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- 2021-06-30 发布
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机密★启用前
湖南省民办学校联盟2019年下学期高三期中联考
文科数学
班级:_______姓名:_______准考证号:______
本试题卷共4页,22题,全卷满分:150分,考试用时:120分钟
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸及答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题:共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知复数,则复平面表示的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量,,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.《高中数学课程标准》(2017版)规定了数学直观想象学科的六大核心素养,为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平,现以六大素养为指标对二人进行了测验,根据测验结果绘制了雷达图(如右图,每项指标值满分为5分,分值高者为优),则下面叙述正确的是(注:雷达图,又可称为戴布拉图、蜘蛛网图,可用于对研究对象的多维分析)( )
A.甲的直观想象素养高于乙
B.甲的数学建模素养优于数据分析素养
C.乙的数学建模素养与数学运算素养一样
D.乙的六大素养整体水平低于甲
5.如图:本次考试成绩查询二维码是一个边长为3的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷2178个点,其中落入白色部分的有968个点,据此可估计黑色部分的面积为( )
A.4 B.5 C.8 D.9
6.已知圆,过点作圆的弦,则弦长的最小值为( )
A.4 B.6 C.8 D.3
7.已知数列的通项公式,前项和为,若,则的最大值是( )
A .5 B.10 C.15 D.20
8.函数,满足的的取值范围( )
A. B.
C.或 D.或
9.若,且,则的值等于( )
A. B. C. D.
10.设是椭圆的两个焦点,若上存在点满足,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11.定义在上的函数的导函数为,若,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
12.如图,在长方体中,,,,点是棱的中点,点是棱的中点,是侧面四边形内一动点(含边界),若平面,则线段长度的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每题5分,满分20分.
13.已知数列为等差数列,,,若,则______.
14.已知向量、满足,且与的夹角等于,则的最大值为______.
15.已知函数,若为的最大值点和最小值点的横坐标,则____.
16.已知直线与双曲线的两条渐近线交于两点,与交于点,若为的中点,则双曲线的离心率等于____.
三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
17.某省即将实行新高考,不再实行文理分科.某校为了研究数学成绩优秀是否对选择物理有影响,对该校2018级的1000名学生进行调查,收集到相关数据如下:
(1)根据以上提供的信息,完成列联表,并完善等高条形图;
选物理
不选物理
总计
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
260
总计
600
1000
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关?
附:
临界值表:
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
18.已知数列是单调递增的等差数列,且,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为.
19.在中,分别是角的对边,,.
(1)求角的大小;
(2)求的取值范围.
20.如图,在四棱锥中,底面是边长为4的菱形,,,分别为的中点,.
(1)求证:面面;
(2)求三棱锥的体积.
21.已知函数.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,求函数的极大值.
22.已知抛物线的焦点为,准线为,过上一点作抛物线的两条切线,切点为.
(1)求证:直线过焦点;
(2)若,,求的值.
高三文科数学参考答案
一、选择题(共12小题)
1.A 【解析】解:,或,.故选:A.
2.C 【解析】解:由,,故选:C.
3.D 【解析】解:;;与的夹角为.故选:D.
4.C 【解析】解:对于A选项,甲的直观想象素养为4分,乙的直观想象素养为5分,即甲的直观想象素养低于乙,故选项A错误,
对于B选项,甲的数学建模素养为3分,数据分析素养为3分,即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平,故选项B错误,
对于C选项,由雷达图可知,乙的数学建模素养为4分数学运算素养为4分,故选项C正确,
对于D选项,乙的六大素养中只有数学运算比甲差,其余都由于甲,即乙的六大素养整体水平优于甲,故选项D错误,故选:C.
5.B 【解析】解:由题意在正方形区域内随机投掷2178个点,其中落入白色部分的有968个点,则其中落入黑色部分的有1210个点,由随机模拟试验可得,又,即,故选:B.
6.A 【解析】解:圆心坐标为过最短弦在的直线斜率为,则.故选:A.
7.B 【解析】解:根据题意,数列的通项公式是,
其前项和是,有,
即当最大时,取得最大值;
若,且,解可得:,即当时,的值为正.
即当,时,,
此时取得最大值10.故选:B.
8.A 【解析】解:当时,即,,,,
当时,即,,综上,,故选:A.
9.A 【解析】解:由,得,
即,解得或(舍).
,,.故选:A.
10.A 【解析】解:分焦点在轴上和轴上两种情况:
①时,上存在点满足,
假设位于短轴的端点时,取最大值,要使椭圆上存在点满足,
,,,解得.
②当椭圆的焦点在轴上时,,同理可得,
的取值范围是,故选A.
1l.D 【解析】解:不等式等价为,
构造函数,则,又有已知,
,即在上是减函数,由于,可得,解得,
即不等式的解集是,故选:D.
12.A 【解析】解:取中点,取中点,连接、、,则平面平面,
是侧面四边形内一动点(含边界),平面,线段,
当与的中点重合时,线段长度取最小值,
当与点或点重合时,线段长度取最大值或,
在长方体中,,,,
点是棱的中点,点在棱上,且满足,
,,
.
线段长度的取值范围是.故选:A.
二、填空题(共4小题)
13.13 【解析】解:设等差数列的公差为,则根据,得:;
,;又;;解得.故答案为:13.
14.4 【解析】解:向量、满足,且与的夹角等于,
如图在中,令,,可得
可得点在半径为的圆上,,.则的最大值为
15. 【解析】解:令,则
故,故时,即时,取得最大值,
时,即时,取得最小值..
16. 【解析】解:联立 同理 联立
故整理解之得:故
17.【解析】解:(1)根据题意填写列联表如下,
选物理
不选物理
总计
数学成绩优秀
420
320
740
数学成绩不优秀
180
80
260
总计
600
400
1000
完善等高条形图,如图所示;
(2)计算,
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关.
18.【解析】解:(1)设数列的公差为,
由,得,.
由,,成等比数列,
得,即,
解得或.
又数列是单调递增的等差数列故,(舍去)
数列的通项公式为.
(2)
.
19.【解析】解:(1)根据题意,,
由正弦定理得:,
即
变形可得:
在中,
,即,
则;
(2)根据题意,由(1)可得,,又由正弦定理,
,;
又由,则,
则有,
故.
20.【解析】解:(1)连接,如图所示;
由四边形为菱形,
所以,
又分别为的中点,
所以,
所以;
又,,
所以平面;
又平面,
所以平面平面;
(2)由(1)知,
平面,;又,,
平面,,
在菱形中,为的中点,,
所以,,,
所以的面积为;
所以三棱锥的体积为
.
21.【解析】解:(1)当时,
,,,
切线方程为 即
(2)由
(1)时,,与在上恒成立矛盾,故不符合题意.
(2)当时,由于时,故,,在递减,
故故在上恒成立
符合题意
综上可得:实数的取值范围是
【注】其他方法酌情给分
(3)函数的定义域为当时,,
令,,则在递减.
又,,使得,即
故当,即,在递增.
当,即,在递减.
又,,故
22.【解析】解:设点、、设直线
联立消得:
由得又,故故
故,故直线的方程为:即
同理直线的方程为:.
又在直线上
故、在直线上,
故直线的方程为.令,得直线过焦点.
(2)由(1)知联立消得:
故,,故
故直线与直线垂直,从而
又,
又,故