高中数学选修2-3教学课件：2_4正态分布（1） 32页

2.4 正态分布 高二数学 选修 2-3 引入 正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于 0 ，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为 0 ，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。 离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。 复习 100 个产品尺寸的 频率分布直方图 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535 产品 尺寸 （ mm) 频率 组距 复习 200 个产品尺寸的 频率分布直方图 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535 产品 尺寸 （ mm) 频率 组距 复习 样本容量增大时 频率分布直方图 频率 组距 产品 尺寸 (mm) 总体密度曲线 复习 产品 尺寸 (mm) 总体密度曲线 高尔顿板 11 总体密度曲线 0 Y X 导入 产品尺寸的总体密度曲线 就是或近似地是以下函数的图象： 1 、正态曲线的定义： 函数 式中的实数 μ 、 σ(σ>0) 是参数，分别表示 总体的平均数与标准差，称 f( x) 的图象称为 正态曲线 c d a b 平均数 X Y 若用 X 表示落下的小球第 1 次与高尔顿板底部接触时的坐标 , 则 X 是一个随机变量 .X 落在区间 (a,b] 的概率为 : 2. 正态分布的定义 : 如果对于任何实数 aμ 时 , 曲线下降 . 并且当曲线向左、右两边无限延伸时 , 以 x 轴为渐近线 , 向它无限靠近 . 3 、正态曲线的性质 动画 例 3 、把一个正态曲线 a 沿着横轴方向向右移动 2 个单位，得到新的一条曲线 b 。下列说法中不正确的是（ ） A. 曲线 b 仍然是正态曲线； B. 曲线 a 和曲线 b 的最高点的纵坐标相等 ; C. 以曲线 b 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线 a 为概率密度曲线的总体的期望大 2; D. 以曲线 b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 a 为概率密度曲线的总体的方差大 2 。 C 正态曲线下的面积规律 X 轴与正态曲线所夹面积恒等于 1 。 对称区域面积相等。 S (- , - X ) S ( X ,  ) ＝ S(- ,-X)  正态曲线下的面积规律 对称区域面积相等。 S (- x 1 , - x 2 ) - x 1 - x 2 x 2 x 1 S ( x 1 ,x 2 )= S (- x 2 ,-x 1 )  4 、特殊区间的概率 : m - a m + a x =μ 若 X~N , 则对于任何实数 a>0, 概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小 , 落在区间 的概率越大，即 X 集中在 周围概率越大。 特别地有 我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有 4.6 ％，在 以外取值的概率只有 0.3 ％。 由于这些概率值很小（一般不超过 5 ％ ），通常称这些情况发生为 小概率事件 。 例 4 、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正态分布，即 ~N(90,100). （ 1 ）试求考试成绩 位于区间 (70,110) 上的概率是多少？ （ 2 ）若这次考试共有 2000 名考生，试估计考试成绩在 (80,100) 间的考生大约有多少人？ 练习： 1 、已知一次考试共有 60 名同学参加，考生的成绩 X~ ，据此估计，大约应有 57 人的分数在下列哪个区间内？（ ） (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115] C 2 、已知 X~N (0,1) ，则 X 在区间 内取值的概率等于（ ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3 、设离散型随机变量 X~N(0,1), 则 = , = . 4 、若 X~N(5,1), 求 P(6