2019届二轮复习（理）第九章平面解析几何第58讲课件（37张）（全国通用） 37页

第 58 讲　双曲线、抛物线 考试要求　 1. 双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单的几何性质 ( 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线 )(A 级要求 ) ； 2. 抛物线的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质 (A 级要求 ). 诊 断 自 测 2. (2016· 四川卷改编 ) 抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点坐标是 ________. ∴ y 2 ＝ 4 x ，则为 (1 ， 0). 答案　 (1 ， 0) ∴ a ＝ 2 ， ∴ 2 a ＝ 4. ∴ C 的实轴长为 4. 答案　 4 5. 已知抛物线方程为 y 2 ＝ 8 x ，若过点 Q ( － 2 ， 0) 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 ________. 解析　 设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 2) ，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k 2 x 2 ＋ (4 k 2 － 8) x ＋ 4 k 2 ＝ 0 ，当 k ＝ 0 时，显然满足题意；当 k ≠0 时， Δ ＝ (4 k 2 － 8) 2 － 4 k 2 ·4 k 2 ＝ 64(1 － k 2 ) ≥ 0 ，解得－ 1 ≤ k ＜ 0 或 0 ＜ k ≤ 1 ，因此 k 的取值范围是 [ － 1 ， 1]. 答案　 [ － 1 ， 1] 1. 双曲线定义 平面内到两个定点 F 1 ， F 2 的 ________ ___ ___________ 等于 常数 ( 小于 F 1 F 2 的正数 ) 的点的轨迹叫做双曲线，两个定点 F 1 ， F 2 叫做 ______________ ， 两焦点间的距离 叫做 ___________ ___ _ . 集合 P ＝ { M || MF 1 － MF 2 | ＝ 2 a } ， F 1 F 2 ＝ 2 c ，其中 a ， c 为常数且 a >0 ， c >0. (1) 当 ________ 时 ， P 点的轨迹是双曲线； (2) 当 ________ 时 ， P 点的轨迹是两条射线； (3) 当 ________ 时 ， P 点不存在 . 知 识 梳 理 距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 2 a < F 1 F 2 2a ＝ F 1 F 2 2 a > F 1 F 2 2. 双曲线的标准方程和几何性质 性质 范围 x ≥ a 或 x ≤ － a ， y ∈ R x ∈ R ， y ≤ － a 或 y ≥ a 对称性 对称轴 ： ________ 　对称中心 ： _______ 顶点 A 1 ( － a ， 0) ， A 2 ( a ， 0) A 1 (0 ，－ a ) ， A 2 (0 ， a ) 渐近线 离心率 实虚轴 线段 A 1 A 2 叫做双曲线的实轴，它的长 A 1 A 2 ＝ _____ ； 线段 B 1 B 2 叫做双曲线的虚轴，它的长 B 1 B 2 ＝ ____ ； a 叫做双曲线 的 ____________ ， b 叫做双曲线 的 ____________ a 、 b 、 c 的关系 c 2 ＝ _______ ( c > a >0 ， c > b >0) 坐标轴 原点 (1 ，＋ ∞) 2 a 2 b 实半轴长 虚半轴长 a 2 ＋ b 2 3. 抛物线的概念 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l ( F 不在 l 上 ) 的 距离 _______ 的 点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线 的 _______ ， 定直线 l 叫做抛物线 的 _______ . 4. 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y 2 ＝ 2 px ( p >0 ) y 2 ＝－ 2 px ( p >0 ) x 2 ＝ 2 py ( p >0 ) x 2 ＝－ 2 py ( p >0 ) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 相等 焦点 准线 考点一　双曲线、抛物线的定义及标准方程 【例 1 － 1 】 已知圆 C 1 ： ( x ＋ 3) 2 ＋ y 2 ＝ 1 和圆 C 2 ： ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 9 ，动圆 M 同时与圆 C 1 及圆 C 2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 ________. 解析　 如图所示，设动圆 M 与圆 C 1 及圆 C 2 分别外切于 A 和 B . 根据两圆外切的条件， 得 MC 1 － AC 1 ＝ MA ， MC 2 － BC 2 ＝ MB ， 因为 MA ＝ MB ， 所以 MC 1 － AC 1 ＝ MC 2 － BC 2 ， 即 MC 2 － MC 1 ＝ BC 2 － AC 1 ＝ 2 ， 所以点 M 到两定点 C 1 、 C 2 的距离的差是常数且小于 C 1 C 2 ＝ 6. 又根据双曲线的定义得动点 M 的轨迹为双曲线的左支 ( 点 M 与 C 2 的距离大，与 C 1 的距离小 ) ， 其中 a ＝ 1 ， c ＝ 3 ，则 b 2 ＝ 8. 【例 1 － 2 】 根据下列条件求双曲线的标准方程： (2) ∵ 双曲线经过点 M (0 ， 12) ， ∴ M (0 ， 12) 为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a ＝ 12. 又 2 c ＝ 26 ， ∴ c ＝ 13 ， ∴ b 2 ＝ c 2 － a 2 ＝ 25. ( 3) 设双曲线方程为 mx 2 － ny 2 ＝ 1( mn >0). 规律方法　 (1) 利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程 . (2) 在 “ 焦点三角形 ” 中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合 | PF 1 － PF 2 | ＝ 2 a ，运用平方的方法，建立与 PF 1 · PF 2 的联系 . 【训练 1 】 (1) (2016· 浙江卷 ) 若抛物线 y 2 ＝ 4 x 上的点 M 到焦点的距离为 10 ，则 M 到 y 轴的距离是 ________. (2) 若抛物线 y 2 ＝ 2 x 的焦点是 F ，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A (3 ， 2) ，则 PA ＋ PF 取最小值时点 P 的坐标为 ________. 解析　 (1) 抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点 F (1 ， 0). 准线为 x ＝－ 1 ，由 M 到焦点的距离为 10 ，可知 M 到准线 x ＝－ 1 的距离也为 10 ，故 M 的横坐标满足 x M ＋ 1 ＝ 10 ，解得 x M ＝ 9 ，所以点 M 到 y 轴的距离为 9. 答案 　 (1)9 　 (2)(2 ， 2) 考点二　双曲线、抛物线的几何性质 (2) 不妨设抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px ( p >0) ，圆的方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 ( r >0) ， ∴ C 的焦点到准线的距离为 4. 答案　 (1)2 　 (2)4 ( 2) 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 由抛物线的定义： 可得 y 1 ＋ y 2 ＝ p ， 考点三　直线与抛物线的位置关系 【例 3 】 (2018· 苏北四市联考 ) 已知点 F 为抛物线 E ： y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) 的焦点，点 A (2 ， m ) 在抛物线 E 上，且 AF ＝ 3. (1) 求抛物线 E 的方程； (2) ( 一题多解 ) 已知点 G ( － 1 ， 0) ，延长 AF 交抛物线 E 于点 B ，证明：以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切 . (2) 证明 　因为点 A (2 ， m ) 在抛物线 E ： y 2 ＝ 4 x 上， 所以 k GA ＋ k GB ＝ 0 ，从而 ∠ AGF ＝ ∠ BGF ，这表明点 F 到直线 GA ， GB 的距离相等，故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切 . 法二　 (1) 同法一 . (2) 证明 　设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r . 因为点 A (2 ， m ) 在抛物线 E ： y 2 ＝ 4 x 上， 又 G ( － 1 ， 0) ， 这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切 . 规律方法 　 (1) 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式 AB ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式 . (2) 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用 “ 设而不求 ”“ 整体代入 ” 等解法 . 提醒 ：涉及弦的中点、斜率时一般用 “ 点差法 ” 求解 . 【训练 3 】 (2016· 江苏卷 ) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l ： x － y － 2 ＝ 0 ，抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0). (1) 若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； (2) 已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q . ① 求证：线段 PQ 的中点坐标为 (2 － p ，－ p ) ； ② 求 p 的取值范围 . ( 2) ① 证明 　设点 P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ). ∴ 线段 PQ 的中点坐标为 (2 － p ，－ p ). ② 解 　 ∵ PQ 的中点为 (2 － p ，－ p ) ，