2018届二轮复习空间几何体的三视图及表面积和体积的计算问题课件文（全国通用） 39页

第 1 讲　空间几何体的三视图及表面积和体积的计算问题 高考定位　 1. 三视图的识别和简单应用； 2. 简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问 . 真 题 感 悟 答案　 A 2. (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 ( 　　 ) A.90π B.63π C.42π D.36π 解析　法一 　 ( 割补法 ) 由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示 . 答案　 B 3. (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知圆柱的高为 1 ，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ( 　　 ) 答案　 B 4. (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知三棱锥 S － ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径 . 若平面 SCA ⊥ 平面 SCB ， SA ＝ AC ， SB ＝ BC ，三棱锥 S － ABC 的体积为 9 ，则球 O 的表面积为 ________. 36π 考 点 整 合 1. 空间几何体的三视图 (1) 几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等 . (2) 由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体 . 2. 空间几何体的两组常用公式 热点一　空间几何体的三视图与直观图 【例 1 】 　 (1) “ 牟合方盖 ” 是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体 . 它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合 ( 牟合 ) 在一起的方形伞 ( 方盖 ). 其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线 . 当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是 ( 　　 ) (2) (2017· 泰安模拟 ) 某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于 ( 　　 ) 答案　 (1)B 　 (2)C 探究提高　 1. 由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认 . 二要熟悉常见几何体的三视图 . 2. 由三视图还原到直观图的思路 (1) 根据俯视图确定几何体的底面 . (2) 根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置 . (3) 确定几何体的直观图形状 . 【训练 1 】 (1) (2017· 兰州模拟 ) 如图，在底面边长为 1 ，高为 2 的正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 P 是平面 A 1 B 1 C 1 D 1 内一点，则三棱锥 P － BCD 的正视图与侧视图的面积之和为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2) (2016· 天津卷 ) 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为 ( 　　 ) 解析　 (1) 设点 P 在平面 A 1 ADD 1 的射影为 P ′ ，在平面 C 1 CDD 1 的射影为 P ″ ，如图所示 . (2) 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图 ① ，故其侧视图为图 ② . 答案　 (1)B 　 (2)B 热点二　几何体的表面积与体积 命题角度 1 　空间几何体的表面积 【例 2 － 1 】 　 (1) (2016· 全国 Ⅱ 卷 ) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( 　　 ) A.20π B.24π C.28π D.32π (2) (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2 ，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 ( 　　 ) A.10 B.12 C.14 D.16 答案　 (1)C 　 (2)B 探究提高　 1. 由几何体的三视图求其表面积： (1) 关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小 .(2) 还原几何体的直观图，套用相应的面积公式 . 2.(1) 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 . (2) 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 . 探究提高　 1. 求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上 . 2. 求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解 . 【训练 3 】 (1) (2016· 山东卷 ) 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示 . 则该几何体的体积为 ( 　　 ) (2) (2017· 北京卷 ) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( 　　 ) A.60 B.30 C.20 D.10 答案　 (1)C 　 (2)D 解析　 由 AB ⊥ BC ， AB ＝ 6 ， BC ＝ 8 ，得 AC ＝ 10. 要使球的体积 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面 △ ABC 的内切圆的半径为 r . 答案　 B 【 迁移探究 】　若本例中的条件变为 “ 直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上 ” ，若 AB ＝ 3 ， AC ＝ 4 ， AB ⊥ AC ， AA 1 ＝ 12 ，求球 O 的表面积 . 探究提高　 1. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接 . 球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或 “ 切点 ” 、 “ 接点 ” 作出截面图，把空间问题化归为平面问题 . 2. 若球面上四点 P ， A ， B ， C 中 PA ， PB ， PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题 . 【训练 4 】 (2017· 济南一中月考 ) 已知 A ， B 是球 O 的球面上两点， ∠ AOB ＝ 90° ， C 为该球面上的动点 . 若三棱锥 O － ABC 体积的最大值为 36 ，则球 O 的表面积为 ( 　　 ) A.36π B.64π C.144π D.256π 答案　 C 1. 求解几何体的表面积或体积 (1) 对于规则几何体，可直接利用公式计算 . (2) 对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解 . (3) 求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用 . (4) 求解几何体的表面积时要注意 S 表 ＝ S 侧 ＋ S 底 .