- 229.25 KB
- 2021-06-30 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
- 1 -
微专题 99 归纳推理与类比推理
一、基础知识:
(一)归纳推理:
1、归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特
征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳),简言之,归
纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理
2、处理归纳推理的常见思路:
(1)利用已知条件,多列出(或计算出)几个例子,以便于寻找规律
(2)在寻找规律的过程中,要注意观察哪些地方是不变的(形成通式的结构),哪些地方是
变化的(找到变量),如何变化(变量变化的规律)
(3)由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形,看是否符合题意
3、常见的归纳推理类型:
( 1 ) 函 数 的 迭 代 : 设 是 的 函 数 , 对 任 意 , 记
, 则 称 函 数
为 的 次迭代;对于一些特殊的函数解析式,其 通常具备某些特征(特
征与 )有关。在处理此类问题时,要注意观察解析式中项的次数,式子结构以及系数的特点,
以便于从具体例子中寻找到规律,得到 的通式
(2)周期性:若寻找的规律呈现周期性,则可利用函数周期性(或数列周期性)的特点求出
某项或分组(按周期分组)进行求和。
(3)数列的通项公式(求和公式):从数列所给的条件中,很难利用所学知识进行变形推导,
从而可以考虑利用条件先求出几项,然后找到规律,猜出数列的通项公式(求和公式)
(4)数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形,矩形等),来确定数阵的规律及求某项。
对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”,纵向为“列”,在项的表示上通
常用二维角标 进行表示,其中 代表行, 代表列。例如: 表示第 行第 列。在题目
中经常会出现关于某个数的位置问题,解决的方法通常为先抓住选取数的特点,确定所求数
的序号,再根据每行元素个数的特点(数列的通项),求出前 行共含有的项的个数,从而确
定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个,即列。
f D D x D
0 1 2 1, , , n nf x x f x f x f x f f x f x f f x
nf x f x n nf x
n
nf x
ija i j 34a 3 4
n
- 2 -
(二)类比推理:
1、类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对
象也具有这些特征的推理,称为类比推理(简称类比)
2、常见的类比类型及处理方法:
(1)运算的类比:通常是运算级数相对应:
① 加法 乘法,
② 数乘(系数与项的乘法) 指数幂
③ 减法 除法
(2)运算律的类比:在数学中的其它领域,如果满足加法,乘法的交换律,以及乘法的分配
律,则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中。例如
①在向量数量积的运算中,满足交换律与分配律,则:
代 数 中 的 平 方 差 公 式 : , 和 差 完 全 平 方 公 式 :
均 可 推 广 到 向 量 数 量 积 中 : ,
②在复数的运算中,满足交换律与分配律,则实数中的运算公式可推广到复数中(甚至是二
项式定理)
(3)等差数列与等比数列的类比:等差数列的性质通常伴随着一,二级运算(加减,数乘),
等比数列的性质通常伴随着二,三级运算(乘除,乘方)。所以在某些性质中体现出运算上的
类比。例如:设 为等差数列,公差为 ; 为等比数列,公比为 ,则
① 递推公式:
② 通项公式:
③ 双项性质:
④ 等间隔取项,在数列 , 中等间隔的取项:
则 成等差数列 成等比数列
(4)维度的类比:平面几何(二维)的结论与立体几何(三维)的结论进行类比,当维度升
高时,涉及的要素也将维度升高,例如:
2 2a b a b a b
2 2 22a b a ab b 2 2
a b a b a b
2 2 2
2a b a a b b
na d nb q
1
1
n
n n
n
ba a d qb
1
1 11 n
n na a n d b b q
m n p q m n p qm n p q a a a a m n p q b b b b
na nb
1 2
, , ,mk k ka a a 1 2
, , ,mk k kb b b
- 3 -
①位置关系:平面中的线的关系 空间中的面的关系,线所成的角 线面角或二面角,
②度量:线段长度 图形的面积,图形面积 几何体体积,点到线的距离 点到平面距离
③衍生图形:内切圆 内切球,外接圆 外接球,面对角线 体对角线
(5 )平面坐标与空间坐标的类比:平面直角坐标系坐标 空间直角坐标系坐标
,在有些坐标运算的问题中,只需加上竖坐标的运算即可完成推广,例如:
① 线段中点坐标公式:
平面:设 ,则 中点
空间:设 ,则 中点
② 两点间距离公式:
平面:设 ,则
空间:设 ,则
3、同一个命题,不同的角度类比得到的结论可能不同,通常类比只是提供一个思路与方向,
猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。在有关类比的题目中通常选择正确的命题作为
类比的结论
二、典型例题:
例 1:已知 ,定义 ,经
计算 照此规律,则 ( )
A. B. C. D.
思路:由定义可知: 即为 的导函数,通过所给例子的结果可以推断出
,从而 ,所以
答案:C
例 2:蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形,如
图为一组蜂巢的截面图,其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个
蜂巢,按此规律,第六幅图的蜂巢总数为( )
,x y
, ,x y z
1 1 2 2, , ,A x y B x y AB 1 2 1 2,2 2
x x y yM
1 1 1 2 2 2, , , , ,A x y z B x y z AB 1 2 1 2 1 2, ,2 2 2
x x y y z zM
1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2
1 2 1 2AB x x y y
1 1 1 2 2 2, , , , ,A x y z B x y z 2 2 2
1 2 1 2 1 2AB x x y y z z
x
xf x e ' ''
1 2 1 1, , , n nf x f x f x f x f x f x
1 2 3
1 2 3, , , ,x x x
x x xf x f x f xe e e
2015 1f
2015 2015 2014
e
2014
e
nf x 1nf x
1 n
n x
x nf x e
2015
2015
x
xf x e
2015
20141f e
- 4 -
A. B. C. D.
思路:从所给图中可发现第 个图可以视为在前一个图的基础上,外面围上一个正六边形,且
这个正六边形的每条边有 个小正方形,设第 个图的蜂巢总数为 ,则可知 比
多的蜂巢数即为外围的蜂巢数。即 (每条边 个,其中顶点被计算了两次,
所以要减 ),所以有 ,联想到数列中用到的累加法,从而由
,且 则
。代入 可得
答案:C
例 3:将正整数排成数阵(如图所示),则数表中的数字 出现在( )
A. 第 44 行第 78 列 B. 第 45 行第 78 列
C. 第 44 行第 77 列 D. 第 45 行第 77 列
思路:从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数,即
第 行最后一个数为 ,所以考虑离 较近的完全平方数: ,所
以 位于第 行,因为 是第 44 行的最后一个数,所以 为第 45 行中第
个数,即位于第 45 行第 78 列
答案:B
例 4:已知结论:“在 中,各边和它所对角的正弦比相等,即 ”,
若把该结论推广到空间,则结论为:“在三棱锥 中,侧棱 与平面 ,平面
所成的角为 ,则有( )
A. B.
C. D.
思路:本题为维度推广题,平面中的线段所成的夹角推广为线面角,所以可将正弦定理的边
长(一维度量)类比推广为面积(二维度量),正弦定理中为角所对的边长,则在三棱锥中推
广为线面角所对的侧面面积,即 所对的侧面为平面 , 所对的侧面为平面 ,所
61 90 91 127
n
n n f n f n
1f n 6 6n n
6 1 6 1f n f n n
21 6 1 2 1 3 3f n f n n n n 1 1f
23 3 1f n n n 6n 26 3 6 3 6 1 91f
2014
k 2k 2014 2 244 1936,45 2025
2014 45 1936 2014
2014 1936 78
ABC sin sin sin
a b c
A B C
A BCD AB ACD
BCD ,
sin sin
BC AD
sin sin
AD BC
sin sin
BCD ACDS S
sin sin
ACD BCDS S
BCD ACD
- 5 -
以猜测 ,再考虑证明其正确性。证明过程如下:
证明:分别过 作平面 ,平面 的垂线,垂足分别为
由线面角的定义可知:
同理:
得证
答案:C
例 5:三角形的面积 ,其中 为其边长, 为内切圆半径,利用类比
法可以得出四面体的体积为( )
A. (其中 分别为四个面的面积, 为内切球的
半径)
B. ( 为底面面积, 为四面体的高)
C. (其中 分别为四个面的面积, 为内切球的
半径)
D. ( 为底面边长, 为四面体的高)
思路:本题为维度题,在三角形中,面积依靠内切圆半径与边长求解。则在四面体中,内切
圆类比成内切球,边长类比为面积。所以四面体的体积与内切球半径与各面面积相关,即在
A,C 中挑选。考虑在三角形中,可通过连接内心与各顶点,将三角形分割为三个小三角形,
底边为各边边长,高均为半径 ,所以面积 ,其中系数 来源于三角形
面积公式。进而类比到四面体中,可通过连接内切球的球心与各顶点,将四面体分割为 4 个
小四面体,以各面为底面,内切球半径为高。从而 。系数 来源
于棱锥体积公式
答案:C
sin sin
BCD ACDS S
,B A ACD BCD ,E F
,BAE ABF
1 1 sin3 3B ACD ACD ACDV S BE S AB
1 1 sin3 3A BCD BCD BCDV S AE S AB
1 1sin sin sin sin3 3ACD BCD ACD BCDS AB S AB S S
sin sin
BCD ACDS S
1
2S a b c r , ,a b c r
1 2 3 4
1
2V S S S S r 1 2 3 4S S S S r
1
3V S h S h
1 2 3 4
1
3V S S S S r 1 2 3 4S S S S r
1
3V ab bc ac h , ,a b c h
r 1
2S a b c r 1
2
1 2 3 4
1
3V S S S S r 1
3
- 6 -
例 6:若数列 是等比数列,且 ,则数列 也是等比数列.
若数列 是等差数列,可类比得到关于等差数列的一个性质为( )
A. 是等差数列 B. 是等差数列
C. 是等差数列 D. 是等差数列
思路:考虑在等比数列中,很多性质为应用二三级运算(乘除法,乘方开方),到了等差数列
中,很多性质可类比为一二级运算(加减,数乘)。在本题中所给等比数列用到了乘法与开方,
所以可联想到类比等差数列,乘法运算对应类比为加法,开方运算对应类比为除法。所以该
性质为:若数列 是等差数列,则 是等差数列。这个命题是正确的,
证明如下:
证明:设等差数列 的公差为 ,则
为等差数列
为公差是 的等差数列
答案:B
例 7 :对于大于 1 的自然数 的三次幂可用奇数进行一下方式的“分裂”: ,
, ,…,仿此,若 的“分裂数”中有一个是 ,则
的值是( )
A. B. C. D.
na 0na 1 2
n
n nb a a a n N
na
1 2 n
n
a a ab n
1 2 n
n
a a ab n
1 2
n
n nb a a a 1 2 nnn
a a ab n
na 1 2 n
n
a a ab n
na d
1 2 1 1 2
1 1
n n n
n n
a a a a a a ab b n n
1 2 1 1 21
1
n n nn a a a a n a a a
n n
1 1 2 1 1 1 1
1 1
n n n n n nna a a a a a a a a a
n n n n
na 1 1 , 1,2, ,n ia a n i d i n
1
1
1 1 2 2
1 1 1 2n n
n ndnd n d d d n db b n n n n n n
nb 2
d
m 32 =3 5
33 7 9 11 34 13 15 17 19 3m 61
m
6 7 8 9
- 7 -
思路:观察这几个等式不难发现以下特征:(1) 可分解为 个连续奇数的和,(2)从
开始这些奇数是按 顺次排列的。所以在第 个数时,所用的奇数的总数为
个。从 3 开始算起, 是第 个奇数。当
,可知所用的奇数总数为 个,当 ,可知所用的奇数总数为 个。所以
答案:C
例 8:从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,
使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为
( )
A. B. C. D.
思路:当三角形在移动时,观察其规律,内部的数如果设第一行的数为 ,则第二行的
数为 ,其和为 ,第三行的数为 ,
其和为 ,所以这九个数的和为 ,代入到各
个选项中看能否算出 即可。通过计算可得: 时, 符合题意
答案:C
例 9:某种游戏中,黑,白两个“电子狗”从棱长为 1 的正方体 的顶点
出发,沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”,黑“电子狗”爬行的路线是
,白“电子狗”爬行的路线是 ,它们都遵循如下规则:
所爬行的第 段与第 段所在直线必须是异面直线(其中 ),设黑“电子狗”爬完 2012
段,白“电子狗”爬完 2011 段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白“电子狗”间
的距离是_____________
思路:首先根据题目中所给规则,观察“电子狗”所走路径的规律。会发现黑“电子狗”所
3n n 32
3,5,7,9, n
2 12 3 2
n nn 61 61 3 1 302
7n 27 8n 35 8m
2097 2112 2012 2090
a N
7, 8, 9a a a 3 8a 14, 15, 16, 17, 18a a a a a
5 16a 3 8 5 16 9 104S a a a a
a 9 104 2012a 212a
1 1 1 1ABCD A B C D A
1 1 1AA A D 1AB BB
2i i i N
A1
A
B1
B
C
C1
D
D1 D1
D
C1
C
B
B1
A
A1
- 8 -
走的路线为 ,然后周而复始,以 6 为周期;白“电
子狗”所走的路线为 ,也是以 6 为周期。从而由
周期性的规律可得: ,则黑电子狗到达 ; ,所以白
电子狗到达 ,所以只需计算 即可,由正方体性质可知
答案:
例 10:把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数阵,设
是位于这个三角形数中从上往下数第 行,从左往
右数第 列的数,如 若 ,则 ( )
A. 111 B. 110 C. 108 D. 105
思路:观察三角形数阵可知奇数行中的数均为奇数,偶数行均为偶数。所以可知 一
定在奇数行中,先确定 的值,因为奇数构成首项为 1,公差为 2 的等差数列,所以第 个奇
数 ,因为 ,所以可得 为第 个奇数,考虑
前面的奇数共占了多少行。由第 行由 个奇数可得:前 个奇数行内奇数共有
,前 个奇数行内奇数共有 ,而
,所以 在第 个奇数行中,即 ,再考虑 的值,第 31 个奇
数行最后一个奇数为 ,因为 ,所以 为第 32 个奇数
行的第 47 个数,即 ,从而
答案:C
1 1 1 1 1 1AA A D D C C C CB BA
1 1 1 1 1 1AB BB B C C D D D DA
2012 6 335 2 1D 2011 6 335 1
B 1BD 1 3BD
3
,ija i j N i
j 32 5,a 2015ija i j
2015ija
i k
1 1 2ka k 2005 1 2 1008 1 2015 1008
2015 i i 31
31 31 131 1 9612
31 32 32 132 1 10242
961 1008 1024 2015 32 63i j
961 2 1 1921 2015 1921 472
2015
47j 110i j