＝1＋＋＋＝＋＋≥＋2＝＋，当且仅当m＝4－2，n＝2－2时等号成立，
故＋的取值范围为.
(2)[2018·太原模拟]已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.
①解不等式：|g(x)|<5；
②若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．
解 ①由||x－1|＋2|<5，得－5<|x－1|＋2<5，
所以－7<|x－1|<3，解不等式得－21时，2x≥3，∴x≥1.5.
综上所述x≤－1.5或x≥1.5.
(2)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.
①若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求实数a的取值范围；
②当a<2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．
解 ①由题f(x)≤2－|x－1|，可得＋|x－1|≤1.
而由绝对值的几何意义知＋|x－1|≥，
由不等式f(x)≤2－|x－1|有解，得≤1，
即0≤a≤4.
故实数a的取值范围是[0,4]．
②函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a<2，即<1时，
f(x)＝
所以f(x)min＝f＝－＋1＝3，得a＝－4<2(符合题意)，
故a＝－4.
考向 与绝对值不等式有关的求参问题
例 3 [2018·安徽模拟]已知函数f(x)＝|x－4|，g(x)＝a|x|，a∈R.
(1)当a＝2时，解关于x的不等式f(x)>2g(x)＋1；
(2)若不等式f(x)≥g(x)－4对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，不等式f(x)>2g(x)＋1为|x－4|>4|x|＋1，
x<0，不等式化为4－x>－4x＋1，解得x>－1，
∴－14x＋1，解得x<，
∴0≤x<；
x>4，不等式化为x－4>4x＋1，解得x<－，无解；
综上所述，不等式的解集为{x.
(2)若不等式f(x)≥g(x)－4对任意x∈R恒成立，即|x－4|≥a|x|－4对任意x∈R恒成立，
当x＝0时，不等式|x－4|≥a|x|－4恒成立；
当x≠0时，问题等价于a≤对任意非零实数恒成立．
∵≥＝1，
∴a≤1，即a的取值范围是(－∞，1]．
触类旁通
(1)当a＝2时，不等式f(x)>2g(x)＋1为|x－4|>4|x|＋1，分类讨论求得x的范围．
(2)由题意可得|x－4|≥a|x|－4对任意x∈R恒成立．当x＝0时，不等式显然成立；当x≠0时，采用分离参数法，问题等价于a≤对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得a的范围．
含绝对值不等式的应用中的数学思想
(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．
(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．
【变式训练3】 (1)已知函数f(x)＝|1－2x|－|1＋x|.
①若不等式f(x)<4的解集为{x|a时，x－2<4，∴1，即a<－1.
综上，实数a的取值范围为(－∞，－1)．
②在同一坐标系内作出函数g(x)＝|x＋1|－|x|图象和y＝x的图象如图所示，由题意可知，把函数y＝g(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y＝x的图象始终有3个交点，从而－1ax对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．
解 (1)f(x)0，
∴x<－5或x>1，
∴不等式的解集为{x|x<－5或x>1}．
(2)令H(x)＝2f(x)＋g(x)＝
G(x)＝ax，
2f(x)＋g(x)>ax对任意的实数x恒成立，即H(x)的图象恒在直线G(x)＝ax的上方，故直线G(x)＝ax的斜率a满足－4≤a<，即a的范围为.
2．[2018·深圳模拟]已知函数f(x)＝|x－5|－|x－2|.
(1)若∃x∈R，使得f(x)≤m成立，求m的取值范围；
(2)求不等式x2－8x＋15＋f(x)≤0的解集．
解 (1)f(x)＝|x－5|－|x－2|＝
当29；
(2)设关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}，如果A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝5时，f(x)＝|x＋5|＋|x－2|.
①当x≥2时，由f(x)>9，得2x＋3>9，解得x>3；
②当－5≤x<2时，由f(x) >9，得7>9，此时不等式无解；
③当x<－5时，由f(x)>9，得－2x－3>9，解得x<－6.
综上所述，当a＝5时，关于x的不等式f(x)>9的解集为{x∈R|x<－6或x>3}．
(2)∵A∪B＝A，∴B⊆A.
又B＝{x∈R||2x－1|≤3}＝{x∈R|－1≤x≤2}，关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，
∴当－1≤x≤2时，f(x)≤|x－4|恒成立．
由f(x)≤|x－4|得|x＋a|≤2.
∴当－1≤x≤2时，|x＋a|≤2恒成立，即－2－x≤a≤2－x恒成立．
∴实数a的取值范围为[－1,0]．
4．[2018·泉州模拟]已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－4|.
(1)解关于x的不等式f(x)<9；
(2)若直线y＝m与曲线y＝f(x)围成一个三角形，求实数m的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．
解 (1)x≤－1，不等式可化为－x－1－2x＋4<9，
∴x>－2，∴－2－4，∴－1－2时，x的取值范围是{x|－2≤x≤a}．
6．[2018·辽宁大连双基考试]设函数f(x)＝|x－1|＋|x－3|.
(1)求不等式f(x)>2的解集；
(2)若不等式f(x)≤a的解集非空，求实数a的取值范围．
解 (1)原不等式等价于
或或
∴不等式的解集为∪(3，＋∞)．
(2)f(x)＝|x－1|＋|x－3|
＝
f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(3,2)，
直线y＝a绕点旋转，
由图可得不等式f(x)≤a的解集非空时，a的取值范围为∪.
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