2018届二轮复习聚焦解析几何中的“新定义”问题学案 2页

聚焦解析几何中的“新定义”问题 题1（2014年福建高考）在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与x轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是 （ ）‎ 分析 本题是新定义问题，考查学生分析问题、解决问题的能力．‎ 解析 以线段的中点为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．‎ 不妨设，则．‎ 由题意（为定值），整理得．‎ 当时，方程化为，即，即．‎ 当时，方程化为，即，即．‎ 当时，方程化为，即．所以A图象符合题意．‎ 题2（2016年四川高考）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身，平面曲线上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线的“伴随曲线”，现有下列命题：‎ ① 若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A；‎ ② 单位圆的“伴随曲线”是它自身；‎ ③ 若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称；‎ ④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线.‎ 其中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.‎ 答案 ②③‎ 解析 ① 设的坐标，伴随点，的伴随点 横坐标为，同理可得纵坐标为，故. 错误；‎ ‎② 设单位圆上的点的坐标为，则的伴随点的坐标为，‎ 所以也在单位圆上，即：点是点延顺时针方向旋转. 正确；‎ ‎③ 设曲线上点的坐标，其关于轴对称的点也在曲线上，所以点的伴随点，点的伴随点，与关于轴对称。正确； ‎ ‎④ 反例：例如这条直线，则，而这三个点的伴随点分别是，而这三个点不在同一直线上 ‎ 下面给出严格证明：‎ 设点在直线，点的伴随点为，‎ 则，解得.‎ 代入直线方程可知：，‎ 化简得：，‎ 当时，是一个常数，的轨迹是一条直线；‎ 当时，不是一个常数，的轨迹不是一条直线.‎ 所以，直线“伴随曲线”不一定是一条直线. 错误.‎