中学生标准学术能力诊断性测试2020届高三5月测试数学（理）试题（一卷） 24页

中学生标准学术能力诊断性测试2020年5月测试 理科数学试卷（一卷）‎ 本试卷共150分，考试时间120分钟.‎ 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解对数不等式求出集合，再根据二次函数的单调性求出集合，然后根据并集的定义求解即可．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的并集运算，考查对数不等式的解法，考查二次函数的值域，属于基础题．‎ ‎2.在复平面内，复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数代数形式的除法运算和复数的模先化简该复数，再根据虚部的定义得出结论．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴复数的虚部为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查复数的模和虚部的定义，属于基础题．‎ ‎3.已知单位向量，满足，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，再根据平面向量的数量积的定义即可求出答案．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，化简得，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义及其应用，属于基础题．‎ ‎4.下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入，，则程序中需要做减法的次数为（ ）‎ A. 6 B. ‎5 ‎C. 4 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的的值，即可得到结论．‎ ‎【详解】解：由，，满足，满足，则；‎ 满足，不满足，则；‎ 满足，满足，则；‎ 满足，不满足，则；‎ 不满足，则输出；‎ 则程序中需要做减法的次数为4，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．‎ ‎5.在的展开式中，的系数为（ ）‎ A. B. ‎6 ‎C. 10 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，且的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，令，由此可求出答案．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∵的展开式的通项公式为，‎ 的展开式的通项公式为，‎ 则展开式中含的项需满足，‎ ‎∴展开式中的系数为，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中档题．‎ ‎6.在三角形中，，，分别为角，，的对边，且满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理结合题意得，而，再根据半角公式求解即可．‎ ‎【详解】解：∵，即，‎ 由余弦定理可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查半角公式的应用，属于基础题．‎ ‎7.函数的部分图像大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的值域和绝对值的几何意义可知，再结合导数求出函数在上的单调性，由此可得出答案．‎ ‎【详解】解：根据指数函数的值域和绝对值的几何意义可知，则C、D错；‎ 当时，，，‎ 由得，由得，‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增，则A对，B错；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．‎ ‎8.已知函数，若，则的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的奇偶性，再求导研究函数的单调性，再结合奇偶性与单调性解不等式即可．‎ ‎【详解】解：∵，定义域为，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数为奇函数，‎ ‎∵，‎ ‎∴函数在上单调递减，‎ ‎∵‎ ‎∴，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴或，‎ 解得，或，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查分式不等式的解法，属于中档题．‎ ‎9.已知等差数列满足：，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质和求和公式可得，由此可求出答案．‎ ‎【详解】解：∵等差数列满足：，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用，考查等差数列的求和公式，属于基础题．‎ ‎10.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，则（ ）‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，解出即可．‎ ‎【详解】解：由题意有，以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆的方程为，‎ 直线的一般式为，‎ 又椭圆的离心率为，‎ ‎∴，解得，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎11.设为定义于上的偶函数，当时，，则方程的实数解的个数为（ ）‎ A. 8 B. ‎6 ‎C. 4 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，为偶函数，，则，画出函数和在上的图象，结合图象即可得出结论．‎ ‎【详解】解：当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎∴为偶函数，‎ 且为偶函数，‎ 画出函数和在上的图象如图，‎ 由图可知，函数和的图象在上有4个交点，‎ ‎∴由偶函数的性质可知，函数和的图象在上有4个交点，‎ ‎∴函数和的图象在上有8个交点，‎ 即方程的实数解的个数为8，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查方程的根与函数的零点以及函数图象的交点之间的关系，考查转化与化归思想，考查分类讨论思想，考查数形结合思想，考查计算能力与推理能力，属于难题．‎ ‎12.已知当时，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A. （为任意整数） B. （为任意整数）‎ C. （为任意整数） D. （为任意整数）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可设不等式左边为并化简，求出的最小值，令其大于0，得到的取值范围即可．‎ ‎【详解】解：设，‎ ‎①若，即时，原不等式不恒成立；‎ ‎②若即时，‎ 在的最小值为或或，‎ ‎，‎ ‎∴，解得，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式恒成立的问题，考查三角函数的性质，考查分类讨论思想，考查计算能力与转化能力，属于难题．‎ 二、填空题：本大题共4小题.‎ ‎13.设数列满足，，，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，，化简整理得，令，可得，由此可得，从而可求出答案．‎ ‎【详解】解：∵，，‎ ‎∴当时，，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 令，则，且，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，考查推理能力与计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题．‎ ‎14.设实数，满足，则的最大值为______.‎ ‎【答案】73‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组表示的可行域，利用目标函数的几何意义（到原点的距离的平方）转化求解即可．‎ ‎【详解】解：不等式组的图象如图：‎ 的几何意义是可行域内的点和原点的距离的平方，‎ 显然到原点的距离最大，由，解得，‎ 则的最大值为：，‎ 故答案为：73．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎15.假设抛一枚质地均匀的色子，若抛出的点数为1、2或3，我们称为“小”，否则，若抛出的点数为4、5或6，则称为“大”.独立重复地抛这枚色子两次，已知两次都为“大”，则第1次抛出的点数为6的概率______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意可知，第1次抛出的点数为4、5或6，根据相互独立的事件的概率互不影响即可求出答案．‎ ‎【详解】解：由题意可知，第1次抛出的点数为4、5或6，‎ ‎∵独立重复地抛这枚色子两次，两次抛掷互不影响，‎ ‎∴第1次抛出点数为6的概率，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查独立重复试验的应用，属于基础题．‎ ‎16.已知定义于实数上的奇函数满足，则不等式的解集为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，，令，则，求导后可得，结合题意可得，得函数在上单调递增，而，由此可求出解集．‎ ‎【详解】解：设，‎ 则，‎ ‎∵，‎ 令，则，‎ 由得，由得，‎ ‎∴当时，函数取得极小值同时也是最小值，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ 又，‎ ‎∴由得，‎ ‎∴，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，考查计算能力与推理能力，属于难题．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：‎ ‎17.设中，，内角、、对应的对边长分别为、、.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求面积的最大值，并求出取得最大值时的值.‎ ‎【答案】（1）（2）面积的最大值为；此时 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在三角形中，，结合条件可得，由此可求出答案；‎ ‎（2）由可得，则，此时，，再由余弦定理即可求出答案．‎ ‎【详解】解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，则；‎ ‎（2）因，，，，故，‎ 于是，，‎ ‎∴面积的最大值为，‎ 且当取得最大值时，，，可得，，‎ 由余弦定理，，即得．‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查重要不等式的应用，属于基础题．‎ ‎18.如下为简化的计划生育模型：每个家庭允许生男孩最多一个，即某一胎若为男孩，则不能再生下一胎，而女孩可以多个.为方便起见，此处约定每个家庭最多可生育3个小孩，即若第一胎或前两胎为女孩，则继续生，但若第三胎还是女孩，则不能再生了.设每一胎生男生女等可能，且各次生育相互独立.依据每个家庭最多生育一个男孩的政策以及我们对生育女孩的约定，令为某一家庭所生的女孩数，为此家庭所生的男孩数.‎ ‎（1）求，的分布列，并比较它们数学期望的大小；‎ ‎（2）求概率，其中为的方差.‎ ‎【答案】（1）分布列见解析：（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）易知的取值为0，1，2，3，的取值为0，1，利用相互独立的事件的概率公式求出相应概率，由此可得分布列，再根据数学期望的计算公式求出期望，进而比较大小；‎ ‎（2）结合公式求出方差，再根据互斥事件的概率加法公式即可求出结果．‎ ‎【详解】解：（1）易知的取值为0，1，2，3，对应取值的概率为别为：‎ ‎，，，‎ 即得的分布列如下 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 类似地，的取值为0，1，对应取值的概率分别为：‎ ‎，；‎ 得的分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ 由，的分布列可得它们的期望分别为：‎ ‎，‎ ‎，‎ 因此；‎ ‎（2），‎ 故．‎ ‎【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望、方差，考查计算能力与推理能力，属于中档题．‎ ‎19.如图，已知四棱锥的底面为边长为2的菱形，平面，，，为棱上一点，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角余弦值；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面得，又底面为菱形可得，则平面，从而；‎ ‎（2）设菱形的对角线交点为，以为原点，分别以、的方向为，轴建立空间直角坐标系，借助空间向量求出平面法向量的夹角，从而求出答案；‎ ‎（3）由图可知，由题意可知三棱锥的高为，由此可求出答案．‎ 详解】解：（1）因平面，故，‎ 又因底面为菱形，故，‎ 又，平面，‎ ‎∴平面，‎ 而平面，‎ ‎∴；‎ ‎（2）设菱形的对角线交点为，因，平面，‎ 以为原点，分别以、的方向为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎∴，，‎ ‎，，‎ ‎∴平面和平面的一个法向量分别为，，‎ ‎∴，‎ 由图可知二面角的平面角为锐角，‎ ‎∴二面角的余弦值为．‎ ‎（3）由图可知，，‎ 因，可知三棱锥的高为，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质，考查二面角的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查计算能力与推理能力，属于中档题．‎ ‎20.已知双曲线：的离心率，其左焦点到此双曲线渐近线的距离为.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求圆的圆心到抛物线的准线的距离.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，解出即可；‎ ‎（2）由题意设直线方程为，联立直线与椭圆的方程并消元，设，，可得韦达定理的结论，又以为直径的圆过原点得，代入可求得，根据中点坐标公式求得圆的圆心的纵坐标，从而可求出答案．‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得，‎ 解得，‎ ‎∴双曲线的方程为；‎ ‎（2）易知直线与轴不重合，设直线的方程为，‎ 联立方程，可得，‎ 上述方程式的判别式，以及（否则直线不能与双曲线交两点），‎ 设，，则，，‎ 同时可得，‎ 以为直径的圆过原点，知，‎ 结合，可知，，‎ ‎∴圆的圆心即中点的纵坐标为，‎ ‎∵抛物线的准线方程为，‎ ‎∴圆的圆心到抛物线的准线距离为或．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题．‎ ‎21.设函数，，其中为欧拉数，，为未知实数，且.如果和均为函数的单调区间.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若函数在上有极值点，为实数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，，求导得函数在上单调递增，设的唯一根为，则满足，由题设得， 由此可得答案；‎ ‎（2）由题意得存在，使得，再分类讨论结合一元二次方程根的分布即可求出答案．‎ ‎【详解】解：（1）令，，‎ ‎∴（因，），‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ 设的唯一根为，即满足，（利用，的函数图象很容易确定）‎ 于是，当时，，而当时，，‎ 从而，当时，，‎ 当时，，‎ 可知，为的单调递减区间，为的单调递增区间，‎ 进而，由题设得，‎ 因此，；‎ ‎（2）若函数在上有极值点，则易知存在，使得，‎ 注意到，‎ ‎①若在上有根，等价于在上有解，‎ 由一元二次方程根的分布可得，只需满足，解得；‎ ‎②若在上有根，等价于在上有解，‎ 由一元二次方程根的分布可得，只需满足且，解得；‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，考查计算能力与推理能力，属于难题．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22，23‎ 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎22.设为定义于上的函数，满足：‎ ‎（1）对任意，都有；‎ ‎（2）对任意，，都有.‎ 求证：在上的导数恒为零.‎ ‎【答案】证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，对任意，，都有，，，， 由得，令，可得，即，则，于是化为，即，同理，亦有，则，由此得证．‎ ‎【详解】证明：要证明在上的导数恒为零，等价于证明在上恒为常数；‎ 因对任意，都有，‎ 故对任意，，都有，，，，‎ 对任意，，都有，‎ 故有，‎ 因上式对于任意都成立，故令，‎ 可得，即，‎ ‎∴，，‎ 于是，可化为，即，，，‎ 同理，亦有，，，‎ 因此，，，，‎ 即得证在上恒为一个常数，‎ ‎∴在上的导数恒为零．‎ ‎【点睛】本题主要考查抽象函数的导数的应用，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于难题．‎ ‎[选修2-2，推理与证明]‎ ‎23.设数列为非负实数列，且满足，，，2，….求证：，，2，….‎ ‎【答案】证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证，，2，…，反证法，若存在某个，使得，则有从起，非负数列单调递增，从而得出矛盾，得到假设不成立；‎ 再证，，2，…，令，则，有题意可知，再由条件可得到，由此即可证明．‎ ‎【详解】证明：先证，，2，…，‎ 若存在某个，使得，则有，‎ 即从起，非负数列单调递增，‎ ‎∴将随着k的增加而趋于正无穷，不可能永远小于等于1，‎ 即与，，2，…矛盾，‎ 故，，2，…；‎ 再证，，2，…，‎ 令，，2，…，则，‎ 由可知，，2，…，‎ 又因 ‎，‎ 故有，‎ ‎∴，即证得，，2，…；‎ 综上：，，2，…．‎ ‎【点睛】本题主要考查反证法证明不等式，考查数列的递推公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题．‎