四川省雅安市高中2020届高三第三次诊断数学（理）试题 10页

雅安市高中2017级第三次诊断性考试 数学试题（理科）‎ ‎（本试卷满分150分，答题时间120分钟）‎ 注意事项：‎ ‎ 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上,并检查条形码粘贴是否正确.‎ ‎ 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ ‎3.考试结束后，将答题卡收回.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则 A. B. C. D.‎ ‎2.复数满足，其中是虚数单位，则 A. B. C. D.‎ ‎3.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，测得的数据如下,根据下表可得回归方程，则实数的值为 零件数（个）‎ 加工时间（分钟）‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ A．34 B．‎35 C．36 D．37‎ ‎4..设不为1的实数，，满足：，则 A． B． C． D．‎ ‎5.如图所示的图象对应的函数解析式可能是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎6.已知平面平面，是内的一条直线，是内的一条直线，且，则 A. B. C. 或 D. 且 ‎7.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“‎ 割圆术”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出n的值为.(参考数据：）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知非零向量、满足，且，则与的夹角为 A． B． C． D．‎ ‎9.已知直线被圆M：所截得的弦长为，且圆N的方程为,则圆M与圆N的位置关系为 A. 相离 B. 相交 C.外切 D. 内切 ‎10.函数在处取得最大值,则的值为 A.1 B‎.0 C.-1 D.‎ ‎11.已知函数，函数是最小正周期为2的偶函数，且当时，.若函数有3个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎12.已知A,B,C是双曲线 上的三个点,直线AB经过原点O,AC经过右焦点F,若 ，且 ，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 展开式中的系数为10，则实数等于______（用数字作答）‎ ‎14.的内角、、的对边分别为、、，若，则=__________．‎ ‎15.已知四棱锥，，，，，，.若四面体 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_______．‎ ‎16.设点为函数与的图像的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为_______．‎ 三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(12分)某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，记综合评分为80分及以上的花苗为优质花苗.‎ ‎（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块实验地随机抽取3株花苗，求所抽取的花苗中优质花苗数的分布列和数学期望；‎ P(K2>k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎（2）填写下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关.‎ 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 ‎20‎ 乙培育法 ‎10‎ 合计 ‎（参考公式：，其中）‎ ‎18.(12分) 已知数列,是一个等差数列,且,,数列是各项均为正数的等比数列,且满足:.‎ ‎（1）求数列与的通项公式;‎ ‎（2）设数列满足，其前n项和为 求证:‎ ‎19.(12分)如图，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，平面，平面．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求二面角的大小．‎ ‎20.(12分)己知函数，它的导函数为．‎ ‎（1）当时，求的零点； （2）若函数存在极值点，求的取值范围．‎ ‎21.(12分)在平面直角坐标系中，已知点M（-2,0），N（2,0），动点P满足直线MP与直线NP的斜率之积为.记动点P的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；‎ ‎（2）过点(,0)作直线与曲线C交于不同的两点A,B,试问在x轴上是否存在定点Q,使得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答.‎ 注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22．(10分)[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. ‎ ‎（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且均异于原点，且，求的值.‎ ‎23.(10分)[选修4—5：不等式选讲]‎ 已知. ‎ ‎（1）在时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.‎ 雅安市高中2017级第三次诊断性考试 数学试题（理科）参考解答及评分意见 一、 选择题（每小题5分，共60分）‎ DACBA CBCBA BD 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、2 14、 15、 16、‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17（12分）‎ 解：（1）由频率分布直方图可知,优质花苗的频率为,即概率为.‎ 设所抽取的花苗为优质花苗的株数为,则,于是 ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 其分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以,所抽取的花苗为优质花苗的数学期望 ‎（2）频率分布直方图,优质花苗的频率为,则样本中优质花苗的株数为60株,列联表如下表所示：‎ 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 乙培育法 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 可得.‎ 所以,有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系 ‎18（12分）‎ 解：（1）为等差数列,设公差为,‎ ‎ ……………………….3分 为等比数列, ,设公比为,则,‎ ‎ ‎ ‎ …………………………..6分 ‎（2）由（1）得=‎ ①‎ ‎②‎ 由①-②得: ‎ ‎ ………………………11分 ‎.....................................................................................12分 ‎19（12分）‎ 解：（1）在菱形ABCD中，AC⊥BD………………………2分 ‎∵FD⊥平面ABCD，∴FD⊥AC ‎ 又∵；∴AC⊥平面BDF……………………4分 而； ∴平面ACF⊥平面BDF……………5分 ‎(2)取BC中点O，连接EO，OD ‎∵△BCE为正三角形，∴EO⊥BC 又平面BCE⊥平面ABCD且交线为BC ‎∴EO⊥平面ABCD……………………..............………7分 ‎∵FD⊥ABCD，∴EO∥FD ‎∵∥平面， ∴∥OD ‎∴四边形EODF为平行四边形； ∴FD=EO= ‎ 又在正三角形ABC中，OA⊥BC 以OB、OA、OE所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系 B（1，0，0），C（-1，0，0），F（-2，，）……………………8分 设平面BCF的一个法向量为，， ，令y=1，则z=-1，x=0，得 平面BCD的一个法向量为……………............……….10分 设二面角A-BC-F的平面角为，则，‎ 所以二面角A-BC-F为45°；…………............................12分 ‎20（12分）‎ ‎（1）的定义域为，‎ 当时，，．.............................2分 易知为上的增函数，........................................3分 又，所以是的零点．............................5分 ‎（2），存在极值点，...................6分 所以有解 得设，，............................9分 令，..................................................................................10分 上g（x)减，上g(x)增 ‎,,.‎ 所以 又当时，即在上是增函数，所以没有极值点.‎ 所以..........................................................................................12分 ‎21（12分）‎ ‎（1）由题设可得 ，...........................1分 则 化简得 .....................................................................3分 所有C为中心在坐标原点，焦点在X轴上的椭圆，不含左右顶点。........4分 ‎(2)存在定点,满足直线QA与直线QB恰好关于x轴对称. .....5分 由题设知，直线l的斜率不为0，‎ 设直线的方程为x+my=0,‎ 与椭圆C的方程联立得 整理得 设A(x1,y1),B(x2,y2),定点Q(t,0)(依题意t≠x1,t≠x2).‎ 由根与系数的关系可得, ............................7分 直线QA与直线QB恰好关于x轴对称,则直线QA与直线QB的斜率互为相反数,‎ 所以即 .........................................9分 又 所以整理得,‎ ‎ ............................................................................10分 从而可得 即, ‎ 所以当,即时,直线QA与直线QB恰好关于x轴对称. ...........11分 所以，在轴上存在点,满足直线QA与直线QB恰好关于x轴对称....12分 ‎22（10分）‎ ‎（1）由消去参数可得普通方程为，…..........…2分 ‎∵，∴，由 ，得曲线的直角坐标方程为；.....................................................……5分 ‎（2）由（1）得曲线，其极坐标方程为，….........…6分 由题意设，则，……...................…8分 ‎∴，∴，∵，∴. …....……10分 ‎23（10分）‎ 解：（1）在时，. …................................…1分 在时，，∴； ‎ 在时，，，∴无解； ‎ 在时，，，∴.….........…4分 综上可知：不等式的解集为.….....................…5分 ‎（2）∵恒成立，……6分 而，或，‎ 故只需恒成立，或恒成立，…..................…9分 ‎∴或.∴的取值为或.……................................10分