山东省曲阜夫子学校2019届高三上学期12月月考数学（文）试卷 11页

高三数学（文科）试题 （考试时间：120 分钟 总分：150 分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一个选项符合题意，请将 正确答案填入答题卷中。) 1. 已知集合 3{1,3,9,27}, { | log , }A B y y x x A    ，则 A B  .A {1,3} .B {1,3,9} .C {3,9,27} .D {1,3,9,27} 2. 若复数 z 满足 (1 ) 1 2i z i    ，则| |z 等于 .A 1 2 .B 2 2 .C 3 2 .D 10 2 3．已知 1, 2a b   ，且 ( )a a b    ，则向量 a  与b  的夹角为 .A 4  .B 3  .C 3 2 .D 4 3 3. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 xy 2 上， 则 2cos ＝ .A 5 4 .B 5 3 .C 5 3 .D 5 4 5.已知双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   （ 0, 0a b  ）的离心率为 2 ， 则C 的渐近线方程为 .A 3 3y x  .B 3y x  .C 2y x  .D 5y x  6. 已知 ,m n 是空间中两条不同的直线， ,  为空间中两个互 相垂直的平面，则下列命题正确的是 .A 若 m  ，则 m  .B 若 ,m n   ，则 m n .C 若 ,m m   ，则 / /m  .D 若 ,m n m    ，则 n  7. 已知函数 1( ) 1 xf x x   的图像在点( )2, (2)f 处的切线与直线 1 0ax y+ + = 平行，则 实数 a = .A 2 .B 1 2 .C 1 2  D． 2 8.下列说法正确的是 .A 命题 p q， 都是假命题，则命题“ p q  ”为真命题. .B R  ，函数 )2sin(  x 都不是奇函数. .C 函数 ( ) sin(2 )3f x x   的图像关于 5 12x  对称 . .D 将函数 sin 2y x 的图像上所有点的横坐标伸长到 原来的 2 倍后得到 sin 4y x 9. 执行右面的程序框图，如果输入的 48, 36m n  ， 则输出的 ,k m 的值分别为 .A 2,12 .B 2,3 .C 3,12 .D 3,3 10. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一 阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该 球的表面积为 .A 6 .B 2 .C 6 .D 24 11. 已知等差数列{ }na 中， 10 0a  ，公差  2,0d   ，若  2 2 2 2 2 2 4 4 7 4 7 4 5 6cos cos sin sin cos sin cosa a a a a a a a      ， 5 6cos( ) 0a a  ，则 数列 na 的前 n 项和 nS 的最大值为 .A  .B 5 .C  .D  12．若方程 28 6lnx x x m= + + 仅有一个解，则实数 m 的取值范围为 .A ( ,7) .B (15 6ln 3, )  .C (12 6ln 3, )  .D ( ,7) (15 6ln3, )   第Ⅱ卷（非选择题 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,请将正确答案填入答题卷中。） 13.已知函数 2log (1 ) 1 ( ) 3 1 1x x x f x x      ，若   1f x   ，则 x  ▲▲ ． 14.已知 ,x y 满足约束条件 4 0 2 0 1 x y x y x         ，则 2x y 的最大值为 ▲▲ ． 15.等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 1 1 2a   ，若 4 2 5 4 S S  ，则 3a  ▲▲ ． 16. 已知双曲线 2 2 2 2: 1x yE a b   （ 0, 0a b  ）的左、右焦点分别为 1 2,F F ， 1 2 6F F  ，P 是 E 右 支上的一点， 1PF 与 y 轴交于点 A， 2PAF△ 的内切圆在边 2AF 上的切点为Q ．若 2AQ  ，则 E 的离心率是 ▲▲ ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤） 17.（本小题 12 分） 已知等差数列{ }na 的公差大于 0 ，且 1 1a  .若 2 6 1 14, 2 ,a a a a 分别是等比数列{ }nb 的前三项. (Ⅰ)求数列{ }na 的通项公式； (Ⅱ)记数列{ }nb 的前 n 项和为 nS ，若 39nS  ，求 n 的取值范围. 18.（本小题 12 分） 已知平面向量 2(2 sin 2 , 2), (1,sin ), ( )6m x n x f x m n              ，其中 [0, ]2x  . (Ⅰ)求函数 ( )f x 的单调增区间； (Ⅱ)设 ABC 的内角 , ,A B C 的对边长分别为 , , ,a b c 若 ( ) 1, 1, 32 Bf b c= = = ，求 a 的值． 19.（本小题 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， 90ABC  ， 2 2 2BC AD AB   ， , 2PB PC PD  . (Ⅰ)求证：平面 PBC  平面 ABCD ； (Ⅱ)若 PC PB ,求点 D 到平面 PAB 的距离. 20.（本小题 12 分） 已 知 椭 圆   2 2 2 2 1 0x yC a ba b    ： 的 一 个 焦 点 ( 6,0)F ，点  2,1M 在椭圆C 上． (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)直线l 平行于直线OM （O 坐标原点），且与椭圆C 交于 A ，B 两个不同的点，若 AOB 为钝角，求直线l 在 y轴上的截距 m 的取值范围． 21.（本小题 12 分） 已知函数 )(,ln2 3 2 1)( Rmxxmxxf  . (Ⅰ)当 1 2m = 时，求函数 )(xf 在区间[ ]1,4 上的最值； (Ⅱ)若 1 2,x x 是函数 ( ) ( )g x xf x= 的两个极值点，且 1 2x x< ，求证： 1 2 1x x  . 选考题：请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一题计分。 22.（本小题 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是  cos4 .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半 轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是  为参数tty tx        sin cos1 . （Ⅰ）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线 C 相交于 .A B 两点，且| | 13AB  ，求直线l 的倾斜角 的值. 23.（本小题 10 分）选修 4 5 ：不等式选讲 已知函数 21)(  xxxf ． (Ⅰ)解不等式 4)( xf ； (Ⅱ) Rx ， aaxxf )( ，求 a 的取值范围． 高三数学（文科）参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D A B B C A C B C D D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13. 1 2 14. 7 15. 1 8  16. 3 2 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.解：（Ⅰ）设等差数列{ }na 的公差为 ( 0)d d  ， 2 6 1 14, 2 ,a a a a 是等比数列{ }nb 的前三项， 2 6 1 2 14( 2 )a a a a   ， 即 2 1 1 1(5 ) ( )( 13 )d a a d a d    ，化简得 12d a ， ………………………4 分 又 1 1, 2a d   . 1 2( 1) 2 1na n n      . ……………………… 6 分 （Ⅱ）依题意可得 1 2 33, 9, 27b b b   是等比数列{ }nb 的前三项， ……………… 8 分 等比数列{ }nb 的公比为 3，首项为 3. 等比数列{ }nb 的前 n 项和为 3(1 3 ) 3(3 1) 1 3 2 n n nS    . ………………………10 分 由 39nS  ，得 3(3 1) 392 n   ，化简得3 27n  . 解得 3n  ， *n N . ……………………… 12 分 18.解：（1） 2( ) 2 sin(2 ) 2sin6f x m n x x       2 (sin 2 cos cos2 sin ) (1 cos2 )6 6x x x      1 3cos2 sin 2 1 cos(2 ) 12 2 3x x x       ………………………4 分 由 2 2 2 ,3k x k k Z       ，得 2 ,3 6k x k k Z       又∵ [0, ]2x  ，∴函数 ( )f x 的增区间为[ , ]3 2   ． …………………6 分 （Ⅱ）由 ( ) 12 Bf  ，得 cos( ) 03B   ， 又因为 0 B   ，所以 4 3 3 3B     ， 从而 3 2B    ，即 6B  ． …………………8 分 因为 1, 3b c  ，所以由正弦定理 sin sin b c B C  得 sin 3sin 2 c BC b   ， 故 3C  或 2 3  ， ………………10 分 当 3C  时， 2A  ，从而 2 2 2a b c   ， 当 2 3C  时， 6A  ，又 6B  ，从而 1a b  综上 a 的值为1或 2 ． ………………………12 分 19 解：（Ⅰ）证明：取 BC 中点 M ，连接 ,DM PM 可知 1MD AB  且 MD BC 又 , 2PB PC BC  ,  在 Rt PBC 有 1PM  又 2PD  ， 2 2 2PD PM MD   , 即 MD PM ……………… ………3 分 又 , ,MD BC PM BC M PM    平面 PBC , BC  平面 PBC MD 平面 PBC ， ………………………5 分 又 MD  平面 ABCD 平面 PBC  平面 ABCD ………………………6 分 （Ⅱ）设点 D 到平面 PAB的距离为 h ,PC PB PC PB  , PM BC  又 平面 PBC  平面 ABCD ， 且平面 PBC  平面 ABCD BC PM  面 ABCD ………………………8 分 1 1 1 1| | 1 1 13 3 2 6P ABD ABDV PM S         ………………………9 分 在 PAB 中有 2, 1, 3PB AB PA   ， 2 2 2 ,PB AB PA PB AB      2 2PABS  …………………10 分 1 1 2 1 3 3 2 6D ABP ABPV S h h       ， 2 2h  所以点 D 到平面 PAB的距离为 2 2 .………………………12 分 20.（1）由已知 6c  ，则 2 2 6b a  1 又点  2,1M 在椭圆C 上， 所以 2 2 4 1 1a b   2 ………………………3 分 由 12 解得 2 8a  （ 2 3a  舍去）， 2 2b  ． 故椭圆C 的标准方程为 2 2 18 2 x y  ． ………………………5 分 (Ⅱ)由直线l 平行于OM 得直线l 的斜率为 1 2OMk k  ，又l 在 y轴上的截距 m ， 故l 的方程为 1 2y x m  ． 由 2 2 1 2 18 2 y x m x y       得 2 22 2 4 0x mx m    ，又线与椭圆C 交于 A ， B 两个不同的点， 设  1 1A x y， ，  2 2B x y， ，则 1 2 2x x m   ， 2 1 2 2 4x x m  ． 所以    2 22 4 2 4 0m m     ，于是 2 2m   ． ………………………8 分 AOB 为钝角等价于 0OA OB   ，且 0m  ，则   2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 5 02 2 4 2 mOA OB x x y y x x x m x m x x x x m                    ， …………………10 分 即 2 2m  ，又 0m  ，所以 m 的取值范围为    2 0 0 2 ， ， ． …………………12 分 21.解：(Ⅰ)当 1 2m = 时， 1 1 3( ) ln ,2 2 2f x x xx = + + - 函数 ( )f x 的定义域为  ,0 ， 所以 22 2 )3)(1(1 2 3 2 1)( x xx xxxf  ， 当  3,0x 时， 0)(  xf ，函数 ( )f x 单调递减； 当   ,3x 时， 0)(  xf ，函数 ( )f x 单调递增. 所以函数 ( )f x 在区间[ ]1,4 上的最小值为 3ln2 5)3( f ， 又 1 1 3 5(1) ln12 2 2 2f = + + - = ， 2ln28 23)4( f 显然 (1) (4)f f> 所以函数 ( )f x 在区间[ ]1,4 上的最小值为 5 ln32 - ，最大值为 5 2 . ………………………5 分 (Ⅱ)因为 21 3( ) ( ) ln2 2g x xf x x mx x x= = + + - 所以 )ln1()( xmxxg  ，因为函数 )(xg 有两个不同的极值点， 所以 0)ln1()(  xmxxg 有两个不同的零点. ……………………… 6 分 因此 0)ln1(  xmx ，即 m 1 lnx x= - + 有两个不同的实数根, 设 ( ) 1 lnp x x x= - + ，则 x xxp  1)( , 当  1,0x 时， 0)(  xp ，函数 ( )p x 单调递增； 当   ,1x ， 0)(  xp ，函数 ( )p x 单调递减； 所以函数 ( )p x 的最大值为 (1) 1 1 ln1 0p = - + = ………………………7 分 所以当直线 y m= 与函数图像有两个不同的交点时， 0m < ，且 1 20 1 .x x< < < 要证 1 2 1x x < ，只要证 1 2 1 xx  ……………………… 8 分 易知函数 xmxxgxq ln1)()(  在  ,1 上单调递增， 所以只需证 2 1 1( ) ( )q x q x < ,而 2 1( ) ( ) 0q x q x= = ，所以 1 11 lnm x x= - + 即证 0ln211ln1)ln1(11ln11)1( 11 11 11 1111  xxxxxxxxmxxq ……………………… 10 分 记 1( ) 2lnh x x xx = - + ，则   01211)( 2 2 2  x x xxxh 恒成立， 所以函数 ( )h x 在  1,0x 上单调递减，所以当  1,0x 时 ( ) (1) 1 1 0h x h> = - = 所以 1 1( ) 0q x > ，因此 1 2 1x x < . ……………………12 分 22. 解：（Ⅰ）由  cos4 得  cos42  . ∵  sin,cos,222  yxyx ∴曲线 C 的直角坐标方程为： 2 2( 2) 4x y   . …………5 分 （Ⅱ）将直线的参数方程        sin cos1 ty tx 代入圆 2 2 4 0x y x+ - = 的方程 化简得 03cos22  tt . 设 A,B 两点对应的参数分别为 21,tt ，则 21,tt 是上述方程的两根， 则有      3 cos2 21 21 tt tt  . ∴  2 2 1 2 1 2 1 24 4cos 12 13AB t t t t t t         ∴ 2 14cos 1, cos 2    则 ∵   ，0 ∴ 2 3 3    或 . ………………………10 分 23．解法一：(Ⅰ)①当 2x  时， ( ) 1 2 ( 1) ( 2) 2 1 4f x x x x x x           ， 得 52 2x  ； ………………………2 分 2 1 2x   时， ( ) 1 2 ( 1) ( 2) 3 4f x x x x x          ， 得 1 2x   ； ………………………3 分 3 1x   时， ( ) 1 2 ( 1) ( 2) 2 1 4f x x x x x x             ， 得 3 12 x    ； ………………………4 分 综上所述，不等式解集为 3 5{ | }2 2x x   ． ………………………5 分 (Ⅱ)依题意， 2 1, 2 ( ) 3, 1 2 2 1, 1. x x f x x x x           ， ， 其图象如图所示， ………………7 分 y ax a  的图象为过定点 (1,0) 的直线， ………………8 分 由图象可知，当直线 y ax a  的斜率 3 ,22a      时， Rx ， aaxxf )( ． 故 a 的 取 值 范 围 为 3 ,22     . ………………10 分