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- 2021-06-30 发布
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第三章 导数及其应用 单元测试
一、选择题
1. 若,则等于( )
A. B. C. D.
2. 若函数的图象的顶点在第四象限,则函数的图象是( )
3. 已知函数在上是单调函数,则实数的
取值范围是( )
A. B.
C. D.
4. 对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )
A. B.
C. D.
5. 若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为( )
A. B. C. D.
6. 函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,
则函数在开区间内有极小值点( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题
1. 若函数在处有极大值,则常数的值为_________;
2. 函数的单调增区间为 .
3. 设函数,若为奇函数,则=__________
4. 设,当时,恒成立,则实数的
取值范围为 .
5. 对正整数,设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为,则
数列的前项和的公式是
三、解答题
1. 求函数的导数.
2. 求函数的值域.
3. 已知函数在与时都取得极值
(1)求的值与函数的单调区间
(2)若对,不等式恒成立,求的取值范围.
4. 已知,,是否存在实数,使同时满足下列两个条件:(1)在上是减函数,在上是增函数;(2)的最小值是,若存在,求出,若不存在,说明理由.
参考答案
一、选择题
1. A
2. A 对称轴,直线过第一、三、四象限
3. B 在恒成立,
4. C 当时,,函数在上是增函数;当时,,在上是减函数,故当时取得最小值,即有
得
5. A 与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为,而,所以在处导数为,此点的切线为
6. A 极小值点应有先减后增的特点,即
二、填空题
1. ,时取极小值
2. 对于任何实数都成立
3.
要使为奇函数,需且仅需,
即:. 又,所以只能取,从而.
4. 时,
5. ,
令,求出切线与轴交点的纵坐标为,所以,则数列的前项和
三、解答题
1. 解:
.
2. 解:函数的定义域为,
当时,,即是函数的递增区间,当时,
所以值域为.
3. 解:(1)
由,得
,函数的单调区间如下表:
极大值
¯
极小值
所以函数的递增区间是与,递减区间是;
(2),当时,
为极大值,而,则为最大值,要使
恒成立,则只需要,得.
4. 解:设
∵在上是减函数,在上是增函数
∴在上是减函数,在上是增函数.
∴ ∴ 解得
经检验,时,满足题设的两个条件.