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- 2021-06-30 发布
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难点29 排列、组合的应用问题
排列、组合是每年高考必定考查的内容之一,纵观全国高考数学题,每年都有1~2道排列组合题,考查排列组合的基础知识、思维能力.
●难点磁场
(★★★★★)有五张卡片,它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?
●案例探究
[例1]在∠AOB的OA边上取m个点,在OB边上取n个点(均除O点外),连同O点共m+n+1个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作的三角形有( )
命题意图:考查组合的概念及加法原理,属★★★★★级题目.
知识依托:法一分成三类方法;法二,间接法,去掉三点共线的组合.
错解分析:A中含有构不成三角形的组合,如:CC中,包括O、Bi、Bj;CC中,包含O、Ap、Aq,其中Ap、Aq,Bi、Bj分别表示OA、OB边上不同于O的点;B漏掉△AiOBj;D有重复的三角形.如CC中有△AiOBj,CC中也有△AiOBj.
技巧与方法:分类讨论思想及间接法.
解法一:第一类办法:从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点,可构造一个三角形,有CC个;第二类办法:从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点,与O点可构造一个三角形,有CC个;第三类办法:从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点,与O点可构造一个三角形,有CC个.由加法原理共有N=CC+CC+CC个三角形.
解法二:从m+n+1中任取三点共有C个,其中三点均在射线OA(包括O点),有C个,三点均在射线OB(包括O点),有C个.所以,个数为N=C-C-C个.
答案:C
[例2]四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不同的保送方案的总数是_________.
命题意图:本题主要考查排列、组合、乘法原理概念,以及灵活应用上述概念处理数学问题的能力,属★★★★级题目.
知识依托:排列、组合、乘法原理的概念.
错解分析:根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生,常采用先安排每学校一人,而后将剩的一人送到一所学校,故有3A种.忽略此种办法是:将同在一所学校的两名学生按进入学校的前后顺序,分为两种方案,而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序要求的.
技巧与方法:解法一,采用处理分堆问题的方法.解法二,分两次安排优等生,但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的.
解法一:分两步:先将四名优等生分成2,1,1三组,共有C种;而后,对三组学生安排三所学校,即进行全排列,有A33种.依乘法原理,共有N=C =36(种).
解法二:分两步:从每个学校至少有一名学生,每人进一所学校,共有A种;而后,再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校,有3种.值得注意的是:同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的.因此,共有N=A·3=36(种).
答案:36
●锦囊妙记
排列与组合的应用题,是高考常见题型,其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.前两种方式叫直接解法,后一种方式叫间接解法.
在求解排列与组合应用问题时,应注意:
(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;
(3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;
(4)列出式子计算和作答.
解排列与组合应用题常用的方法有:直接计算法与间接计算法;分类法与分步法;元素分析法和位置分析法;插空法和捆绑法等八种.
经常运用的数学思想是:
①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.
●歼灭难点训练
一、填空题
1.(★★★★)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示).
2.(★★★★★)圆周上有2n个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_________.
二、解答题
3.(★★★★★)某人手中有5张扑克牌,其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A,有5次出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法?
4.(★★★★)二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c,在集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中选取3个不同的值,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条?
5.(★★★★★)有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数.
(1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置.
(2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边.
(3)全体排成一行,其中男生必须排在一起.
(4)全体排成一行,男、女各不相邻.
(5)全体排成一行,男生不能排在一起.
(6)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.
(7)排成前后二排,前排3人,后排4人.
(8)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有3人.
6.(★★★★★
)20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中,要求每个盒内的球数不小于它的编号数,求不同的放法种数.
7.(★★★★)用五种不同的颜色,给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色,每部分涂一色,相邻部分涂不同色,则涂色的方法共有几种?
8.(★★★★)甲、乙、丙三人值周一至周六的班,每人值两天班,若甲不值周一、乙不值周六,则可排出不同的值班表数为多少?
参考答案
难点磁场
解:(间接法):任取三张卡片可以组成不同三位数C·23·A(个),其中0在百位的有C·22·A (个),这是不合题意的,故共有不同三位数:C·23·A-C·22·A=432(个).
歼灭难点训练
一、1.解析:因为直线过原点,所以C=0,从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A、B两数的顺序不同,表示的直线不同,所以直线的条数为A=30.
答案:30
2.解析:2n个等分点可作出n条直径,从中任选一条直径共有C种方法;再从以下的(2n-2)个等分点中任选一个点,共有C种方法,根据乘法原理:直角三角形的个数为:C·C=2n(n-1)个.
答案:2n(n-1)
二、3.解:出牌的方法可分为以下几类:
(1)5张牌全部分开出,有A种方法;
(2)2张2一起出,3张A一起出,有A种方法;
(3)2张2一起出,3张A一起出,有A种方法;
(4)2张2一起出,3张A分两次出,有CA种方法;
(5)2张2分开出,3张A一起出,有A种方法;
(6)2张2分开出,3张A分两次出,有CA种方法.
因此,共有不同的出牌方法A+A+A+AA+A+CA=860种.
4.解:由图形特征分析,a>0,开口向上,坐标原点在内部f(0)=c<0;a
<0,开口向下,原点在内部f(0)=c>0,所以对于抛物线y=ax2+bx+c来讲,原点在其内部af(0)=ac<0,则确定抛物线时,可先定一正一负的a和c,再确定b,故满足题设的抛物线共有CCAA=144条.
5.解:(1)利用元素分析法,甲为特殊元素,故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择.有A种,其余6人全排列,有A种.由乘法原理得AA=2160种.
(2)位置分析法.先排最右边,除去甲外,有A种,余下的6个位置全排有A种,但应剔除乙在最右边的排法数AA种.则符合条件的排法共有AA-AA=3720种.
(3)捆绑法.将男生看成一个整体,进行全排列.再与其他元素进行全排列.共有AA=720种.
(4)插空法.先排好男生,然后将女生插入其中的四个空位,共有AA=144种.
(5)插空法.先排女生,然后在空位中插入男生,共有AA=1440种.
(6)定序排列.第一步,设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N,第二步,对甲、乙、丙进行全排列,则为七个人的全排列,因此A=N×A,∴N== 840种.
(7)与无任何限制的排列相同,有A=5040种.
(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A种,甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有AA.最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可.共有A×A×A=720种.
6.解:首先按每个盒子的编号放入1个、2个、3个小球,然后将剩余的14个小球排成一排,如图,|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|,有15个空档,其中“O”表示小球,“|”表示空档.将求小球装入盒中的方案数,可转化为将三个小盒插入15个空档的排列数.对应关系是:以插入两个空档的小盒之间的“O”个数,表示右侧空档上的小盒所装有小球数.最左侧的空档可以同时插入两个小盒.而其余空档只可插入一个小盒,最右侧空档必插入小盒,于是,若有两个小盒插入最左侧空档,有C种;若恰有一个小盒插入最左侧空档,有种;若没有小盒插入最左侧空档,有C种.由加法原理,有N==120种排列方案,即有120种放法.
7.解:按排列中相邻问题处理.(1)(4)或(2)(4).可以涂相同的颜色.分类:若(1)(4)同色,有A种,若(2)(4)同色,有A种,若(1)(2)(3)(4)均不同色,有A种.由加法原理,共有N=2A+A=240种.
8.解:每人随意值两天,共有CCC个;甲必值周一,有CCC
个;乙必值周六,有CCC个;甲必值周一且乙必值周六,有CCC个.所以每人值两天,且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表数,有N=CCC-2CCC+ CCC=90-2×5×6+12=42个.