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  • 2021-06-30 发布

数学卷·2018届山东省实验中学高三上学期第二次诊断考试数学(理)试题(解析版)

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山东省实验中学 2015 级高三第二次诊断性考试 数学试题(理科) 2017.11 说明:本试卷满分 150 分,分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两 部分,第 I 卷为第 1 页至第 3 页,第 II 卷为第 3 页至第 6 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上,书写在试题上的答案无效. 考试时间 120 分钟. 第 I 卷(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知全集为 R,集合 A= ,B= ,则 A B=( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A= ,B= ,则 A B= ,故选 C 点晴:集合的三要素是:确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清楚它的 研究对象,是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常常是解 一元二次不等式,我们首先用十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不等式的 过程中,要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系,集合与集合间有包 含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目 2. 已知 ,命题“若 则 ”的否命题是( ) A. 若 则 B. 若 则 C. 若 则 D. 若 则 【答案】A 【解析】试题分析:原命题为若 则 ,那么否命题就是若 则 ,所以否命题是若 ,则 ,故选 A. 考点:四种命题 3. 已知函数 ,则 的值为( ) A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】由已知 ,故选 B 4. 空气质量指数(Air Quality Index,简称 AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数, 空气质量按照 AQI 大小分为六级:0~50 为优,51~100 为良。101~150 为轻度污染, 151~200 为中度污染,201~250 为重度污染,251~300 为严重污染。一环保人士记录去年某 地某月 10 天的 AQI 的茎叶图。利用该样本估计该地本月空气质量状况优良(AQI≤100) 的天数( )(这个月按 30 计算) A. 15 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为 2, 空气质量良的天数为 4, 该样本中空气质量优良的频率为 , 从而估计该月空气质量优良的天数为 5. 曲线若 和直线 围成的图形面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题分析:令 ,所以面积为 . 6. 已知函数 ,则 是( ) A. 奇函数,且在 上单调递增 B. 偶函数,且 在上单调递增 C. 奇函数,且在 上单调递减 D. 偶函数,且 在上单调递减 【答案】B 【解析】 ,所以 为偶函数, 设 ,则 在 单调递增, 在 单调递增, 所以 在 单调递增,故选 B 7. 函数 的图像为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ,所以 为奇函数,又 ,所以 D 选项正确,故选 D 8. 奇函数 定义域为 R,当 时, ,且函数 为偶函数,则 的值为( ) A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 为 R 上的奇函数, 为偶函数, ; 是周期为 4 的周期函数; ;故选 A 点睛:抽象函数的周期性:(1)若 ,则函数 周期为 T; (2)若 ,则 函数周期为|a-b| (3)若 ,则函数的周期为 2a; (4)若 ,则函数的周期为 2a. 9. 曲线 上的点到直线 的最短距离是( ) A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】试题分析:直线 的斜率为2。由于 ,则由 得 ,则 ,求得曲线 上斜率为2的切线为 。取 上的点 ,则点A到直线 的距离为 ,所以所求的最短距离为 。故选 C。 考点:点到直线的距离公式 点评:在解决问题时,有些问题需要进行转化。像本题,需将要求的问题转化为两条直线 之间的距离。 10. 已知命题:命题 ;命题 ,且 是 的充分不必要条件,则的取值范围 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】命题 即 , 是 的充分不必要条件,所以是的充分不必要条 件, , ,故选 A. 11. 某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关,通过随机询问 110 名性别不同 的高中生是否爱好游泳运动得到如下的列联表: 由 并参照附表,得到的正确结论是( ) A. 在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“爱好游泳运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“爱好游泳运动与性别无关” C. 有 99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关” D. 有 99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关” 【答案】A 【解析】 ,所以有 99%的把握认为“爱好游泳运动与 性别有关”,所以在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“爱好游泳运动与性别有关” 12. .已知 是定义在 上的函数, 是它的导函数,且恒有 成立,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】构造函数 ,根据已知则 在 上单调递增, 即 , 即 故选 D. 点睛:本题主要考查利用导数研究函数的单调性,需要构造函数,一般:(1)条件含有 ,就构造 ,(2)若 ,就构造 ,便于给出导数时联想 构造函数.本题中可以构造 ,则有 第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 函数 的定义域是_______________ 【答案】 【解析】由题要使函数有意义须满足 14. 如果方程 的两个实根一个小于 1,另一个大于 1,那么实数 m 的 取值范围是____________. 【答案】 【解析】设方程 对应的二次函数 ,开口向上, 方程 的两个实根一个小于 1,另一个大于 1, 可得 ,即 15. 若函数 函数 的零点个数是________. 【答案】4 【解析】由 =0 得 , 设 ,则等价为 , 当 时,由 得 , 当 时,由 得 , 即 或 , 当 时,由 得 ,由 ,得 ,故此 时有两个零点, 当 时,由 得 ,由 ,得 ,故此时有两 个零点 综上函数 的零点个数是 4,故答案为:4. 点睛:本题考查的是函数零点的个数问题.函数零点问题的处理一般有以下几种方法:1、 通过解方程得到函数的零点,得到零点个数;2、利用二分法判断函数的零点,3、利用函 数与方程思想,通过分离化原函数为两个函数,转化为利用两个函数图象的交点个数来判 断函数的零点个数. 16. 对于函数 ,若存在常数 ,使得取 定义域内的每一个值,都有 , 则称为准奇函数,给出下列函数 ① ,② ,③ ,④ ,⑤ , ⑥ ,其中所有准奇函数的序号是_________________。 【答案】②④⑤⑥ 【解析】对于函数 ,若存在常数 ,使得取 定义域内的每一个值,都有 知, 函数 f(x)的图象关于(a,0)对称, 对于① ,函数无对称中心, 对于② ,函数 f(x)的图象关于(-1,0)对称, 对于③ ,函数 f(x)关于(0,0)对称, 对于④ ,函数 f(x)的图象关于 对称, 对于⑤ ,函数 f(x)的图象关于 对称, 对于⑥ ,由奇函数 向右平移一个单位得到,函数 f(x)的图象关 于 对称, 故答案为②④⑤⑥ 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作 答.) (一)必考题:60 分. 17. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:“车辆驾驶员血液酒精溶度(单位 mg/100ml)/在 ,属于酒后驾驶;血液浓度不低于 80,属于醉酒驾驶。”2017 年 “中秋节”晚 9 点开始,济南市交警队在杆石桥交通岗前设点,对过往的车辆进行检查, 经过 4 个小时,共查处喝过酒的驾驶者 60 名,下图是用酒精测试仪对这 60 名驾驶者血液 中酒精溶度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图。 (1)求这 60 名驾驶者中属于醉酒驾车的人数(图中每组包括左端点,不包括右端点) (2)若以各小组的中值为该组的估计值,频率为概率的估计值,求这 60 名驾驶者血液的 酒精浓度的平均值。 【答案】(1)3(人)(2)47 【解析】试题分析:(1)根据频率= ,计算所求的频数即可; (2)利用频率分布直方图求出数据的平均值即可; 试题解析:(1)由频率分布直方图可知: 醉酒驾驶的频率为 所以醉酒驾驶的人数为 (人) (2)由频率分布直方图可知 酒精浓度 25 35 45 55 65 75 85 频率 0.25 0.15 0.2 0.15 0.1 0.1 0.05 所以 =47 18. 已知函数 . (1)若曲线 在点 处的切线的倾斜角为,求实数 a 的值. (2)若函数 在区间 上单调递增,求实数 a 的范围. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析:(1)根据切线的倾斜角为得到切线的斜率,根据导数的几何意义可以 知道 处的导数即为切线的斜率,建立等量关系,求出 a 即可; (2)根据函数 在区间 上单调递增,可转化成 ,对 恒成立, 将参数 a 分离,转化成当 时,不等式 恒成立,利用均值不等式求出不等式 右边函数的最小值,进而得实数 a 的范围 试题解析: (1) 则可得: .- (2)由函数 在区间 上单调递增 则 对一切的 恒成立. 即 恒成立, 令 函数 在 上单调递减,当 时, 所以的取值范围是 . 19. 某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价,将产品按事先拟定的价格进行试销, 得到一组销售数据 ,如表所示: 已知 (1)求的值 (2)已知变量 具有线性相关性,求产品销量关于试销单价的线性回归方程 可 供选择的数据 (3)用表示(2)中所求的线性回归方程得到的与 对应的产品销量的估计值。当销售数 据 对应的残差的绝对值 时,则将销售数据 称为一个“好数 据”。试求这6 组销售数据中的 “好数据”。 参考数据:线性回归方程中 的最小二乘估计分别是 【答案】(1) (2) (3) 【解析】试题分析:(Ⅰ)由 = ,可求出 q 的值; (Ⅱ)求出回归系数,可得线性回归方程 ; (Ⅲ)分别求出 检验是否满足 ,从而判断是否为“好数据”。 试题解析: (1) 又 , (2) , (3) ,所以 是好数据; ,所以 不是好数据 ,所以 是好数据 ,所以 不是好数据 所以 是好数据 所以 不是好数据 所以好数据为 20. 已知函数 . (1)求函数 的单调区间; (2)设 当 ,不等式 恒成立,求 k 的最大值. 【答案】(1) 当 时,在 上, 单调递增.当 时,在 上, 单调递减; 在 上, 单调递增. (2)4 【解析】试题分析:(1)先求函数的导数,利用导数确定函数的单调区间. (2)分离常数得到 构造函数 ,利用导数 求函数 的最值,然后得 k 的范围.最终确定 k 的最大值. 试题解析: (1)函数 定义域为 , , 当 时,在 上, 单调递增;- 当 时,在 上, 单调递减;在 上, 单调递增; 综上所述:当 时,在 上, 单调递增. 当 时,在 上, 单调递减;在 上, 单调递增. (2) 等价于 令 , 令 ,易知 在 上单调递增.- , 所以存在 , 使得 .即 .- 在 上, , 单调递减,在 上, , 单调递增. 所以 . 求的最大值为 4. 21. 已知函数 . (1)若 ,求函数 的极值; (2)若函数 有两个零点,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) 时, 取极大值 ,当 时, 取极小值 .(2) 【解析】试题分析:(1)求出 的导数,判断单调区间,可得极值; (2)根据题意可得 ,分 , 和 三种情 况,讨论函数的增减情况,判断函数的零点个数. 试题解析: (1)函数定义域为 , . 解得 ---1 分 列表: + 0 _ 0 + 极大值 极小值 所以 时, 取极大值 ,当 时, 取极小值 . (2) 当 时,易知函数 f(x)只有一个零点,不符合题意; 当 时,在 上, 单调递减; 在 上, 单调递增; ,且 所以函数 有两个零点. 当 时,在 和 上 单调递增;在 和 上 单调递减; ,函数 至多有一个零点,不符合题意. 当 时,在 和 上 单调递增;在 上 单调递 减; ,函数 至多有一个零点,不符合题意. 综上:实数 a 的取值范围是 . 点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具对导数的应用的考查主要从以下 几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系;(2)利用 导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性求参数;(3)利用导数求函数的最值 (极值),解决生活中的优化问题;(4)考查数形结合思想的应用. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,则按所做的第 一题计分. 22. [选修 4-4,坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 中,曲线 C 的参数方程为 ,以坐标原点为极 点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为 。 (1)求直线的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程。 (2)设点 P 为曲线 C 上的任意一点,求点 P 到直线的距离的最大值。 【答案】⑴ , ⑵ 【解析】试题分析:(Ⅰ)直线 l 的极坐标方程可化为 ,由此可得直线 l 的直角坐标方程.曲线 C 的参数方程消去参数 ,能求出曲线 C 的普通方程. (Ⅱ)设点 为曲线 C 上任意一点,利用点到直线的距离公式及三角函数性质能 求出点 P 到直线 l 的距离的最大值. 试题解析: ⑴因为直线的极坐标方程为 , 所以 ,即 曲线 的参数方程为 ( 为参数) 所以 ⑵设 ,则 到直线的距离为 所以当 时,取最大值 23. [选修 4—5:不等式选讲] 设函数 (1)解不等式 (2)对任意的实数 ,若 求证: 【答案】⑴ (2)见解析 【解析】试题分析:(1)分段讨论,去掉绝对值符号求解不等式即可; (2)利用绝对值三角不等式的性质证明即可,注意等号成立的条件. 试题解析: ⑴①当 时,原不等式可化为 ,可得 ,所以 当 时,原不等式可化为 ,恒成立,所以 当 时,原不等式可化为 ,可得 ,所以 综上,不等式的解集为 (2)证明: 点睛】: 的解法一般有两种方法: ①零点分段讨论法:利用绝对值的分界点将区间进行分段,进而去掉绝对值符号,将问题 转化成分段不等式组进行求解; ②绝对值的几何意义:对于 的类型,可以利用绝对值的几何意义进行 求解.