四川省成都市双流中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题 23页

四川省双流中学高2017级10月月考试题 数学（理科）‎ 考试时间：120分钟，总分：150分 第Ⅰ卷选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将你选择的答案涂到答题卡上.‎ ‎1.已知集合，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数值域求得集合，由此求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】由题，，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查指数函数的值域，属于基础题.‎ ‎2.已知是虚数单位，复数在复平面内对应的点为，则为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据对应点的坐标求得的表达式，利用除法运算化简求得的表达式.‎ ‎【详解】由题，得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复平面上点和复数的对应关系，属于基础题.‎ ‎3.某调研机构随机调查了年某地区 名业主物业费的缴费情况，发现缴费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，若第五组的频数为，则样本容量（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出第组的频率，利用频数除以频率求得样本容量.‎ ‎【详解】根据频率分布直方图，第五组的频率为，又第五组的频数为，所以样本容量为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图计算样本容量，考查图表分析能力，属于基础题.‎ ‎4.过点且倾斜角为的直线与抛物线的位置关系是（）‎ A. 相交且有两公共点 B. 相交且有一公共点 C. 有一公共点且相切 D. 无公共点 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目已知条件求得直线方程，联立直线方程和抛物线方程消去得到关于的一元二次方程，根据判别式为判断出直线和抛物线相切，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】直线方程为，与联立可得，‎ 且有重根，该直线与抛物线有唯一公共点且相切.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系判断，属于基础题.‎ ‎5.若直线上不存在满足不等式组的点，则实数的取值范围为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组表示的可行域，注意到直线过定点，结合图像求得直线斜率的取值范围.‎ ‎【详解】画出如图所示的可行域，由图可知，当且仅当直线的斜率满足时，直线上不存在可行域上的点.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查不等式组表示可行域的画法，考查直线过定点问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ A选项中，平面未必垂直，也可能相交但不垂直，还可能平行；B选项中，因为，，则，又，则，故B正确；C选项中，未必平行，还可能相交或异面；D选项中，未必垂直，还可能异面、平行、也可能相交但不垂直.综上所述，故选B.‎ ‎7.如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率.‎ ‎【详解】，‎ 又，‎ ‎，‎ 豆子落在图中阴影部分的概率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键.‎ ‎8.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为63，36，则输出的（ ）‎ A. 3 B. 6 C. 9 D. 18‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．‎ ‎【详解】由a=63，b=36，满足a＞b， 则a变为63-36=27， 由a＜b，则b变为36-27=9， 由b＜a，则a =27-9=18， 由b＜a，则，b=18-9=9， 由a=b=9，退出循环，则输出的a的值为9． 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．‎ ‎9.设函数的图象上的点处的切线的斜率为，记，则函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】因为 故选D ‎10.为迎接双流中学建校周年校庆，双流区政府计划提升双流中学办学条件.区政府联合双流中学组成工作组，与某建设公司计划进行个重点项目的洽谈，考虑到工程时间紧迫的现状，工作组对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有（）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据甲在第这三个位置进行分类讨论，按“先排甲，再排丙丁，再排其它三个”，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理求得不同安排方案.‎ ‎【详解】第一类：当甲在第位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有种方法，‎ 第二步，丙、丁内部排列用种方法，‎ 第三步，其他三人共种方法，共种方法；‎ 第二类：当甲在第位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有种方法，‎ 后面两步与第一类方法相同，共种方法；‎ 第三类：当甲在第为时，与第二类相同，共种方法；‎ 总计，完成这件事的方法数为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查实际问题中的方案安排种数问题，考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，考查捆绑法，属于基础题.‎ ‎11.已知函数的图象过点，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数的图象 A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 函数．由已知，所以，解得．因为，所以，，所以．令，得（），所以函数的图象的对称轴为（）．时，对称轴方程为；时，对称轴方程为．要得到一个偶函数的图象，可将该函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了三角函数式的化简以及三角函数图象的变换，属于基础题；变换过程中三点提醒：（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由的图象得到的图象时，需平移的单位数应为，而不是 ‎．‎ ‎12.已知是定义域为的函数的导函数，若，且，则（）‎ A. B. ‎ C. 当时，取得极小值 D. 当时，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，结合已知条件，利用的导函数求得的单调区间，以及极小值，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】因为，，所以.‎ 当时，，单调递减.‎ 当时，，单调递增.‎ 所以，，即，，故A，B错误；‎ 当时，取得极小值，所以当时，，即，故C错误，D正确.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查构造函数法比较不等式的大小，考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷非选择题（90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应横线上.‎ ‎13.已知双曲线的右焦点为，则到其中一条渐近线的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得双曲线焦点到渐近线的距离为，由此求得到渐近线的距离.‎ ‎【详解】对于任意双曲线，其中一个焦点到渐近线（即）的距离为.又，焦点到其中一条渐近线的距离为.‎ 故填：2.‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线焦点到渐近线的距离，考查点到直线距离公式，属于基础题.‎ ‎14.已知平面向量与的夹角为，若，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两边平方，将已知条件代入后解一元二次方程求得.‎ ‎【详解】所以，，所以.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎15.的内角、、的对边分别为、、.已知，，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理和三角形内角和定理化简，由此求得，进而求得，由余弦定理求得的值.‎ ‎【详解】由正弦定理与，得，又，所以，所以，即，由于所以，.由余弦定理得，.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理，考查两角和的正弦公式，属于中档题.‎ ‎16.圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它的外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面积和底面积的比求得与的关系，由此求得圆锥的高，进而求得圆锥的体积.利用轴截面计算出圆锥外接球的半径，由此求得外接球的体积，进而求得圆锥与它的外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比.‎ ‎【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆锥母线长为，则侧面积为，侧面积与底面积的比为，则母线，圆锥的高为，则圆锥的体积为，设外接球的球心为，半径为，截面图如图，则，，，在直角三角形中，由勾股定理得，即，展形整理得，‎ 则外接球的体积为，故所求体积比为.‎ 故填：‎ ‎【点睛】本小题主要考查圆锥的表面积和底面积的计算，考查圆锥的体积和圆锥外接球体积的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知等差数列的前项和为，且，.等比数列中，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列、的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）将已知条件转化为的形式，解方程组求得，进而求得数列的通项公式.根据已知条件求得公比，然后求得，进而求得数列的通项公式.（II）利用分组求和法求得数列的前项和.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，解得.‎ 所以.‎ 设等比数列的公比为，则，所以.‎ 又因为，所以，所以.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查基本元的思想计算等差、等比数列的通项公式，考查分组求和法，属于中档题.‎ ‎18.如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）连接，交于点，连接.利用中位线证得，由此证得平面.（II）以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，统计计算平面和平面的法向量，计算出所求锐二面角的余弦值.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）连接，交于点，连接.‎ 由题，四边形是矩形.‎ 点为中点.‎ 又点是的中点，‎ ‎.‎ 面，面，‎ 平面.‎ ‎（Ⅱ）如图建立坐标系，‎ ‎，，，，.‎ 点是的中点，‎ ‎，.‎ 设面的法向量为，‎ ‎，‎ 令，得，‎ 又平面，‎ 取平面的法向量为，‎ ‎，‎ 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎19.甲、乙两品牌计划入驻某商场，该商场批准两个品牌先进场试销天。两品牌提供的返利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出件以内（含件）的产品，每件产品返利元，超出件的部分每件返利元；乙品牌每天固定返利元，且每卖出一件产品再返利元。经统计，两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下：‎ ‎（Ⅰ）现从乙品牌试销的天中随机抽取天，求这天的销售量中至少有一天低于的概率.‎ ‎（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：‎ ‎①记甲品牌的日返利额为（单位：元），求的分布列和数学期望；‎ ‎②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①详见解析②商场应选择乙品牌长期销售，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）直接法：分别计算有天低于和有天低于的件的概率，然后相加，求得所求概率.间接法：用减去抽取的天都不低于件的概率，求得所求至少有一天低于的概率.（II）①先计算出甲品牌的日返利额的所有可能取值，由此求得的分布列并求得数学期望.②计算出乙品牌日返利额的分布列和数学期望，结合①中的数学期望，可知商场应选择乙品牌长期销售.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设为从乙品牌试销售的天中抽取天，这天的销售量中至少有一天低于件的事件，则.‎ 另法：设为从乙品牌试销售的天中抽取天，这天的销售量中至少有一天低于件的事件，则为从乙品牌试销售的天中抽取天，这天的销售量都不低于件的事件，则.‎ ‎（Ⅱ）①设甲品牌的日销售量为随机变量，则甲品牌的日返利额（单位：元）与的关系为：‎ ‎.当时，；当时，；当时，‎ ‎；当时，；‎ 故分布列为 ‎（元）‎ ‎②设乙品牌的日销售量为随机变量，乙品牌的日返利额（单位：元）与的关系为：‎ ‎，且的分布列为 则（件）‎ 则（元）‎ 因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额，所以如果仅从日返利额的角度考虑，商场应选择乙品牌长期销售.‎ ‎②另法：乙品牌的日返利额（单位：元）的取值集合为，分布列为 则（元）‎ ‎【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查随机变量分布列和数学期望的计算，考查实际生活中的决策问题，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上两点，是坐标原点，且，，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过作两条相互垂直的直线分别交椭圆于和，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）[].‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据椭圆几何性质以及定义得a，再根据离心率得c，解得b，（2）设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得；再根据分式函数求值域，即得的取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）连接，由知直线过原点，根据椭圆的对称性知，‎ 由椭圆的定义知，∴，‎ 由题知，∴，∴，‎ 故椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）①当直线有一条斜率不存在时，． ‎ ‎②当斜率存在且不0时，设方程为，.‎ 联立方程，得，消去整理得．‎ ‎． ‎ ‎= =．‎ 把代入上式，得，‎ ‎，‎ 设，，，‎ 设=，，‎ 令，则，=（），‎ ‎∴，∴，‎ ‎．‎ 综上，的取值范围是[].‎ ‎21.已知函数在处的切线与直线平行．‎ ‎(1)求实数的值，并判断函数的单调性；‎ ‎(2)若函数有两个零点，，且，求证：．‎ ‎【答案】（1）在上是单调递减；在上是单调递增. （2）详见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由可得，利用导数可求的单调区间.‎ ‎（2）由可得，，令，则且，构建新函数，利用导数可以证明即.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域：，‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ 令，解得，故在上是单调递减；‎ 令，解得，故在上是单调递增. ‎ ‎（2）由为函数的两个零点，得 两式相减，可得 ‎ 即，， ‎ 因此， ‎ 令，由，得.‎ 则， ‎ 构造函数， ‎ 则 所以函数在上单调递增，故，‎ 即，可知.故命题得证.‎ ‎【点睛】（1）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．‎ ‎（2）函数有两个不同的零点，考虑它们的和或积的性质时，我们可以通过设，再利用得到、与的关系式，最后利用导数证明所考虑的性质成立．‎ 请考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.‎ ‎22.选修4－4：坐标系与参数方程 已知过点的直线的倾斜角为，以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，当的面积为面积的一半时，求．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）方程两边同乘以，得，‎ 由，，得，即曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）∵直线的倾斜角为且经过点，‎ ‎∴直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线：中，‎ 得，化简得，‎ 所以.‎ 当的面积为面积的一半时，，此时，‎ ‎∴，即， ‎ ‎∴.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎（Ⅰ）解不等式：；‎ ‎（Ⅱ）若函数的最大值为，且正数满足，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据绝对值定义，将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据绝对值三角不等式得最小值，再根据柯西不等式证得结论.‎ 试题解析：（Ⅰ）当时,可化为,即，恒成立，故； ‎ 当时，可化,即，解得，又，故. ‎ 当时，可化为,即，显然不成立，所以此时不等式无解. ‎ 综上，，故的解集为.‎ ‎（Ⅱ）由绝对值不等式可得.‎ 由题意得.‎ 所以，‎ 所以由柯西不等式得 ‎ ‎ ‎，当且仅当时等号成立. ‎ 即，所以.‎ ‎ ‎ ‎ ‎