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- 2021-06-30 发布
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一.平行线等分线段定理
教学目标
1.掌握平行线等分线段定理及推论,认识它的变式图形.
2.熟练掌握任意等分线段的方法.
3.培养化归的思想。运动联系的观点及“特殊——一般——特殊”的认识事物的方法.
教学重点和难点
重点是平行线等分线段定理及证明;
难点是平行线等分线段定理的证明和灵活运用.
教学过程设计
一、从特殊到一般猜想结论
1.复习提问,学生口答.
(1)如图4-77,在△ABC中,AM=MB,MD //BC,DE//AB.求证:AD = DC.
说明:
①应用平行四边形和三角形全等的知识进行证明.
②题中条件DE//AB与结论没有必然联系,可看成是证明时所添加的辅助线,删去不影响结论的成立,即得到第(2)题.
(2)如图 4-78,在△ABC中,AM= MB,WD//BC,则AD=DC.
教法:
①引导学生用语言叙述该命题.
若三角形中一边的平行直线把它的第二边截成两条相等线段,那么它也把第三边边截成两条相等线段.
②对结论进行引伸:若把两平行直线换成一组平行直线,是否还有这种性质?
二、用化归、特殊化的方法及运动的观点学习定理
1. 用化归的方法证明定理.
以三条平行线与被截的两条直线相交成梯形为例来证明定理.
已知:如图4-79(a),l1∥l2∥l3,AB=BC.求证:A1B1=B1C1.
分析:由于三条平行线与被截的两条直线相交成梯形,怎样利用梯形中常用梯形,怎样利用梯形中常用的辅助线,将梯形分割化归为大家熟悉的三角形和平行四边形去解决?
方法一如图4-79(b),构造基本图形4-78,过Al作AC的平行线交j2于D,交j3于E,利用复习题(1)的方法来证明.
方法二如图479(c),构造基本图形4-79(d),过BI作EF//AC分别交j1,j3于E,F,
利用三角形全等和平行四边形的知识进行证明.
2.用运动的观点掌握定理的变式图形.
(l)当三条平行线与被截的两直线相交不构成梯形时,以上结论是否成立?教师制作教具,演示AlC1;所在直线运动的各种状态(见图480),让学生观察结论,并总结:可用类似的方法来证明.
说明:
(1)让学生认识到被平行线组(每相邻两条的距离都相等的平行线组)所截的两条直线的相对位置不影响定理的结论.
(2)强调图 4-80(c)中截得的 A1B1= B1C1,与 AC与A1C1的交点 D无关,让学生认清定理的基本图形结构.
(3)以上结论和证明方法对“一组平行线”多于三条的情形同样适用.
3.用特殊化的方法研究推论.
对定理的两种特殊情况,即图4-80(a)、图4-80(b)分解出被截的两条直线与平行组相交构成的梯形、三角形,就得到了定理在梯形和三角形中的特例,得到推论1和推论2.引导学生叙述两种情形下的特殊结论,画图并写出数学表达式如下:
推论1经过梯形一腰的中点与底边平行的直线必平分另一腰.
在图4-81中,∵梯形ABCD中,AD//BC,AE=EB,EF//BC,∴DF=FC.
推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
在图 4-82中,∵ △ABC中, AE=EB, EF//BC,∴AF=FC.
让学生熟记基本图形图4-81、图4-82的结构特点以及它们所包含的重要结论,是灵活运用它们解决问题的关键.
三、运用定理解决问题
1.n等分任意一已知线段的作图.
例1已知:如图4-83,线段AB.求作线段AB的五等分点.
分析:引导学生推广图4-82,构造定理的基本图形,进行作图和证明,强调平行线组要分别经过点A和点B.
2.分解或构造基本图形,应用定理及推论证明.
例2(l)如图4-84 M,N分别为□ABCD的边AB,CD的中点,CM交 BD于 E,AN交BD于F,求证: BE=EF=FD.
(2)如图 4-85. AB⊥j于B. CD⊥j于 C,E为 AD中点.求
证:△EBC是等腰三角形.
教师指导:引导学生先分析图中存在哪些基本图形,然后怎样利用它们的结论解题.
例3(选用)(1)如图4-86,CB⊥AB,DA⊥AB,M为CD中点.求证:∠MAB=∠MBA.
(2)如图4-87,E为□ABCD对角线的交点,过点A,B,C,D,E分别向直线j引垂线,垂足分别为A’,B’,C’,D’,E’.图中能分解出几个基本图形图4-81?j上的线段之间有何等量关系?
四、师生共同小结
1.平行线等分线段定理及两个推论的内容及证明方法.
2.怎样n等分一条已知线段?
3.指导学生学习方法:利用化归思想证明问题;利用“特殊—一般~特殊”的方法研究问题;利用运动的思维方法将问题推广;利用分解,构造基本图形的方法灵活运用定理.
五、作业
课堂教学设计说明
本教学过程设计需1课时完成.
1. 利用复习题起到两个作用:(1)研究定理的特殊情况,让学生从特殊到一般接受理;(2)启发证明思路,准备定理所用的基本图形,分散难点.
2.证明定理的过程,实际上是从特殊——三条平行线,到一般——一组平行线,按照从定理的标准图形(图4-80(a))到变式图形(图4-80(b)-(e),分别证明或说明.这样处理层层深入,符合学生的认知规律,逻辑性较强.
3.本节的两个推论实际上是三角形、梯形的中位线的判定定理,有着非常广泛的应用.因
此课堂上要求学生不仅会用语言叙述它们,还要求熟练掌握它们的基本图形和数学表达式,并通过两个小题进行及时巩固.
4.定理还可用以下方式引入:
(1)利用坐标黑板提出问题(图4-88)一组平行
直线j1,j2,j3,j4…分别被直线m,n所截.若将m截得线段AB=BC=CD,那么将 n截得的线段A’B’,B’C’,C’D’是否相等?
(2)得出猜想后,证明上述猜想的最简单情况,即三条平行直线j1,j2,j3.引导学生证明时,要强调两点:
①证明线段相等的基本方法之一是化归为证三角形全等.
②利用平行四边形的性质平移线段以构造全等三角形.
(3)利用运动观点掌握定理的变式图形(图4-80).
(4)利用特殊化的方法得出推论2,推论1.
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