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  • 2021-06-30 发布

2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二寒假开学检测数学(理)试题 Word版

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大庆一中2018-2019学年高二年级下学期第一次阶段考试 数学试卷 一、 选择题:(每小题5分满分60分)‎ ‎1. 命题“若a>b,则a2>b2”的逆否命题是 ( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎2. “m=-1”是“直线l1:mx+(2m-1)y+1=0与直线l2:3x+my+3=0垂直”的( )‎ A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3. 执行如右图所示的程序框图,若输出的S=2,则判断框内可以填入(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 下列说法正确的是(  )‎ A. “若,则”的否命题是“若,则” B. “若,则”是真命题 C. ,成立 D. 为等比数列,则“”是“”的既不充分也不必要条件 ‎5. 某校高二某班共有学生60人,现根据座号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为5的样本,已知3号,15号,45号,53号同学在样本中,那么样本中还有一个同学座号不能是( )‎ A. 26 B. 31 C. 36 D. 37‎ ‎6. 在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知变量,之间的线性回归方程为,且变量,之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误的是(   )‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ A. 变量x,y之间呈现负相关关系 B. 可以预测,当时, C. D. 由表格数据知,该回归直线必过点 ‎8.设不等式组,表示的平面区域为Ω,在区域Ω内任取一点P(x,y),则P点的坐标满足不等式的概率为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 正四棱锥S-ABCD的侧棱长为,底边长为,E是SA的中点,则异面直线BE和SC所成的角等于( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎10.P为双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且,直线PF2交y轴于点A,则△AF1P的内切圆半径为(  )‎ A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎11. 己知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F作互相垂直的两直线AB,CD与抛物线分别相交于A,B以及C,D若,则四边形ACBD的面积的最小值为(     )‎ A. 32 B. 30 C. 18 D. 36‎ ‎12. 已知椭圆,与双曲线具有相同焦点、,且在第一象限交于点P,椭圆与双曲线的离心率分别为、,若,则的最小值是    ‎ A. B. C. D. ‎ 二.填空题:(每小题5分满分20分)‎ ‎13.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,则出现向上点数之和小于10的概率是_____________.‎ ‎14.已知样本7,5,,3,4的平均数是5,则此样本的方差为        ‎ ‎15.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点,与它的准线交于点P,则= ______ .‎ ‎16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点E,F,G分别为棱AB,AA1,C1D1的中点.下列结论中,正确结论的序号是____________. ①过E,F,G三点作正方体的截面,所得截面为正六边形; ②B1D1∥平面EFG; ③BD1⊥平面ACB1; ④异面直线EF与BD1所成角的正切值为; ⑤四面体ACB1D1的体积等于 三、解答题:(满分70分)‎ ‎17.(满分10分)命题p:函数有意义,命题q:实数x满足 (1)当且为真,求实数x的取值范围;‎ ‎(2)若是的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎18.(满分12分)为了了解“中国好声音”在大众中的熟知度,随机对15~65岁的人群抽样了n人回答有关问题,统计结果如下图表.‎ 组号 分组 回答 正确 的人数 回答正确 的人数占本 组的频率 第1组 ‎[15,25)‎ a ‎0.5‎ 第2组 ‎[25,35)‎ ‎18‎ x 第3组 ‎[35,45)‎ b ‎0.9‎ 第4组 ‎[45,55)‎ ‎9‎ ‎0.36‎ 第5组 ‎[55,65]‎ ‎3‎ y ‎(1)分别求出a,b,x,y的值;‎ ‎(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.‎ ‎19.(满分12分)如图,在多面体ABCDEF中,ABCD是正方形,平面ABCD,平面ABCD,,点M为棱AE的中点. 求证:平面平面EFC;‎ 若,求直线AE与平面BDM所成的角的正弦值.‎ ‎20.(满分12分)抛物线Q:,焦点为F. 若是抛物线内一点,P是抛物线上任意一点,求的最小值; 过F的两条直线,,分别与抛物线交于A、B和C、D四个点,记M、N 分别是线段AB、CD的中点,若,证明:直线MN过定点,并求出这个定点坐标.‎ ‎21.(满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,∠BAC=∠PAD=∠PCD=90°.‎ ‎(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;‎ ‎(2)若AB=AC=PA=3,E为BC的中点,F为棱PB上的点,PD∥平面AEF,求二面角A-DF-E的余弦值 ‎22.(满分12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4. (1)求椭圆C的方程; (2)如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为A、B,当动点M在定直线x=4上运动时,直线AM、BM分别交椭圆于P、Q两点,求四边形APBQ面积的最大值.‎ 大庆一中高二年级下学期第一次阶段考试 数学答案 一、选择题:‎ CACB DACA DBAD 二、填空题:‎ ‎13. 14.2 15. 16. ①③④‎ 三、解答题:‎ ‎17.解:(1)由-x2+4ax-3a2>0得x2-4ax+3a2<0,即(x-a)(x-3a)<0,其中a>0, 得a<x<3a,a>0,则p:a<x<3a,a>0. 若a=1,则p:1<x<3,由解得2<x<3.即q:2<x<3. 若p∧q为真,则p,q同时为真,即,解得2<x<3, ∴实数x的取值范围(2,3). (2)若¬p是¬q的充分不必要条件,即q是p的充分不必要条件, ∴即(2,3)是(a,3a)的真子集. 所以,解得1≤a≤2.实数a的取值范围为[1,2].‎ ‎18.解:(Ⅰ)由频率表中第4组数据可知,第4组总人数为, 再结合频率分布直方图可知n=, ∴a=100×0.01×10×0.5=5,b=100×0.03×10×0.9=27,…‎ ‎(Ⅱ)因为第2,3,4组回答正确的人数共有54人, 所以利用分层抽样在54人中抽取6人,每组分别抽取的人数为:第2组:人;第3组:人;第4组:人 设第2组2人为:A1,A2;第3组3人为:B1,B2,B3;第4组1人为:C1. 则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),‎ ‎(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1)共15个基本事件,其中恰好没有第3组人共3个基本事件, ∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是:.‎ ‎19.证明:连结AC,交BD于点N, 为AC的中点,. 平面EFC,平面EFC, 平面EFC. ,DE都垂直底面ABCD, . ,为平行四边形, 平面EFC,平面EFC, 平面EFC. 又, 平面平面EFC. 解:由已知,平面ABCD,是正方形. 两两垂直,如图,建立空间直角坐标系. 设,则,从而, , 设平面的一个法向量为, 由得. 令,则,从而. , 设与平面所成的角为,则, 所以,直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎20.解:由抛物线定义知,等于P到准线的距离, 的最小值即为点E到准线的距离,等于4. ‎ 证明:由,得:,解得,代入,得, 同理,, , :, 变形得:, 因为,所以进一步化简得, 所以MN恒过定点.‎ ‎21.解:(1)证明:∵AB∥CD,PC⊥CD,∴AB⊥PC, ∵AB⊥AC,AC∩PC=C,∴AB⊥平面PAC, ∴AB⊥PA,又∵PA⊥AD,AB∩AD=A, ∴PA⊥平面ABCD,PA⊂平面PAB, ∴平面PAB⊥平面ABCD; (2)连接BD交AE于点O,连接OF, ∵E为BC的中点,BC∥AD,∴==, ∵PD∥平面AEF,PD⊂平面PBD, 平面AEF∩平面PBD=OF, ∴PD∥OF,∴==, 以AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),D(-3,3,0), P(0,0,3),E(,,0),F(2,0,1), 设平面ADF的法向量m=(x1,y1,z1), ∵=(2,0,1),=(-3,3,0), 由•m=0,•m=0得取m=(1,1,-2). 设平面DEF的法向量n=(x2,y2,z2), ‎ ‎∵=(,-,0),=(,-,1), 由•n=0,•n=0得取n=(1,3,4). cos⟨m,n>==-, ∵二面角A-DF-E为钝二面角,∴二面角A-DF-E的余弦值为-. 22.解:(Ⅰ)根据题意,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,则有a=2c, 以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4,则有2ab=4, 又a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=1, 故椭圆C的方程为+=1; (Ⅱ)由于对称性,可令点M(4,t),其中t>0. 将直线AM的方程y=(x+2)代入椭圆方程+=1,得 (27+t2)x2+4t2x+4t2-108=0, 由xA•xP=,xA=-2得xP=-,则yP=. 再将直线BM的方程y=(x-2)代入椭圆方程+=1得 (3+t2)x2-4t2x+4t2-12=0, 由xB•xQ=,xB=2得xQ=,则yQ=. 故四边形APBQ的面积为S=|AB||yP-yQ|=2|yP-yQ|=2(+)===. 由于λ=≥6,且λ+在[6,+∞)上单调递增,故λ+≥8, 从而,有S=≤6.当且仅当λ=6,即t=3,也就是点M的坐标为(4,3)时,四边形APBQ 的面积取最大值6. ‎