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- 2021-06-30 发布
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例
1
:某人在射击训练中,射击一次,命中的环数
.
例
2
:某纺织公司的某次产品检验,在可能含有次品的
100
件产品中任意抽取
4
件,其中含有的次品件数
.
若用
η
表示所含次品数,
η
有哪些取值?
若用
ξ
表示命中的环数,
ξ
有哪些取值?
ξ
可取
0
环、
1
环、
2
环、
···
、
10
环
,
共
11
种结果
η
可取
0
件、
1
件、
2
件、
3
件、
4
件
,
共
5
种结果
思考
:
把一枚硬币向上抛,可能会出现哪几种结果?能否用数字来刻划这种随机试验的结果呢?
说明:
(1)
任何一个随机试验的结果我们可以进行数量化;
(2)
同一个随机试验的结果
,
可以赋不同的数值
.
ε
=0
,表示正面向上;
ε=1
,表示反面向上
练习一
练习二
定义
:
如果随机实验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做
随机变量
。
随机变量常用希腊字母
ξ
、
η
等表示。
1.
如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出(可以是无限个)这样的随机变量叫做
离散型随机变量
.
2.
如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值,这样的随机变量叫做
连续型随机变量
.
注
:(1)
有些随机试验的结果虽然不具有数量性质,但也可以用数量来表达。如投掷一枚硬币,
ξ
=0
,表示正面向上,
ξ
=1
,表示反面向上
.
(
2
)若
ξ
是随机变量
,
η
=
a
ξ
+
b
,
a
、
b
是常数,则
η
也是随机变量
附
:
随机变量
ξ
或
η
的特点:
(1)
可以用数表示;
(2)
试验之前可以判断其可能出现的所有值
;(3)
在试验之前不可能确定取何值。
练习一
:
写出下列各随机变量可能的取值
:
(1)
从
10
张已编号的卡片(从
1
号到
10
号)中任取
1
张,被取出的卡片的号数
.
(2)
一个袋中装有
5
个白球和
5
个黑球,从中任取
3
个,其中所含白球数 .
(
3
)抛掷两个骰子,所得点数之和
.
(4)
接连不断地射击
,
首次命中目标需要的射击次数 .
(5)
某一自动装置无故障运转的时间 .
(6)
某林场树木最高达
30
米,此林场树木的高度 .
离散型
连续型
( =
1
、
2
、
3
、
···
、
10
)
( 内的一切值)
( 内的一切值)
( =
0
、
1
、
2
、
3
)
注
:
随机变量即是随机试验的试验结果和实数之间的一种对应关系
.
1.
将一颗均匀骰子掷两次,不能作为随机变量的是
( )
(A)
两次出现的点数之和
(B)
两次掷出的最大点数
(C)
第一次减去第二次的点数差
(D)
抛掷的次数
D
2.
某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只
,
公司要求至少要买
50
只
,
但不得超过
80
只
.
商厦有优惠规定:一次购买小于或等于
50
只的不优惠
.
大于
50
只的,超出的部分按原价格的
7
折优惠
.
已知水杯原来的价格是每只
6
元
.
这个人一次购买水杯的只数
ξ
是一个随机变量,那么他所付款
η
是否也为一个随机变量呢
?
ξ
、
η
有什么关系呢?
3.
1.
袋中有大小相同的
5
个小球,分别标有
1
、
2
、
3
、
4
、
5
五个号码,现在在有放回的条件下取出两个小球,设两个小球号码之和为 ,则 所有可能值的个数是
____
个;
“
”
表示
.
“
第一次抽
1
号、第二次抽
3
号,或者第一次抽
3
号、第二次抽
1
号,或者第一次、第二次都抽
2
号.
9
答:因为一枚骰子的点数可以是
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
六种
结果之一,由已知得 ,也就是说
“
>
4
”
就是
“
=
5
”
.所以,
“
>
4
”
表示第一枚为
6
点,第二枚为
1
点.
2.
抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为
ξ
,试问
:
(1)
“ξ>4”
表示的试验结果是什么
?(2)P (
ξ>4)=?
2.
抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为
ξ
,试问
:
(1)
“ξ>4”
表示的试验结果是什么?
(2) P (
ξ>4)=?
4.
一袋中装有
5
个白球,
3
个红球,现从袋中往外取球,每次取出一个,取出后记下球的颜色,然后放回,直到红球出现
10
次时停止,停止时取球的次数
ξ
是一个随机变量,则
P
(ξ=12)=___________
。(用式子表示)
答
:(1)
因为一枚骰子的点数可以是
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
六种
结果之一,由已知得 ,也就是说
“
>
4
”
就是
“
=
5
”
.所以,
“
>
4
”
表示第一枚为
6
点,第二枚为
1
点.
1.
随机变量
是随机事件的结果的数量化.
随机变量
ξ
的取值对应于随机试验的某一随机事件。
随机变量是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系,这种对应关系是人为建立起来的,但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的,只不过在函数概念中,函数
f
(
x
)
的自变量
x
是实数,而在随机变量的概念中,随机变量
ε
的自变量是试验结果。
3.
若
ξ
是随机变量,则
η
=a
ξ
+b
(其中
a
、
b
是常数)也是随机变量 .
2.
随机变量分为
离散型随机变量
和
连续型随机变量
。
课外练习
:1.
某城市出租汽车的起步价为
10
元,行驶路程不超出
4km
,则按
10
元的标准收租车费.若行驶路程超出
4km
,则按每超出
1km
加收
2
元计费(超出不足
1km
的部分按
1km
计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为
15km
.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车
5
分钟按
1km
路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程多少是一个随机变量,他收旅客的租车费也是一个随机变量.
(
同步导学
57
页例
3
)
(
Ⅰ
)求租车费 关于行车路程 的关系式;
(
Ⅱ
)已知某旅客实付租车费
38
元,而出租汽车实际行驶了
15km
,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?
解:(
Ⅰ
)依题意得 ,即
(
Ⅱ
)由 ,得
所以,出租车在途中因故停车累计最多
15
分钟.
(
1
)从
10
张已编号的卡片(从
1
号到
10
号)中任取
1
张,被取出的卡片的号数
ξ
;
解:
ξ
可取
1
,
2
,
…
,
10
.
ξ
=
1
,表示取出第
1
号卡片;
ξ
=
2
,表示取出第
2
号卡;
……
ξ
=
10
,表示取出第
10
号卡片;
2.
写出下列各随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果;
(
2
)一个袋中装有
5
个白球和
5
个黑球,从中任取
3
个,其中所含白球的个数
ξ
;
解:
ξ
可取
0
,
1
,
2 , 3
.
ξ
=0,表示取出0个白球;
ξ
=1,表示取出1个白球;
ξ
=2,表示取出2个白球;
ξ
=3,表示取出3个白球;
(
3
)抛掷两个骰子,所得点数之和
是
ξ
;
解
:ξ
可取
2
,
3
,
4
,
…
,
12
。
ξ
=
2
,表示
两个骰子点数之和是
2
;
ξ
=
3
,表示
两个骰子点数之和是
3
;
ξ
=
4
,表示
两个骰子点数之和是
4
;
……
ξ
=
12
,表示
两个骰子点数之和是
12
;
(
4
)连续不断地射击,首次命中目标需要的射击次数
η
解 可取
1
,
2
,
…
,
n
,
…
.
,表示第
i
次首次命中目标。