数学卷·2019届江苏省扬州中学高二10月月考（2017-10） 7页

扬州中学2017-2018年度上学期高二年级阶段测试 ‎ 数 学 2017-10-7‎ 一、填空题（每小题5分，共14小题）‎ ‎1. 空间中，点（2,0,1）位于 平面上（填“xOy”“yOz”或“xOz”）‎ ‎2. 椭圆的离心率是 ‎ ‎3.已知两点A（0,10），B（a，-5）之间的距离为17，则实数a的值为 ‎ ‎4. 过点且与直线平行的直线方程是 ‎ ‎5.圆与圆相交所得的公共弦所在直线方程为 ‎ ‎6. 已知点A（1，3）关于直线l的对称点为B(-5,1)，则直线l的方程为 ‎ ‎7已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 ‎ ‎8. 椭圆上横坐标为2的点到右焦点的距离为 ‎ ‎9. 直线截圆所得弦长等于4，则以|a|、|b|、|c|为边长的三角形一定是 ．‎ ‎10. 若直线l：y=kx经过点，则直线l的倾斜角为α = ．‎ ‎11. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的标准方程为 ．‎ ‎12. 已知圆，直线l：与圆交于点A,B（异于原点O），直线AO、直线l与直线BO的斜率依次成等比数列，则k= ‎ ‎13. 已知椭圆C: 的左右焦点分别为，,点P在椭圆C 上，线段与圆： 相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是______________‎ ‎14.过椭圆C:上任意一点作一半径为r的圆M，过原点O向圆M作两条切线，若两条切线的斜率之积为定值，则半径 ‎ 二、解答题（共6大题，分值14分+14分+14分+16分+16分+16分）‎ ‎15.已知圆C方程为。‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若直线与圆C相切，求m的值。‎ ‎16. 如图，已知等腰直角三角形APB的一条直角边AP在轴上，A点位于轴的下方，B点位于轴的右方，斜边AB的长为，且A、B两点在椭圆上。‎ ‎（1）若点，求椭圆方程；‎ ‎（2）若，求A、B两点在椭圆C上时的取值范围。‎ ‎17. 已知两条直线，，求分别满足下列条件的a,b的值：‎ ‎（1）直线过点（-3，-1），并且直线与直线垂直；‎ ‎（2）直线与直线平行，并且坐标原点到的距离相等。‎ ‎18.如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点，．‎ ‎（1）若直线平行于，与圆相交于，两点，，求直线的方程；‎ ‎（2）在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．‎ ‎19. 某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形为中心在圆心的矩形，现计划将矩形区域设计为可推拉的窗口.‎ ‎（1）若窗口为正方形，且面积大于（木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；‎ ‎（2）若四根木条总长为，求窗口面积的最大值.‎ ‎20. 已知焦距为2的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为A，直线y=与椭圆C交于P、Q两点（P在Q的左边），Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N．‎ ‎（i）若直线l过原点且与坐标轴不重合，E是直线3x+3y﹣2=0上一点，‎ 且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，求k的值 ‎（ii）若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM，点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．‎ ‎10月月考答案 ‎1. xOz 2. 3. 4. ‎ ‎5. 6. 7 8. ‎ ‎9. 直角三角形 10. 11. 12. ‎ ‎13. 14. ‎ ‎15. 解：（1） 7分 ‎ （2） 7分 ‎16.解：（1） 7分 ‎（2） 7分 ‎17. 解：（1） 7分 ‎ （2）或 7分 ‎18. （1）圆的标准方程为，所以圆心，半径为．‎ 因为，，，所以直线的斜率为，‎ 设直线的方程为， ‎ 则圆心到直线的距离为．‎ 因为， ‎ 而，所以， ‎ 解得或，‎ 故直线的方程为或． 8分 ‎（2）假设圆上存在点，设，则，‎ ‎，‎ ‎ 即，即，‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以圆与圆相交，‎ ‎ 所以点的个数为． 8分 ‎19. 解（1）设一根木条长为，则正方形的边长为 因为，所以，即 又因为四根木条将圆分成9个区域，所以 所以; 7分 ‎（2）设所在木条长为，所在木条长为 由条件，，即 因为，所以，从而 由于，‎ 因为 当且仅当时，‎ 答：窗口面积的最大值为 9分 ‎20. 解：（1）由题意可得2c=2，即c=，‎ 直线y=代入椭圆方程可得+=1，‎ 解得x=±a，‎ 可得|AB|=a﹣a，‎ 由四边形ABPQ是平行四边形，‎ 可得|AB|=|PQ|=2a，‎ 解得b=，a==2，‎ 可得椭圆的方程为+=1； 5分 ‎（2）（i）由直线y=kx代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2=4，‎ 解得x=±，‎ 可设M（，），‎ 由△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，‎ 可设E（m，﹣m），E到直线kx﹣y=0的距离为d=，‎ 即有OE⊥MN，|OM|=d，‎ 即为=﹣， =，‎ 由m=，代入第二式，化简整理可得7k2﹣18k+8=0，‎ 解得k=2或； 5分 ‎（ii）证明：由M（﹣2，0），可得直线MN的方程为y=k（x+2），‎ 代入椭圆方程可得，（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，‎ 可得﹣2+xN=﹣，‎ 解得xN=，‎ yN=k（xN+2）=，即N（，），‎ 设G（t，0），（t≠﹣2），由题意可得D（2，4k），A（2，0），‎ 以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，‎ 可得AN⊥DG，‎ 即有kAN•kDG=﹣1，‎ 即为•=﹣1，‎ 解得t=0．‎ 故点G是定点，即为原点（0，0）． 6分