2012高考真题分类汇编：圆锥曲线 23页

‎2012高考真题分类汇编：圆锥曲线 一、解答题 ‎1、【2012高考真题全国卷理21】‎ 已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+()2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.‎ ‎（Ⅰ）求r；‎ ‎（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.‎ ‎2、【2012高考真题重庆理20】‎ ‎ 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为，线段 的中点分别为，且△ 是面积为4的直角三角形.‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过 做直线交椭圆于P，Q两点，使，求直线的方程 ‎3、【2012高考真题四川理21】‎ ‎ 如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。‎ ‎（Ⅰ）求轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求 的取值范围。‎ ‎4、【2012高考真题新课标理20】‎ 设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，‎ 为半径的圆交于两点；‎ ‎（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；‎ ‎（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，‎ 求坐标原点到距离的比值.‎ ‎5、【2012高考真题福建理19】如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程.‎ ‎（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎6、【2012高考真题上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：‎ ‎．‎ ‎（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；‎ ‎（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；‎ ‎（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值.‎ ‎7、【2012高考真题陕西理19】‎ 已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8、【2012高考真题广东理20】‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率e=，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎9、【2012高考真题江西理21】 ‎ 已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足.‎ ‎（1） 求曲线C的方程；‎ ‎（2） 动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E，且△QAB与△‎ PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值。若不存在，说明理由。‎ ‎10、【2012高考真题北京理19】‎ ‎11、【2012高考真题天津理19】‎ 设椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足 ‎12、【2012高考真题湖南理21】[www.z%zstep.co*~&m^]‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.‎ ‎（Ⅰ）求曲线C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.‎ ‎13、【2012高考江苏19】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率；‎ ‎（ii）求证：是定值．‎ ‎14、【2012高考真题浙江理21】如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．‎ ‎15、【2012高考真题辽宁理20】‎ ‎ 如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。‎ ‎ (Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;‎ ‎ (Ⅱ)设动圆与相交于四点，其中，‎ ‎。若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。‎ ‎16、【2012高考真题湖北理】‎ 设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； ‎ ‎（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. ‎ ‎ ‎ ‎17、【2012高考真题山东理21】‎ 在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值.‎ 以下是答案 一、解答题 ‎1、 ‎ ‎2、‎ ‎3、‎ ‎4、（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 ‎ 点到准线的距离 ‎ ‎ ‎ 圆的方程为 ‎ （2）由对称性设，则 ‎ 点关于点对称得：‎ ‎ 得：，直线 ‎ 切点 ‎ 直线 坐标原点到距离的比值为.‎ ‎5、‎ ‎6、‎ 过点A与渐近线平行的直线方程为 ‎，,则到直线的距离为.‎ 设到直线的距离为.‎ ‎7、 ‎ ‎8、‎ ‎9、 ‎ ‎10、解：（1）原曲线方程可化简得：‎ 由题意可得：，解得：‎ ‎（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，‎ ‎，解得： 由韦达定理得：①，，②‎ 设，，‎ 方程为：，则，‎ ‎，，‎ 欲证三点共线，只需证，共线 即成立，化简得：‎ 将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。‎ ‎11、 ‎ ‎12、（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为，由已知得 ‎，‎ 易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以 ‎.‎ 化简得曲线的方程为.‎ 解法2 ：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.‎ ‎（Ⅱ）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆 相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.于是 整理得 ‎ ①‎ 设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故 ‎ ②‎ 由得 ③‎ 设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以 ‎ ④‎ 同理可得 ‎ ⑤‎ 于是由②，④，⑤三式得 ‎.‎ 所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.‎ ‎【解析】‎ ‎【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.‎ ‎13、解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得 ‎，∴。‎ 由点在椭圆上，得 ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎（2）由（1）得，，又∵∥，‎ ‎ ∴设、的方程分别为，。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴。①‎ ‎ 同理，。②‎ ‎ （i）由①②得，。解得=2。‎ ‎ ∵注意到，∴。‎ ‎ ∴直线的斜率为。‎ ‎ （ii）证明：∵∥，∴，即。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 由点在椭圆上知，，∴。‎ ‎ 同理。。‎ ‎ ∴‎ ‎ 由①②得，，，‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴是定值。‎ ‎14、(Ⅰ)由题：； (1)‎ 左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：． (2)‎ 由(1) (2)可解得：．‎ ‎∴所求椭圆C的方程为：．‎ ‎(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．‎ ‎∵A，B在椭圆上，‎ ‎∴．‎ 设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)，‎ 代入椭圆：．‎ 显然．‎ ‎∴﹣＜m＜且m≠0．‎ 由上又有：＝m，＝．‎ ‎∴|AB|＝||＝＝．‎ ‎∵点P(2，1)到直线l的距离表示为：．‎ ‎∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|，‎ 当|m＋2|＝，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)时，(SABP)max＝．‎ 此时直线l的方程y＝﹣．‎ ‎15、‎ ‎16、（Ⅰ）如图1，设，，则由，‎ 可得，，所以，. ①‎ 因为点在单位圆上运动，所以. ②‎ 将①式代入②式即得所求曲线的方程为. ‎ 因为，所以 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，；‎ 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，. ‎ ‎（Ⅱ）解法1：如图2、3，，设，，则，，‎ 直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得 ‎.‎ 依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得 ‎，即.‎ 因为点H在直线QN上，所以.‎ 于是，. ‎ 而等价于，‎ 即，又，得，‎ 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. ‎ 图2 ‎ 图3 ‎ 图1‎ O D x y A M 第21题解答图 ‎ ‎ ‎ ‎ 解法2：如图2、3，，设，，则，，‎ 因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得 ‎. ③ ‎ 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，‎ 故. 于是由③式可得 ‎. ④‎ 又，，三点共线，所以，即. ‎ 于是由④式可得.‎ 而等价于，即，又，得，‎ 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. ‎ ‎17、‎