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- 2021-06-30 发布
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大庆一中2018-2019学年高二年级下学期第一次阶段考试
数学试卷
一、 选择题:(每小题5分满分60分)
1. 命题“若a>b,则a2>b2”的逆否命题是 ( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
2. “m=-1”是“直线l1:mx+(2m-1)y+1=0与直线l2:3x+my+3=0垂直”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 执行如右图所示的程序框图,若输出的S=2,则判断框内可以填入( )
A. B. C. D.
4. 下列说法正确的是( )
A. “若,则”的否命题是“若,则”
B. “若,则”是真命题
C. ,成立
D. 为等比数列,则“”是“”的既不充分也不必要条件
5. 某校高二某班共有学生60人,现根据座号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为5的样本,已知3号,15号,45号,53号同学在样本中,那么样本中还有一个同学座号不能是( )
A. 26 B. 31 C. 36 D. 37
6. 在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7. 已知变量,之间的线性回归方程为,且变量,之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误的是( )
6
8
10
12
6
3
2
A. 变量x,y之间呈现负相关关系 B. 可以预测,当时,
C. D. 由表格数据知,该回归直线必过点
8.设不等式组,表示的平面区域为Ω,在区域Ω内任取一点P(x,y),则P点的坐标满足不等式的概率为 ( )
A. B. C. D.
9. 正四棱锥S-ABCD的侧棱长为,底边长为,E是SA的中点,则异面直线BE和SC所成的角等于( )
A. B. C. D.
10.P为双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且,直线PF2交y轴于点A,则△AF1P的内切圆半径为( )
A. 2 B. 3 C. D.
11. 己知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F作互相垂直的两直线AB,CD与抛物线分别相交于A,B以及C,D若,则四边形ACBD的面积的最小值为( )
A. 32 B. 30 C. 18 D. 36
12. 已知椭圆,与双曲线具有相同焦点、,且在第一象限交于点P,椭圆与双曲线的离心率分别为、,若,则的最小值是
A. B. C. D.
二.填空题:(每小题5分满分20分)
13.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,则出现向上点数之和小于10的概率是_____________.
14.已知样本7,5,,3,4的平均数是5,则此样本的方差为
15.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点,与它的准线交于点P,则= ______ .
16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点E,F,G分别为棱AB,AA1,C1D1的中点.下列结论中,正确结论的序号是____________.
①过E,F,G三点作正方体的截面,所得截面为正六边形;
②B1D1∥平面EFG;
③BD1⊥平面ACB1;
④异面直线EF与BD1所成角的正切值为;
⑤四面体ACB1D1的体积等于
三、解答题:(满分70分)
17.(满分10分)命题p:函数有意义,命题q:实数x满足
(1)当且为真,求实数x的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
18.(满分12分)为了了解“中国好声音”在大众中的熟知度,随机对15~65岁的人群抽样了n人回答有关问题,统计结果如下图表.
组号
分组
回答
正确
的人数
回答正确
的人数占本
组的频率
第1组
[15,25)
a
0.5
第2组
[25,35)
18
x
第3组
[35,45)
b
0.9
第4组
[45,55)
9
0.36
第5组
[55,65]
3
y
(1)分别求出a,b,x,y的值;
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
19.(满分12分)如图,在多面体ABCDEF中,ABCD是正方形,平面ABCD,平面ABCD,,点M为棱AE的中点.
求证:平面平面EFC;
若,求直线AE与平面BDM所成的角的正弦值.
20.(满分12分)抛物线Q:,焦点为F.
若是抛物线内一点,P是抛物线上任意一点,求的最小值;
过F的两条直线,,分别与抛物线交于A、B和C、D四个点,记M、N 分别是线段AB、CD的中点,若,证明:直线MN过定点,并求出这个定点坐标.
21.(满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,∠BAC=∠PAD=∠PCD=90°.
(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;
(2)若AB=AC=PA=3,E为BC的中点,F为棱PB上的点,PD∥平面AEF,求二面角A-DF-E的余弦值
22.(满分12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为A、B,当动点M在定直线x=4上运动时,直线AM、BM分别交椭圆于P、Q两点,求四边形APBQ面积的最大值.
大庆一中高二年级下学期第一次阶段考试
数学答案
一、选择题:
CACB DACA DBAD
二、填空题:
13. 14.2 15. 16. ①③④
三、解答题:
17.解:(1)由-x2+4ax-3a2>0得x2-4ax+3a2<0,即(x-a)(x-3a)<0,其中a>0,
得a<x<3a,a>0,则p:a<x<3a,a>0.
若a=1,则p:1<x<3,由解得2<x<3.即q:2<x<3.
若p∧q为真,则p,q同时为真,即,解得2<x<3,
∴实数x的取值范围(2,3).
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,即q是p的充分不必要条件,
∴即(2,3)是(a,3a)的真子集.
所以,解得1≤a≤2.实数a的取值范围为[1,2].
18.解:(Ⅰ)由频率表中第4组数据可知,第4组总人数为,
再结合频率分布直方图可知n=,
∴a=100×0.01×10×0.5=5,b=100×0.03×10×0.9=27,…
(Ⅱ)因为第2,3,4组回答正确的人数共有54人,
所以利用分层抽样在54人中抽取6人,每组分别抽取的人数为:第2组:人;第3组:人;第4组:人
设第2组2人为:A1,A2;第3组3人为:B1,B2,B3;第4组1人为:C1.
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),
(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1)共15个基本事件,其中恰好没有第3组人共3个基本事件,
∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是:.
19.证明:连结AC,交BD于点N,
为AC的中点,.
平面EFC,平面EFC,
平面EFC.
,DE都垂直底面ABCD,
.
,为平行四边形,
平面EFC,平面EFC,
平面EFC.
又,
平面平面EFC.
解:由已知,平面ABCD,是正方形.
两两垂直,如图,建立空间直角坐标系.
设,则,从而,
,
设平面的一个法向量为,
由得.
令,则,从而.
,
设与平面所成的角为,则,
所以,直线与平面所成角的正弦值为.
20.解:由抛物线定义知,等于P到准线的距离,
的最小值即为点E到准线的距离,等于4.
证明:由,得:,解得,代入,得,
同理,,
,
:,
变形得:,
因为,所以进一步化简得,
所以MN恒过定点.
21.解:(1)证明:∵AB∥CD,PC⊥CD,∴AB⊥PC,
∵AB⊥AC,AC∩PC=C,∴AB⊥平面PAC,
∴AB⊥PA,又∵PA⊥AD,AB∩AD=A,
∴PA⊥平面ABCD,PA⊂平面PAB,
∴平面PAB⊥平面ABCD;
(2)连接BD交AE于点O,连接OF,
∵E为BC的中点,BC∥AD,∴==,
∵PD∥平面AEF,PD⊂平面PBD,
平面AEF∩平面PBD=OF,
∴PD∥OF,∴==,
以AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),D(-3,3,0),
P(0,0,3),E(,,0),F(2,0,1),
设平面ADF的法向量m=(x1,y1,z1),
∵=(2,0,1),=(-3,3,0),
由•m=0,•m=0得取m=(1,1,-2).
设平面DEF的法向量n=(x2,y2,z2),
∵=(,-,0),=(,-,1),
由•n=0,•n=0得取n=(1,3,4).
cos⟨m,n>==-,
∵二面角A-DF-E为钝二面角,∴二面角A-DF-E的余弦值为-.
22.解:(Ⅰ)根据题意,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,则有a=2c,
以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4,则有2ab=4,
又a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=1,
故椭圆C的方程为+=1;
(Ⅱ)由于对称性,可令点M(4,t),其中t>0.
将直线AM的方程y=(x+2)代入椭圆方程+=1,得
(27+t2)x2+4t2x+4t2-108=0,
由xA•xP=,xA=-2得xP=-,则yP=.
再将直线BM的方程y=(x-2)代入椭圆方程+=1得
(3+t2)x2-4t2x+4t2-12=0,
由xB•xQ=,xB=2得xQ=,则yQ=.
故四边形APBQ的面积为S=|AB||yP-yQ|=2|yP-yQ|=2(+)===.
由于λ=≥6,且λ+在[6,+∞)上单调递增,故λ+≥8,
从而,有S=≤6.当且仅当λ=6,即t=3,也就是点M的坐标为(4,3)时,四边形APBQ
的面积取最大值6.