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  • 2021-06-30 发布

高中数学讲义微专题99 归纳推理与类比推理

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- 1 - 微专题 99 归纳推理与类比推理 一、基础知识: (一)归纳推理: 1、归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳),简言之,归 纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理 2、处理归纳推理的常见思路: (1)利用已知条件,多列出(或计算出)几个例子,以便于寻找规律 (2)在寻找规律的过程中,要注意观察哪些地方是不变的(形成通式的结构),哪些地方是 变化的(找到变量),如何变化(变量变化的规律) (3)由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形,看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型: ( 1 ) 函 数 的 迭 代 : 设 是 的 函 数 , 对 任 意 , 记 , 则 称 函 数 为 的 次迭代;对于一些特殊的函数解析式,其 通常具备某些特征(特 征与 )有关。在处理此类问题时,要注意观察解析式中项的次数,式子结构以及系数的特点, 以便于从具体例子中寻找到规律,得到 的通式 (2)周期性:若寻找的规律呈现周期性,则可利用函数周期性(或数列周期性)的特点求出 某项或分组(按周期分组)进行求和。 (3)数列的通项公式(求和公式):从数列所给的条件中,很难利用所学知识进行变形推导, 从而可以考虑利用条件先求出几项,然后找到规律,猜出数列的通项公式(求和公式) (4)数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形,矩形等),来确定数阵的规律及求某项。 对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”,纵向为“列”,在项的表示上通 常用二维角标 进行表示,其中 代表行, 代表列。例如: 表示第 行第 列。在题目 中经常会出现关于某个数的位置问题,解决的方法通常为先抓住选取数的特点,确定所求数 的序号,再根据每行元素个数的特点(数列的通项),求出前 行共含有的项的个数,从而确 定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个,即列。 f D D x D                        0 1 2 1, , , n nf x x f x f x f x f f x f x f f x             nf x  f x n    nf x n    nf x ija i j 34a 3 4 n - 2 - (二)类比推理: 1、类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理,称为类比推理(简称类比) 2、常见的类比类型及处理方法: (1)运算的类比:通常是运算级数相对应: ① 加法 乘法, ② 数乘(系数与项的乘法) 指数幂 ③ 减法 除法 (2)运算律的类比:在数学中的其它领域,如果满足加法,乘法的交换律,以及乘法的分配 律,则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中。例如 ①在向量数量积的运算中,满足交换律与分配律,则: 代 数 中 的 平 方 差 公 式 : , 和 差 完 全 平 方 公 式 : 均 可 推 广 到 向 量 数 量 积 中 : , ②在复数的运算中,满足交换律与分配律,则实数中的运算公式可推广到复数中(甚至是二 项式定理) (3)等差数列与等比数列的类比:等差数列的性质通常伴随着一,二级运算(加减,数乘), 等比数列的性质通常伴随着二,三级运算(乘除,乘方)。所以在某些性质中体现出运算上的 类比。例如:设 为等差数列,公差为 ; 为等比数列,公比为 ,则 ① 递推公式: ② 通项公式: ③ 双项性质: ④ 等间隔取项,在数列 , 中等间隔的取项: 则 成等差数列 成等比数列 (4)维度的类比:平面几何(二维)的结论与立体几何(三维)的结论进行类比,当维度升 高时,涉及的要素也将维度升高,例如:      2 2a b a b a b     2 2 22a b a ab b      2 2 a b a b a b          2 2 2 2a b a a b b           na d  nb q 1 1 n n n n ba a d qb         1 1 11 n n na a n d b b q       m n p q m n p qm n p q a a a a m n p q b b b b              na  nb 1 2 , , ,mk k ka a a  1 2 , , ,mk k kb b b   - 3 - ①位置关系:平面中的线的关系 空间中的面的关系,线所成的角 线面角或二面角, ②度量:线段长度 图形的面积,图形面积 几何体体积,点到线的距离 点到平面距离 ③衍生图形:内切圆 内切球,外接圆 外接球,面对角线 体对角线 (5 )平面坐标与空间坐标的类比:平面直角坐标系坐标 空间直角坐标系坐标 ,在有些坐标运算的问题中,只需加上竖坐标的运算即可完成推广,例如: ① 线段中点坐标公式: 平面:设 ,则 中点 空间:设 ,则 中点 ② 两点间距离公式: 平面:设 ,则 空间:设 ,则 3、同一个命题,不同的角度类比得到的结论可能不同,通常类比只是提供一个思路与方向, 猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。在有关类比的题目中通常选择正确的命题作为 类比的结论 二、典型例题: 例 1:已知 ,定义 ,经 计算 照此规律,则 ( ) A. B. C. D. 思路:由定义可知: 即为 的导函数,通过所给例子的结果可以推断出 ,从而 ,所以 答案:C 例 2:蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形,如 图为一组蜂巢的截面图,其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个 蜂巢,按此规律,第六幅图的蜂巢总数为( )          ,x y   , ,x y z    1 1 2 2, , ,A x y B x y AB 1 2 1 2,2 2 x x y yM          1 1 1 2 2 2, , , , ,A x y z B x y z AB 1 2 1 2 1 2, ,2 2 2 x x y y z zM           1 1 2 2, , ,A x y B x y    2 2 1 2 1 2AB x x y y       1 1 1 2 2 2, , , , ,A x y z B x y z      2 2 2 1 2 1 2 1 2AB x x y y z z        x xf x e            ' '' 1 2 1 1, , , n nf x f x f x f x f x f x              1 2 3 1 2 3, , , ,x x x x x xf x f x f xe e e        2015 1f  2015 2015 2014 e 2014 e  nf x  1nf x    1 n n x x nf x e    2015 2015 x xf x e   2015 20141f e - 4 - A. B. C. D. 思路:从所给图中可发现第 个图可以视为在前一个图的基础上,外面围上一个正六边形,且 这个正六边形的每条边有 个小正方形,设第 个图的蜂巢总数为 ,则可知 比 多的蜂巢数即为外围的蜂巢数。即 (每条边 个,其中顶点被计算了两次, 所以要减 ),所以有 ,联想到数列中用到的累加法,从而由 ,且 则 。代入 可得 答案:C 例 3:将正整数排成数阵(如图所示),则数表中的数字 出现在( ) A. 第 44 行第 78 列 B. 第 45 行第 78 列 C. 第 44 行第 77 列 D. 第 45 行第 77 列 思路:从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数,即 第 行最后一个数为 ,所以考虑离 较近的完全平方数: ,所 以 位于第 行,因为 是第 44 行的最后一个数,所以 为第 45 行中第 个数,即位于第 45 行第 78 列 答案:B 例 4:已知结论:“在 中,各边和它所对角的正弦比相等,即 ”, 若把该结论推广到空间,则结论为:“在三棱锥 中,侧棱 与平面 ,平面 所成的角为 ,则有( ) A. B. C. D. 思路:本题为维度推广题,平面中的线段所成的夹角推广为线面角,所以可将正弦定理的边 长(一维度量)类比推广为面积(二维度量),正弦定理中为角所对的边长,则在三棱锥中推 广为线面角所对的侧面面积,即 所对的侧面为平面 , 所对的侧面为平面 ,所 61 90 91 127 n n n  f n  f n  1f n  6 6n  n 6      1 6 1f n f n n            21 6 1 2 1 3 3f n f n n n n             1 1f    23 3 1f n n n   6n    26 3 6 3 6 1 91f       2014 k 2k 2014 2 244 1936,45 2025  2014 45 1936 2014  2014 1936 78  ABC sin sin sin a b c A B C  A BCD AB ACD BCD ,  sin sin BC AD   sin sin AD BC   sin sin BCD ACDS S    sin sin ACD BCDS S     BCD  ACD - 5 - 以猜测 ,再考虑证明其正确性。证明过程如下: 证明:分别过 作平面 ,平面 的垂线,垂足分别为 由线面角的定义可知: 同理: 得证 答案:C 例 5:三角形的面积 ,其中 为其边长, 为内切圆半径,利用类比 法可以得出四面体的体积为( ) A. (其中 分别为四个面的面积, 为内切球的 半径) B. ( 为底面面积, 为四面体的高) C. (其中 分别为四个面的面积, 为内切球的 半径) D. ( 为底面边长, 为四面体的高) 思路:本题为维度题,在三角形中,面积依靠内切圆半径与边长求解。则在四面体中,内切 圆类比成内切球,边长类比为面积。所以四面体的体积与内切球半径与各面面积相关,即在 A,C 中挑选。考虑在三角形中,可通过连接内心与各顶点,将三角形分割为三个小三角形, 底边为各边边长,高均为半径 ,所以面积 ,其中系数 来源于三角形 面积公式。进而类比到四面体中,可通过连接内切球的球心与各顶点,将四面体分割为 4 个 小四面体,以各面为底面,内切球半径为高。从而 。系数 来源 于棱锥体积公式 答案:C sin sin BCD ACDS S    ,B A ACD BCD ,E F ,BAE ABF     1 1 sin3 3B ACD ACD ACDV S BE S AB          1 1 sin3 3A BCD BCD BCDV S AE S AB          1 1sin sin sin sin3 3ACD BCD ACD BCDS AB S AB S S                  sin sin BCD ACDS S      1 2S a b c r    , ,a b c r  1 2 3 4 1 2V S S S S r     1 2 3 4S S S S   r 1 3V S h  S h  1 2 3 4 1 3V S S S S r     1 2 3 4S S S S   r  1 3V ab bc ac h    , ,a b c h r  1 2S a b c r    1 2  1 2 3 4 1 3V S S S S r     1 3 - 6 - 例 6:若数列 是等比数列,且 ,则数列 也是等比数列. 若数列 是等差数列,可类比得到关于等差数列的一个性质为( ) A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 是等差数列 思路:考虑在等比数列中,很多性质为应用二三级运算(乘除法,乘方开方),到了等差数列 中,很多性质可类比为一二级运算(加减,数乘)。在本题中所给等比数列用到了乘法与开方, 所以可联想到类比等差数列,乘法运算对应类比为加法,开方运算对应类比为除法。所以该 性质为:若数列 是等差数列,则 是等差数列。这个命题是正确的, 证明如下: 证明:设等差数列 的公差为 ,则 为等差数列 为公差是 的等差数列 答案:B 例 7 :对于大于 1 的自然数 的三次幂可用奇数进行一下方式的“分裂”: , , ,…,仿此,若 的“分裂数”中有一个是 ,则 的值是( ) A. B. C. D.  na 0na   1 2 n n nb a a a n N      na 1 2 n n a a ab n    1 2 n n a a ab n     1 2 n n nb a a a   1 2 nnn a a ab n      na 1 2 n n a a ab n      na d 1 2 1 1 2 1 1 n n n n n a a a a a a ab b n n                     1 2 1 1 21 1 n n nn a a a a n a a a n n                         1 1 2 1 1 1 1 1 1 n n n n n nna a a a a a a a a a n n n n                  na    1 1 , 1,2, ,n ia a n i d i n                  1 1 1 1 2 2 1 1 1 2n n n ndnd n d d d n db b n n n n n n                  nb 2 d m 32 =3 5 33 7 9 11   34 13 15 17 19    3m 61 m 6 7 8 9 - 7 - 思路:观察这几个等式不难发现以下特征:(1) 可分解为 个连续奇数的和,(2)从 开始这些奇数是按 顺次排列的。所以在第 个数时,所用的奇数的总数为 个。从 3 开始算起, 是第 个奇数。当 ,可知所用的奇数总数为 个,当 ,可知所用的奇数总数为 个。所以 答案:C 例 8:从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动, 使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为 ( ) A. B. C. D. 思路:当三角形在移动时,观察其规律,内部的数如果设第一行的数为 ,则第二行的 数为 ,其和为 ,第三行的数为 , 其和为 ,所以这九个数的和为 ,代入到各 个选项中看能否算出 即可。通过计算可得: 时, 符合题意 答案:C 例 9:某种游戏中,黑,白两个“电子狗”从棱长为 1 的正方体 的顶点 出发,沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”,黑“电子狗”爬行的路线是 ,白“电子狗”爬行的路线是 ,它们都遵循如下规则: 所爬行的第 段与第 段所在直线必须是异面直线(其中 ),设黑“电子狗”爬完 2012 段,白“电子狗”爬完 2011 段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白“电子狗”间 的距离是_____________ 思路:首先根据题目中所给规则,观察“电子狗”所走路径的规律。会发现黑“电子狗”所 3n n 32 3,5,7,9, n   2 12 3 2 n nn      61 61 3 1 302    7n  27 8n  35 8m  2097 2112 2012 2090 a N  7, 8, 9a a a    3 8a  14, 15, 16, 17, 18a a a a a      5 16a     3 8 5 16 9 104S a a a a       a 9 104 2012a   212a  1 1 1 1ABCD A B C D A 1 1 1AA A D  1AB BB  2i  i i N  A1 A B1 B C C1 D D1 D1 D C1 C B B1 A A1 - 8 - 走的路线为 ,然后周而复始,以 6 为周期;白“电 子狗”所走的路线为 ,也是以 6 为周期。从而由 周期性的规律可得: ,则黑电子狗到达 ; ,所以白 电子狗到达 ,所以只需计算 即可,由正方体性质可知 答案: 例 10:把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数阵,设 是位于这个三角形数中从上往下数第 行,从左往 右数第 列的数,如 若 ,则 ( ) A. 111 B. 110 C. 108 D. 105 思路:观察三角形数阵可知奇数行中的数均为奇数,偶数行均为偶数。所以可知 一 定在奇数行中,先确定 的值,因为奇数构成首项为 1,公差为 2 的等差数列,所以第 个奇 数 ,因为 ,所以可得 为第 个奇数,考虑 前面的奇数共占了多少行。由第 行由 个奇数可得:前 个奇数行内奇数共有 ,前 个奇数行内奇数共有 ,而 ,所以 在第 个奇数行中,即 ,再考虑 的值,第 31 个奇 数行最后一个奇数为 ,因为 ,所以 为第 32 个奇数 行的第 47 个数,即 ,从而 答案:C 1 1 1 1 1 1AA A D D C C C CB BA     1 1 1 1 1 1AB BB B C C D D D DA     2012 6 335 2   1D 2011 6 335 1   B 1BD 1 3BD  3  ,ija i j N  i j 32 5,a  2015ija  i j  2015ija  i k  1 1 2ka k     2005 1 2 1008 1   2015 1008 2015 i i 31  31 31 131 1 9612     31  32 32 132 1 10242     961 1008 1024  2015 32 63i  j 961 2 1 1921   2015 1921 472   2015 47j  110i j 

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