数学卷·2019届河北省定州中学高二（承智班）下学期第一次月考（2018-03） 7页

高二第一学期承智班第1次考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知函数的周期为4，且当时， 其中．若方程恰有3个实数解，则的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎2．已知函数是定义在上的奇函数，且当时， ，则对任意，函数的零点个数至多有 A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 9个 ‎3．已知抛物线： 的焦点为，过点分别作两条直线， ，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（ ）‎ A. 16 B. 20 C. 24 D. 32‎ ‎4．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”(其中 ).如图,设点是相应椭圆的焦点, 和是“果圆”与轴的交点,若是边长为的等边三角,则的值分别为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．若函数在区间内单调递增，则a 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．Q是椭圆 上一点， 为左、右焦点，过F1作外角平分线的垂线交的延长线于点，当点在椭圆上运动时， 点的轨迹是（ ）‎ A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 ‎7．已知抛物线，圆 ．过点的直线交圆于两点，交抛物线于两点，且满足的直线恰有三条，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．数列满足，且对任意的都有，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上任一点，若为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．设双曲线的左焦点，过的直线交双曲线的左支于（在的上方）两点, 轴， ，若为钝角，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知函数的两个极值点分别在与内，则 的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎12．已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则；21的因数有1,3,7,21，则，那么的值为（ ）‎ A. 2488 B. 2495 C. 2498 D. 2500‎ 二、填空题 ‎13．定义在上的函数满足且,又当且时,有.若对所有恒成立,则实数的取值范围是____.‎ ‎14．函数 （ ）， ，对 ， ，使 成立，则 的取值范围是__________．‎ ‎15．已知三个数 ， ， 成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列 的前三项，则能使不等式 成立的自然数 的最大值为 __________．‎ ‎16．对于三次函数 ，给出定义：设是的导数， 是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则 __________．‎ 三、解答题 ‎17．已知是抛物线： （）上一点， 是抛物线的焦点， 且.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）已知 ，过 的直线 交抛物线 于 、 两点，以 为圆心的圆 与直线 相切，试判断圆 与直线 的位置关系，并证明你的结论.‎ ‎18．已知函数， .‎ ‎（1）令，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 AACAB BCCCA ‎ ‎11．A ‎12．D ‎13．(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)‎ ‎14．‎ ‎15．7‎ ‎16．‎ ‎17．（1）抛物线的方程为；（2）圆与直线相切．‎ ‎（1）抛物线 : （ ）的准线方程为 : ，‎ 过 作 于点 ，连接 ，则 ，‎ ‎∵ ，∴为等边三角形，‎ ‎∴ ，∴ ．‎ ‎∴抛物线 的方程为 ．‎ ‎（2）直线 的斜率不存在时， 为等腰三角形，且 ．‎ ‎∴圆 与直线 相切．‎ 直线 的斜率存在时，设方程为 ，‎ 代入抛物线方程，得 ，‎ 设 ， ，则 ．‎ 直线 的方程为，即 ，‎ ‎∴圆 的半径 满足 ‎．‎ 同理，直线 的方程为 ，‎ ‎ 到直线 的距离 ， ．‎ ‎∴ ，∴ ，∴圆 与直线 相切，‎ 综上所述，圆 与直线 相切．‎ ‎18．（1）时， 在递增， 递减； 时， 在递增；‎ 时， 在和递增， 递减； 时， 在和递增， 递减；（2）.‎ ‎ (1)解：h(x)=f(x)-g(x)= ,定义域为 ‎ ‎ ,（x>0）‎ a0时， >0得x>1; <0得00得01; <0得a1时， >0得0a； <0得11时，h(x)在（0,1）和(a, )递增，(1,a)递减 ‎ (2) 若任意 ,都有恒成立。令h(x)= f(x)- g(x),‎ 只需 即可 由（1）知， 时，h(x)在递增， =h(1)=4-a 0,解得a 4.又，所以，‎ ae时，h(x)在递减， =h(e)= 解得,又ae，所以 ,1