2019年高考数学高分突破复习课件专题五 第1讲 29页

第 1 讲　直线与圆 高考定位　 1. 直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点； 2. 考查的主要内容包括求直线 ( 圆 ) 的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题 . 答案 　 A 真 题 感 悟 2 . (2018· 天津卷 ) 在平面直角坐标系中，经过三点 (0 ， 0) ， (1 ， 1) ， (2 ， 0) 的圆的方程为 ________________ . 答案　 x 2 ＋ y 2 － 2 x ＝ 0 答案 　 4π 答案 　 3 考 点 整 合 4 . 直线与圆的位置关系的判定 ( 1) 几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较： d < r  相交； d ＝ r  相切； d > r  相离 . ( 2) 代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 Δ 来讨论位置关系： Δ >0  相交； Δ ＝ 0  相切； Δ <0  相离 . 热点一　直线的方程 【例 1 】 (1) (2018· 惠州三模 ) 直线 l 1 ： (3 ＋ m ) x ＋ 4 y ＝ 5 － 3 m ， l 2 ： 2 x ＋ (5 ＋ m ) y ＝ 8 ，则 “ m ＝－ 1 或 m ＝－ 7” 是 “ l 1 ∥ l 2 ” 的 ( 　　 ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 ( 2) 过点 (1 ， 2) 的直线 l 与两坐标轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，当 △ OAB 的面积最小时，直线 l 的方程为 ( 　　 ) A . 2 x ＋ y － 4 ＝ 0 B . x ＋ 2 y － 5 ＝ 0 C . x ＋ y － 3 ＝ 0 D . 2 x ＋ 3 y － 8 ＝ 0 解析　 (1) 由 (3 ＋ m )(5 ＋ m ) － 4 × 2 ＝ 0 ，得 m ＝－ 1 或 m ＝－ 7. 但 m ＝－ 1 时，直线 l 1 与 l 2 重合 . 当 m ＝－ 7 时， l 1 的方程为 2 x － 2 y ＝－ 13 ，直线 l 2 ： 2 x － 2 y ＝ 8 ，此时 l 1 ∥ l 2 . ∴ “ m ＝－ 7 或 m ＝－ 1 ” 是 “ l 1 ∥ l 2 ” 的必要不充分条件 . ∴ 当 a ＝ 2 ， b ＝ 4 时， △ OAB 的面积最小 . 答案 　 (1)B 　 (2)A 探究提高　 1. 求解两条直线平行的问题时，在利用 A 1 B 2 － A 2 B 1 ＝ 0 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性 . 2 . 求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意 . 【训练 1 】 (1) (2018· 贵阳质检 ) 已知直线 l 1 ： mx ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ， l 2 ： ( m － 3) x ＋ 2 y － 1 ＝ 0 ，则 “ m ＝ 1” 是 “ l 1 ⊥ l 2 ” 的 ( 　　 ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 ( 2) 已知 l 1 ， l 2 是分别经过 A (1 ， 1) ， B (0 ，－ 1) 两点的两条平行直线，当 l 1 ， l 2 间的距离最大时，则直线 l 1 的方程是 ________ . 解析　 (1) “ l 1 ⊥ l 2 ” 的充要条件是 “ m ( m － 3) ＋ 1 × 2 ＝ 0 m ＝ 1 或 m ＝ 2 ” ，因此 “ m ＝ 1 ” 是 “ l 1 ⊥ l 2 ” 的充分不必要条件 . (2) 当直线 AB 与 l 1 ， l 2 垂直时， l 1 ， l 2 间的距离最大 . 答案　 (1)A 　 (2) x ＋ 2 y － 3 ＝ 0 所以圆心为 (2 ， 1) ，半径为 2 ， 所以圆 C 的标准方程为 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 4. (2) 由题意知该圆的半径为 1 ，设圆心 C ( － 1 ， a )( a >0) ，则 A (0 ， a ) . 探究提高　 1. 直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 . 2 . 待定系数法求圆的方程： (1) 若已知条件与圆心 ( a ， b ) 和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a ， b ， r 的方程组，从而求出 a ， b ， r 的值； (2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D ， E ， F 的方程组，进而求出 D ， E ， F 的值 . 温馨提醒 　 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质 . 解析　 (1) 由题意知，椭圆顶点的坐标为 (0 ， 2) ， (0 ，－ 2) ， ( － 4 ， 0) ， (4 ， 0 ) . 由 圆心在 x 轴的正半轴上知圆过顶点 (0 ， 2) ， (0 ，－ 2) ， (4 ， 0) . 设圆的标准方程为 ( x － m ) 2 ＋ y 2 ＝ r 2 ， (2) ∵ 圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C ( a ， 0) ，且 a >0. 因此圆 C 的方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 9. 解析　 (1) 点 P ( － 3 ， 1) 关于 x 轴的对称点为 P ′( － 3 ，－ 1) ， 所以直线 P ′ Q 的方程为 x － ( a ＋ 3) y － a ＝ 0. 依题意，直线 P ′ Q 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 相切 . (2) 易知点 B 在直线 y ＝ 2 上，过点 A (0 ，－ 2) 作圆的切线 . 设切线的斜率为 k ，则切线方程为 y ＝ kx － 2 ， 即 kx － y － 2 ＝ 0. 考法 2 　圆的弦长相关计算 【例 3 － 2 】 　 (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 y ＝ x 2 ＋ mx － 2 与 x 轴交于 A ， B 两点，点 C 的坐标为 (0 ， 1) . 当 m 变化时，解答下列问题： ( 1) 能否出现 AC ⊥ BC 的情况？说明理由； ( 2) 证明过 A ， B ， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 . (1) 解　 不能出现 AC ⊥ BC 的情况，理由如下： 设 A ( x 1 ， 0) ， B ( x 2 ， 0) ，则 x 1 ， x 2 满足方程 x 2 ＋ mx － 2 ＝ 0 ， 所以 x 1 x 2 ＝－ 2. 又 C 的坐标为 (0 ， 1) ， 所以不能出现 AC ⊥ BC 的情况 . 又 x ＋ mx 2 － 2 ＝ 0 ， ③ 即过 A ， B ， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 . 故所求直线 l 的方程为 y ＝－ ( x － 3) ，即 x ＋ y － 3 ＝ 0. 答案　 (1)B 　 (2) x ＋ y － 3 ＝ 0 (2) 圆 C 的标准方程为 ( x － 4) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 9 ， ∴ 圆 C 的圆心 C (4 ， 1) ，半径 r ＝ 3. 又直线 l ： y ＝ a ( x － 3) 过定点 P (3 ， 0) ， 则当直线 y ＝ a ( x － 3) 与直线 CP 垂直时，被圆 C 截得的弦长最短 . 1 . 解决直线方程问题应注意： (1) 要注意几种直线方程的局限性 . 点斜式方程不能表示与 x 轴垂直的直线、截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线、两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线 . (2) 求直线方程要考虑直线斜率是否存在 . (3) 求解两条直线平行的问题时，在利用 A 1 B 2 － A 2 B 1 ＝ 0 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性 . 2 . 求圆的方程两种主要方法： (1) 直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程 . (2) 待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程 ( 组 ) 求得各系数，进而求出圆的方程 .