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- 2021-06-30 发布
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2016-2017学年江苏省连云港市东海高中高二(上)第一次学分认定数学试卷
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分
1.不等式>0的解集是 .
2.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6= .
3.若点(1,1)在二元一次不等式x+y+a<0所表示的平面区域内,则实数a的取值范围是 .
4.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的公比q= .
5.若a>b>0,c>d>0,则 (选>、<、≥、≤、=符号其中之一填空).
6.已知x,y满足不等式,则z=3x+y的最大值是 .
7.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则S9= .
8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且,,则an= .
9.若x,y满足约束条件.则的最大值为 .
10.在等比数列{an}中,a1+an=82,a3•an﹣2=81,且数列{an}的前n项和Sn=121,则此数列的项数n等于 .
11.对任意实数x,不等式mx2﹣2mx﹣3<0恒成立,则实数m的取值范围是 .
12.已知公差为2的等差数列{an}及公比为2的等比数列{bn}满足a1+b1>0,a2+b2<0,设m=a4+b3,则实数m的取值范围是 .
13.数列{an}中,a1=﹣1,Sn为数列{an}的前n项和,且对任意的n≥2,都有,则{an}的通项公式an= .
14.若对任意x∈[2,4]及y∈[2,3],该不等式xy≤ax2+2y2
恒成立,则实数a的范围是 .
二.解答题:本大题6小题,共90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤..
15.已知等差数列{an}中,a2+a6=6,Sn 为其前n项和,S5=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值.
16.已知函数f(x)=x2﹣(a﹣1)x﹣a,a∈R.
(1)当a=2时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)当a∈R时,求不等式f(x)>0的解集.
17.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3,n∈N*.
(Ⅰ)求证:数列{an+3}是等比数列;
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Sn.
18.东海水晶城大世界营业厅去年利润300万元,今年年初搬迁到新水晶城营业厅,扩大了经营范围.为了获取较大利润,需加大宣传力度.预计从今年起,利润以每年26%的增长率增长,同时在每年12月30日要支付x万元的广告费用.为了实现经过10年利润翻两翻的目标,试求每年用于广告费用x万元的最大值.(注:1.2610≈10.)
19.已知二次函数f(x)=ax2+x+1,a∈R,a≠0).
(1)若不等式f(x)>0的解集为,求实数a的值;
(2)当a∈[﹣2,0]时,不等式f(x)>0恒成立,求实数x的取值范围;
(3)对x∈[0,2]时,不等式f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
20.已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=t(Sn﹣an+1)(t为常数,且t≠0,t≠1).
(1)证明:{an}成等比数列;
(2)设,若数列{bn}为等比数列,求t的值;
(3)在满足条件(2)的情形下,设cn=4an+1,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立,求实数k的取值范围.
2016-2017学年江苏省连云港市东海高中高二(上)第一次学分认定数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分
1.不等式>0的解集是 {x|x>1或x<﹣2} .
【考点】其他不等式的解法.
【分析】不等式>0即为或,由一次不等式的解法,即可得到解集.
【解答】解:不等式>0即为
或,
解得x>1或x<﹣2.
则解集为{x|x>1或x<﹣2}.
故答案为:{x|x>1或x<﹣2}.
2.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6= 0 .
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】由已知结合等差数列的性质列式计算.
【解答】解:在等差数列{an}中,由a2=4,a4=2,且a2+a6=2a4,
∴a6=2a4﹣a2=2×2﹣4=0.
故答案为:0.
3.若点(1,1)在二元一次不等式x+y+a<0所表示的平面区域内,则实数a的取值范围是 a<﹣2 .
【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.
【分析】根据点与二元一次不等式之间的关系,即可得到结论.
【解答】解:若点(1,1)在二元一次不等式x+y+a<0所表示的平面区域内,
则点A的坐标满足不等式,
即1+1+a<0,
则a<﹣2,
故答案为:a<﹣2.
4.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的公比q= 2 .
【考点】等比数列的性质.
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.
【解答】解:∵a1+a4=9,a2a3=8,
∴,a1>0,q>1.
解得a1=1,q=2.
故答案为2.
5.若a>b>0,c>d>0,则 > (选>、<、≥、≤、=符号其中之一填空).
【考点】不等式比较大小.
【分析】根据不等式的性质即可比较.
【解答】解:若a>b>0,c>d>0,
∴ac>bd
∴﹣=>0,
则>,
故答案为:>.
6.已知x,y满足不等式,则z=3x+y的最大值是 11 .
【考点】简单线性规划.
【分析】根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线z=3x+y过点(4,﹣1)时,z最大值即可.
【解答】解:根据约束条件画出可行域,
由,可得x=4,y=﹣1
平移直线3x+y=0,∴当直线z=3x+y过点(4,﹣1)时,z最大值为11.
故答案为:11.
7.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则S9= 45 .
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由等差数列的通项公式得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,由等差数列的前n项和公式得S9==9a5,由此能求出结果.
【解答】解:∵在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,
∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5,
∴S9==9a5=45.
故答案为:45.
8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且,,则an= 22﹣n .
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,∵,,
∴=, =,
解得a1=2,q=.
则an=2×=22﹣n.
故答案为:22﹣n.
9.若x,y满足约束条件.则的最大值为 3 .
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定的最大值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).
设k=,则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率,
由图象知OA的斜率最大,
由,解得,即A(1,3),
则kOA==3,
即的最大值为3.
故答案为:3.
10.在等比数列{an}中,a1+an=82,a3•an﹣2=81,且数列{an}的前n项和Sn=121,则此数列的项数n等于 5 .
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】由题意易得a1和an是方程x2﹣82x+81=0的两根,求解方程得到两根,分数列递增和递减可得a1,an,再由Sn=121得q,进一步可得n值.
【解答】解:由等比数列的性质可得a1an=a3•an﹣2=81,
又a1+an=82,
∴a1和an是方程x2﹣82x+81=0的两根,
解方程可得x=1或x=81,
若等比数列{an}递增,则a1=1,an=81,
∵Sn=121,∴==121,
解得q=3,∴81=1×3n﹣1,解得n=5;
若等比数列{an}递减,则a1=81,an=1,
∵Sn=121,∴==121,
解得q=,∴1=81×()n﹣1,解得n=5.
综上,数列的项数n等于5.
故答案为:5.
11.对任意实数x,不等式mx2﹣2mx﹣3<0恒成立,则实数m的取值范围是
(﹣3,0] .
【考点】函数恒成立问题.
【分析】当m=0时,不等式显然成立;当m≠0时,根据二次函数图象的性质得到m的取值范围.两者取并集即可得到m的取值范围.
【解答】解:当m=0时,mx2﹣2mx﹣3=﹣3<0,不等式成立;
设y=mx2﹣2mx﹣3,当m≠0时函数y为二次函数,y要恒小于0,抛物线开口向下且与x轴没有交点,
即要m<0且△<0,
得到:解得﹣3<m<0.
综上得到﹣3<m≤0
故答案为:(﹣3,0].
12.已知公差为2的等差数列{an}及公比为2的等比数列{bn}满足a1+b1>0,a2+b2<0,设m=a4+b3,则实数m的取值范围是 (﹣∞,0) .
【考点】等差数列与等比数列的综合.
【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式,可得a1+2b1<﹣2,m=a4+b3=a1+6+4b1,可令a1+4b1=k(a1+b1)+l(a1+2b1)=(k+l)a1+(k+2l)b1,运用恒等思想,可得k,l的方程,解方程可得k,l,再由不等式的性质,即可得到所求范围.
【解答】解:a1+b1>0,a2+b2<0,
即为a1+2+2b1<0,
即a1+2b1<﹣2,
由m=a4+b3=a1+6+4b1,
可令a1+4b1=k(a1+b1)+l(a1+2b1)=(k+l)a1+(k+2l)b1,
由解得k=﹣2,l=3,
即有a1+4b1<0﹣6=﹣6,
则m=a1+6+4b1<0.
故答案为:(﹣∞,0).
13.数列{an}中,a1=﹣1,Sn为数列{an}的前n项和,且对任意的n≥2,都有,则{an}的通项公式an= .
【考点】数列递推式.
【分析】把an=Sn﹣Sn﹣1代入化简即可得出{}是等差数列,从而求出Sn,再利用an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)求出an即可.
【解答】解:∵,
∴Sn2=2an+anSn=an(2+Sn)=(Sn﹣Sn﹣1)(2+Sn)=Sn2+2Sn﹣2Sn﹣1﹣SnSn﹣1,
∴2Sn﹣2Sn﹣1﹣SnSn﹣1=0,
∴,即,
又=﹣2,
∴{}是以﹣2为首项,以﹣1为公差的等差数列,
∴=﹣2﹣(n﹣1)=﹣n﹣1,
∴Sn=,
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=+=.
综上,an=.
故答案为:;
14.若对任意x∈[2,4]及y∈[2,3],该不等式xy≤ax2+2y2恒成立,则实数a的范围是 a≥0 .
【考点】函数恒成立问题.
【分析】若不等式xy≤ax2+2y2恒成立,则a≥﹣2()2+恒成立,令t=,结合二次函数的图象和性质,求得函数的最值,可得答案.
【解答】解:若不等式xy≤ax2+2y2恒成立,
则a≥﹣2()2+恒成立,
令t=,x∈[2,4],y∈[2,3],则t∈[,],
则u=﹣2()2+=﹣2t2+t在[,]上为减函数,
当t=时,u取最大值0,
故a≥0,
故答案为:a≥0
二.解答题:本大题6小题,共90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤..
15.已知等差数列{an}中,a2+a6=6,Sn 为其前n项和,S5=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值.
【考点】数列的求和.
【分析】(1)利用等差数列的性质求出数列的首项与公差,然后求解通项公式.
(2)求出数列的前n项和,利用函数的单调性求解和的最小值即可.
【解答】解 (1)由a2+a6=6,得a4=3,又由S5==5a3=,得a3=,
设等差数列{an}的公差为d,则,解得,
∴an=n+.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
因为,,当n≥1时,是单调递增的,
所以,当n=1时,Sn有最小值是S1=1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
16.已知函数f(x)=x2﹣(a﹣1)x﹣a,a∈R.
(1)当a=2时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)当a∈R时,求不等式f(x)>0的解集.
【考点】一元二次不等式的解法;二次函数的性质.
【分析】(1)利用因式分解法即可求出不等式的解集,
(2)不等式可化成(x+1)(x﹣a)>0,由此讨论﹣1与a的大小关系,分3种情形加以讨论,即可得到所求不等式的解集.
【解答】解 (1)当a=2时,不等式x2﹣x﹣2<0,
即(x+1)(x﹣2)<0,所以,﹣1<x<2,
故不等式x2﹣x﹣2<0的解集是{x|﹣1<x<2};
(2)当a∈R时,不等式可分解为(x+1)(x﹣a)>0,
当a>﹣1时,x>a或x<﹣1;当a=﹣1时,x≠﹣1;当a<﹣1时,x<a或x>﹣1;
综上,当a>﹣1时,不等式的解集为(﹣∞,﹣1)∪(a,+∞);
当a=﹣1时,不等式的解集为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞);
当a<﹣1时,不等式的解集是(﹣∞,a)∪(﹣1,+∞).
17.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3,n∈N*.
(Ⅰ)求证:数列{an+3}是等比数列;
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Sn.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(I)an+1=2an+3,n∈N*.变形为an+1+3=2(an+3),利用等比数列的定义即可证明.
(Ⅱ)由(I)可得an=2n+1﹣3,因此nan=n•2n+1﹣3n.利用“错位相减法”、等比数列与等差数列的求和公式即可得出.
【解答】(I)证明:∵an+1=2an+3,n∈N*.∴an+1+3=2(an+3),
∴数列{an+3}是等比数列,公比为2,首项为4.
(Ⅱ)解:由(I)可得:an+3=4×2n﹣1=2n+1,∴an=2n+1﹣3,
∴nan=n•2n+1﹣3n.
设数列{n•2n+1}的前n项和为An,
则An=22+2×23+3×24+…+n•2n+1,
2An=23+2×24+…+(n﹣1)•2n+1+n•2n+2,
∴﹣An=22+23+…+2n+1﹣n•2n+2=﹣n•2n+2=(1﹣n)•2n+2﹣4,
∴An=(n﹣1)•2n+2+4,
∴数列{nan}的前n项和Sn=(n﹣1)•2n+2+4﹣.
18.东海水晶城大世界营业厅去年利润300万元,今年年初搬迁到新水晶城营业厅,扩大了经营范围.为了获取较大利润,需加大宣传力度.预计从今年起,利润以每年26%的增长率增长,同时在每年12月30日要支付x万元的广告费用.为了实现经过10年利润翻两翻的目标,试求每年用于广告费用x万元的最大值.(注:1.2610≈10.)
【考点】函数模型的选择与应用.
【分析】利用已知条件列出不等式,利用等比数列求和,化简求解即可.
【解答】解 由题意得:300×1.2610﹣1.269x﹣1.268x﹣…1.26x﹣x≥300×4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
即300×1.2610﹣1.269x﹣1.268x﹣…1.26x﹣x≥300×4,,,,x≤52(万元)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
答:每年用于广告费用的最大值为52万元.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19.已知二次函数f(x)=ax2+x+1,a∈R,a≠0).
(1)若不等式f(x)>0的解集为,求实数a的值;
(2)当a∈[﹣2,0]时,不等式f(x)>0恒成立,求实数x的取值范围;
(3)对x∈[0,2]时,不等式f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
【考点】函数恒成立问题;二次函数的性质.
【分析】(1)由题设方程ax2+x+1=0的两个根是,且a<0;代入方程求解即可.
(2)当a∈[﹣2,0)时,不等式x2•a+x+1>0恒成立,设g(a)=x2•a+x+1,a∈[﹣2,0);通过,求解实数x的范围.
(3)对x∈[0,2]恒有f(x)>0,即ax2+x+1>0,变形为ax2>﹣(x+1),当x=0时,x≠0的情况,即.要满足题意只要保证a比右边的最大值大.现求,在x∈(0,2]上的最大值.利用二次函数的最值求解即可.
【解答】解(1)由题设知,方程ax2+x+1=0的两个根是,且a<0;
所以,解得a=﹣6;﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)由题意可知,当a∈[﹣2,0)时,不等式x2•a+x+1>0恒成立,
设g(a)=x2•a+x+1,a∈[﹣2,0);
所以,即,解得;﹣﹣﹣﹣﹣
故实数x的范围是;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(3)对x∈[0,2]恒有f(x)>0,即ax2+x+1>0,变形为ax2>﹣(x+1)
当x=0时对任意的a都满足f(x)>0,
只须考虑x≠0的情况,即.
要满足题意只要保证a比右边的最大值大.
现求,在x∈(0,2]上的最大值.
令,(),
,
所以
又f(x)=ax2+x+1是二次函数,
∴a≠0
所以且a≠0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
注:过程是运用二次函数根与系数关系讨论的,根据情况适当给分.
20.已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=t(Sn﹣an+1)(t为常数,且t≠0,t≠1).
(1)证明:{an}成等比数列;
(2)设,若数列{bn}为等比数列,求t的值;
(3)在满足条件(2)的情形下,设cn=4an+1,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立,求实数k的取值范围.
【考点】数列递推式;数列的求和.
【分析】(1)由Sn=t(Sn﹣an+1)求出数列首项,且得到n≥2时,Sn=t(Sn﹣an+1),与原递推式联立可得{an}成等比数列;
(2)由(1)求出{an}的通项和前n项和Sn,代入,由数列{bn}为等比数列,得,即可求得t值;
(3)由(2)中的t值,可得数列{cn}的前n项和为Tn,代入≥2n﹣7,分离参数k,在由数列的单调性求得最值得答案.
【解答】(1)证明:由Sn=t(Sn﹣an+1),
当n=1时,S1=t(S1﹣a1+1),得a1=t,
当n≥2时,Sn=t(Sn﹣an+1),即(1﹣t)Sn=﹣tan+t,(1﹣t)Sn﹣1=﹣tan﹣1+t,
∴an=tan﹣1,
故{an}成等比数列;
(2)由(1)知{an}成等比数列且公比是t,∴,
故,即,
若数列{bn}是等比数列,则有,而
故[t3(2t+1)]2=(2t2)•t4(2t2+t+1),解得,
再将代入bn得:.
由知{bn}为等比数列,∴;
(3)由,知,,
∴,
由不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立,得,
令,
由,
当n≤4时,dn+1>dn,当n≥4时,dn+1<dn,
而,∴d4<d5,则,得.