黑龙江省牡丹江市第三高级中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题 18页

‎2018-2019学年度第二学期期末试题 高二理科数学试卷 一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解含绝对值不等式可化简集合Q得，然后由并集的定义可求得。‎ ‎【详解】 。‎ 由题意得，，，∴，故选B ‎【点睛】高考对集合的考查，难度不大，一般都是以小题的形式考查。本题考查含绝对值不等式的解法及集合的运算。意在考查学生的运算能力和转化能力。‎ ‎2.已知，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．‎ ‎【详解】a∈R，则“a＞1”⇒“”，‎ ‎“”⇒“a＞1或a＜0”，‎ ‎∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎3.已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝sin(x＋φ)}，则A∩B中元素的个数为(　　)‎ A. 3 B. 4‎ C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定义域的的要求可以求出A集合，利用三角函数的性质求出B集合，再计算A与B的交集的元素个数即可.‎ ‎【详解】集合A满足－＋x＋6≥0，(x－3)(x＋2)≤0，－2≤x≤3，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3}，B＝[－，]，所以A∩B＝{－2，－1，0，1，2}，可知A∩B中元素个数为5.‎ ‎【点睛】本题考查集合间的交集关系的求解，本题难点在于无理数与有理数的比大小，属于简单题.‎ ‎4.函数在处的切线方程是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导函数，切点切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程．‎ ‎【详解】求曲线y＝exlnx导函数，可得f′（x）＝exlnx ‎∴f′（1）＝e，‎ ‎∵f（1）＝0，∴切点（1，0）．‎ ‎∴函数f（x）＝exlnx在点（1，f（1））处的切线方程是：y﹣0＝e（x﹣1），‎ 即y＝e（x﹣1）‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基本知识的考查．‎ ‎5.若复数是纯虚数，则实数的值为()‎ A. 1或2 B. 或2 C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据纯虚数的定义可得2m2﹣3m﹣2＝0且m2﹣3m+2≠0然后求解．‎ ‎【详解】∵复数z＝（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数 ‎∴2m2﹣3m﹣2＝0且m2﹣3m+2≠0‎ ‎∴m 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了纯虚数的概念，解题的关键是要注意m2﹣3m+2≠0，属于基础题.‎ ‎6.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）‎ A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 每个同学都有2种选择，根据乘法原理，不同的报名方法共有种，应选D.‎ ‎7.设函数，则满足的x的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.‎ 详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.‎ ‎8.函数在区间上的最大值和最小值分别为()‎ A. 25,-2 B. 50,-2 C. 50,14 D. 50,-14‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，分析出函数单调性，进而求出函数的极值和两端点的函数值，可得函数f（x ‎）＝2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值．‎ ‎【详解】∵函数f（x）＝2x3+9x2﹣2，‎ ‎∴f′（x）＝6x2+18x，‎ 当x∈[﹣4，﹣3），或x∈（0，2]时，f′（x）＞0，函数为增函数；‎ 当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＜0，函数为减函数；‎ 由f（﹣4）＝14，f（﹣3）＝25，f（0）＝﹣2，f（2）＝50，‎ 故函数f（x）＝2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值分别为50，﹣2，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值及函数的单调性问题，属于中档题．‎ ‎9.函数y=sin2x图象可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.‎ 详解：令， ‎ 因，所以为奇函数，排除选项A,B;‎ 因为时，，所以排除选项C，选D.‎ 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ ‎10.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( )‎ A. ，xR B. ，xR且x≠0‎ C. ,xR D. ，xR ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】首先判断奇偶性：A,B为偶函数，C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C、D，‎ 对于先减后增，排除A，故选B.‎ 考点：函数的奇偶性、单调性.‎ ‎11.已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.‎ 详解：因为是定义域为的奇函数，且，‎ 所以,‎ 因此，‎ 因为，所以，‎ ‎，从而，选C.‎ 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．‎ ‎12.设函数( )‎ A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：函数满足，，令，则，由，得，令，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.又在单调递增，既无极大值也无极小值，故选D.‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.‎ ‎【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.‎ 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.在的展开式中常数项是__________．‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】‎ ‎ ，令，则展开式中得常数项为.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项.根据通项公式,根据所求项的要求，解出，再给出所求答案.‎ ‎14.把6个学生分配到3个班去，每班2人，其中甲必须分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有__________种.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分3步分析：①、让甲分到一班，②、再从除了甲、乙、丙之外的3个人种任意选出2个人，分到三班，③、最后再把剩下的3个人选出2个人分到二班，剩余的一个分到一班，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，分3步分析：‎ ‎①、让甲分到一班，只有1种方法；‎ ‎②、再从除了甲、乙、丙之外的3个人种任意选出2个人，分到三班，有C32＝3种安排方法；‎ ‎③、最后再把剩下的3个人选出2个人分到二班，剩余的一个分到一班，有C32＝3种安排方法；‎ 则不同的分法有1×3×3＝9种；‎ 故答案为：9．‎ ‎【点睛】本题考查分步计数原理的应用，关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排．‎ ‎15._________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据微积分基本定理计算即可 ‎【详解】（x2+2x+1）dx．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了微积分基本定理，关键是找到原函数，属于基础题．‎ ‎16.已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎，由的图像在处的切线方程为，易知，即，，即，则，故答案为4.‎ 三解答题(共6小题，共70分)‎ ‎17.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos＝2.‎ ‎(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离．‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程．‎ ‎（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值．‎ 试题解析：⑴由得，‎ ‎∴ ‎ 由得 ‎ ‎⑵在 上任取一点，则点到直线的距离为 ‎≤． 7分∴当－1，即时，. 10分 考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，2.点到直线距离公式.‎ ‎18.在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是.‎ ‎(Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布列及数学期望；‎ ‎(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.‎ ‎【答案】(Ⅰ)X的分布列 X ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数学期望；(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)先定出X的所有可能取值，易知本题是6个独立重复试验中成功的次数的离散概率分布，即为二项分布.由二项分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根据比赛获胜的规定，教师甲前四次投球中至少有两次投中，后两次必须投中，即可能的情况有1.前四次投中2次（六投四中）；2.前四次投中3次（六投五中）3.前四次都投中（六投六中）.其中第1种情况有种可能，第2中情况有（或）种可能.将上述三种情况的概率相加即得到教师甲获胜的概率.‎ 试题解析：(Ⅰ)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.‎ 依条件可知，‎ ‎3分 X的分布列为：‎ X ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 6分 ‎.‎ 或因为，所以.‎ 即的数学期望为4. 7分 ‎(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则 ‎11分 答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为.‎ 考点：1.二项分布；2.离散型随机变量的分布列与期望；3.随机事件的概率.‎ ‎19.‎ 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.‎ ‎(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；‎ ‎(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；‎ ‎(Ⅲ)随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（3）‎ ‎【解析】‎ 本题考查离散型随机变量的分布列，考查等可能事件的概率，考查独立重复试验的概率公式，本题是一个概率的综合题目 ‎（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A，事件A包括两种情况，一是抽到的是一个一等品，二是抽到的是一个二等品，这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．‎ ‎（II）由题意知X的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率，写出变量的概率，写出分布列．‎ ‎（III）随机选取3件产品，这三件产品都不能通过检测，包括两个环节，第一这三个产品都是二等品，且这三件都不能通过检测，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．‎ 解（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为 事件等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”…………2分 ‎(Ⅱ) 由题可知可能取值为0,1,2,3.‎ ‎,,‎ ‎,.‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故的分布列为 ‎(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为 事件等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”‎ 所以，.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)对于任意正实数x,不等式恒成立,求实数k的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在上单调递减,在上单调递增（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的正负即可求出单调区间；‎ ‎（2）分离参数，构造函数，求出函数的最小值即可；‎ ‎【详解】(1)因为.所以,‎ 令,得,‎ 当时,;当时,‎ 所以函数在上单调递减,在上单调递增.‎ ‎(2)由于,恒成立,所以.‎ 构造函数,所以.‎ 令,解得,当时,,当时,.‎ 所以函数在点处取得最小值,即.‎ 因此所求k的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查计算能力和分析问题的能力，以及转化思想，属于中档题．‎ ‎21.已知函数，在点处的切线方程为．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）若函数在定义域内恒有成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）;（2） 的单调增区间为，单调减区间为;‎ ‎（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（1）借助导数的几何意义建立方程组求解；（2）先求导再借助导数与函数单调性之间的关系求解；（3）先将不等式进行等价转化，再分离参数借助导数知识求其最值，即可得到参数的范围。‎ ‎（1）由题意，得，‎ 则，∵在点处的切线方程为，‎ ‎∴切线斜率为，则，得，‎ 将代入方程，得，解得，‎ ‎∴，将代入得，‎ 故．‎ ‎（2）依题意知函数的定义域是，且，‎ 令，得，令，得，‎ 故的单调增区间为，单调减区间为．‎ ‎（3）由，得，‎ ‎∴在定义域内恒成立．‎ 设，则，‎ 令，得．‎ 令，得，令，得，‎ 故在定义域内有极小值，此极小值又为最小值．‎ ‎∴的最小值为，‎ 所以，即的取值范围为．‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值（最值）等方面的重要工具，本题的设置旨在考查导数在研究函数的单调性与极值（最值）中的运用。求解第一问时，直接借助题设与导数的几何意义建立方程求解；求解第二问时，依据题设条件，先求导法则及导数与函数的单调性之间的关系建立不等式探求；解答第三问时，先将不等式进行转化，再构造函数，运用导数的知识进行分析探求，从而使得问题简捷、巧妙获解。‎ ‎22.已知.‎ ‎(1)若在上单调递增,上单调递减,求的极小值;‎ ‎(2)当时,恒有,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导，再由题意可得f′（﹣1）＝0，从而求得2a＝1，从而化简f′（x）＝（x+1）（ex﹣1），从而确定极小值点及极小值．‎ ‎（2）对f（x）的导函数进行分析，当时，可得f（x）单增，求得f（x）的最小值为0，当a>1时，可得f（x）在（0，lna）上单减，且f（0）=0，不满足题意，综合可得实数a的取值范围．‎ ‎【详解】（1）因为在上单调递增,上单调递减,所以.‎ 因为,所以,.‎ 所以,‎ 所以在上单调递增,上单调递减,上单调递增,‎ 所以的极小值为.‎ ‎(2),令,则.若,则时，,为增函数,而,所以当时,,从而.‎ 若,则时,,为减函数,,故时,,从而,不符合题意.‎ 综上,实数a的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了单调性的应用及函数极值的概念，考查了恒成立问题的转化，考查了分类讨论的数学思想，属于难题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎