2020届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学密卷二 14页

‎2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷二 数学Ⅰ 参考公式：‎ 样本数据，，…，的方差，其中 柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高.‎ 锥体的体积，其中是椎体的底面积，是椎体的高.‎ 一．填空题：本题共14小题.请把答案填写在答题卡相应位置上 ‎1.集合，，则________.‎ ‎2.复数（为虚数单位），则共轭复数的虚部________.‎ ‎3.已知向量，满足，，，则________.‎ ‎4.在等差数列中，为其前项的和，已知，且，若取得最大值，则________.‎ ‎5.甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以3：1获胜的概率是________.‎ ‎6.已知A，B，P是双曲线上的不同三点，且（点为坐标原点），若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率等于________.‎ ‎7.设常数，如果的二项展开式中项的系数为-80，那么________.‎ ‎8.奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是________.‎ ‎9.已知两点A（-1，0），B（1，0），若直线上存在点P满足 ‎，则实数的取值范围是________.‎ ‎10.如图，正方体的棱长为1，中心为，，，则四面体OEBF的体积为________.‎ ‎11.已知，，则________.‎ ‎12.是内一点，且，和的面积分别是 和，则________.‎ ‎13.函数是定义R在上的偶函数，且满足，，则曲线与的交点个数为________.‎ ‎14.A，B分别为：和：的点，则的最小值为________.‎ 二.解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.中，内角A，B，C的对边分别为，，.已知.‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值.‎ ‎16.如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB的中点.将沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示.‎ ‎（Ⅰ）求证：DE⊥平面PCF；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PCF；‎ ‎（Ⅲ）在线段PD、BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM//平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由.‎ ‎17.如图，圆O是一半径为20米的圆形草坪，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A，B两点在上，A，B，C，D恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A，B，C，D四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到A，B，C，D四点线路OA，OB，OC，OD.‎ ‎（Ⅰ）若正方形边长为20米，求广场的面积；‎ ‎（Ⅱ）求铺设的4条线路 OA，OB，OC，OD总长度的最小值.‎ ‎18.已知抛物线C：，过点（2，3）的直线交C于A，B两点，抛物线C在点A，B处的切线交于点P.‎ ‎（Ⅰ）当点A的横坐标为4时，求点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）若Q是抛物线C上的动点，当取最小值时，求点Q的坐标及直线的方程.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若函数只有两个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设函数的两个零点为，，且，求证：.‎ ‎20.记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是的“极差数列”.‎ ‎（Ⅰ）若，求的前项和；‎ ‎（Ⅱ）证明：的“极差数列”仍是；‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21【选做题】：本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.[选修4-2：矩阵与变换]‎ 已知矩阵，，求二阶方阵X，满足AX=B.‎ B.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，直线：（为参数），曲线：（为参数），其中.若曲线C上所有点均在直线的右上方，求的取值范围.‎ C.[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知正数，，满足.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求的最小值.‎ ‎【必做题】第22题、第23题.‎ 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22.在如图所示的四棱锥中，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD，∠DAB=60°，FC⊥平面 ABCD，CB=CD=CF.‎ ‎（Ⅰ）求直线DF与面BFC所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎23.对于正整数，如果个整数，，…，满足，‎ 且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.‎ ‎（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；‎ ‎（Ⅱ）对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值.‎ 参考答案：‎ ‎2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷二 数学Ⅰ答案 一．填空题 ‎1. 2.-1 3. 4.20 5.0.2592 6. 7.-2 8.‎ ‎9. 10. 11. 12. 13.10 14.‎ 二、解答题 ‎15.解：（Ⅰ）由 ‎.‎ 由，又∵，∴.‎ 即角C的大小.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎∵‎ ‎∴当时，的最大值为.‎ ‎16.解：（Ⅰ）‎ 在菱形AECD中，由条件，知：DE⊥PF，DE⊥AF，‎ ‎∴DE⊥平面PCF ‎（Ⅱ）四边形AECD为菱形，∴AE=DC，AE//DC；‎ 又∵点E为AB的中点，∴EB= DC，EB// DC，‎ 即四边形DEBC为平行四边形.‎ 由（Ⅰ）知，DE⊥平面PCF，∴BC⊥平面PCF.‎ 又∵BC面PCB ‎∴平面PBC⊥平面PCF.‎ ‎（Ⅲ）存在满足条件的M，N，且M，N分别是PD，BC的中点.‎ 如图，分别取PD，BC的中点M，N，连接 MF，CM，EN，PN.‎ ‎∵四边形DEBC为平行四边形，‎ ‎∴EF//CN，EF=BC=CN，∴FC//EN 在中，M，F分别是PD，DE的中点，MF//PE 又∵EN，PE面PEN，，ME，CF面CMF，‎ ‎∴平面CFM//平面PEN.‎ ‎17.解：（Ⅰ）‎ 连接AB，显然正方形ABCD的面积为.‎ ‎∵OA=OB=AB=20，∴为正三角形，则，‎ 故扇形AOB的面积为.‎ 又∵的面积.‎ ‎∴弓形面积为.‎ 故广场面积为平方米.‎ ‎（Ⅱ）过点O作OK⊥CD，垂足为K，过点O作OH⊥AD（或其延长线），垂足为H.‎ 设，则，.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 当时，‎ 故铺设的4条线路 OA，OB，OC，OD 总长度的最小值米.‎ ‎18.解：（Ⅰ）设，，当时，.‎ 此时直线AB的方程为：‎ AB直线方程与抛物线方程联立，得：‎ 由韦达定理，，∴，.‎ 由，得：.∴，.‎ AP直线方程： ①‎ BP直线方程： ②‎ 联立①②，得，.‎ 故点P的坐标（1，-2）.‎ ‎（Ⅱ）设，，AB直线方程：‎ AB直线方程与抛物线方程联立，得：‎ 由韦达定理，‎ AP直线方程： ③‎ BP直线方程： ④‎ 联立③④，得，.‎ 所以点P的轨迹方程：.‎ 设，则 当时，取最小值，此时.‎ ‎，得.‎ 此时，AB直线方程：‎ 故点Q的坐标（2，1），直线的方程.‎ ‎19.解：（Ⅰ）出题意知，，得，‎ 令，，得 ‎∴在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减..‎ g（1）=0，当x∈（e，+∞），g（x）>0.‎ 故.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨设，‎ ‎；‎ 只要证即可.‎ 令，则.‎ 则.‎ 令.‎ ‎.‎ ‎∴在（1，+∞）单调递增，，得证.‎ ‎∴‎ ‎20.解：（Ⅰ）因为为递增数列，故，.‎ ‎∴‎ ‎∴的前项和为.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 又因为，‎ ‎∴，‎ 所以的“极差数列”仍是.‎ ‎21【选做题】‎ A.[选修4-2：矩阵与变换]‎ 解：由题意，得.‎ ‎∴.‎ 由，得，所以.‎ 所求的二阶方阵.‎ B.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 解：直线的普通方程：.‎ 由题意，，‎ ‎∴，解得.‎ C.[选修4-5：不等式选讲]‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）‎ 当且仅当时，“=”成立 ‎∵∴，.‎ 当，时，‎ 故的最小值为6.‎ ‎【必做题】‎ ‎22.解：‎ 方法一：定义法 ‎（Ⅰ）过点C作CG⊥BC交BD于点G，过点G作GE//DF交BF于点E，连接CE.‎ 故直线GE与平面BFC所成的角即为直线DF与平面BFC所成的角.‎ ‎∵FC⊥平面 ABCD，FC平面FCB ‎∴平面ABCD⊥平面FCB 又∵‎ 故直线GE与平面BFC所成的角.‎ 设BC=DC=CF=.‎ 在中，∵BC=CD，‎ ‎∴，.‎ 在中，，；‎ 在中，.‎ 在中，.‎ 故直线DF与平面BFC所成的角的正弦值.‎ 方法二：空间向量（略）‎ ‎（Ⅱ）方法一：找平面角 由（Ⅰ）知，CG⊥平面FCB，过点C作CH⊥BF交BF于点H，‎ 连接GH，显然H是BF的中点.‎ ‎∴CH⊥BF，GH⊥BF.‎ 即为二面角的平面角.‎ 在中，；‎ 在中，；‎ 在中，；‎ ‎.‎ 即二面角的平面角的余弦值.‎ 方法二：空间向量（略）‎ ‎23.解：解：（Ⅰ）（1，1，1，1），（1，1，2），（1，3），（2，2），（4）.‎ ‎（Ⅱ）由题意，知，且，‎ 得，即.‎ ‎∴当是偶数时，的最大值是 ‎（此时，是的一个“正整数分拆”）；‎ 当是奇数时，的最大值是 ‎（此时，是的一个“正整数分拆）.‎