高中数学选修2-2教案第二章 3 10页

明目标、知重点 ‎1．会求函数在一点处的导数．‎ ‎2．理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数．‎ ‎1．导函数的概念 一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：‎ f′(x)＝ ，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．‎ ‎2．导数公式表 函数 导函数 y＝c (c是常数)‎ y′＝0‎ y＝xα (α为实数)‎ y′＝αxα－1‎ y＝ax (a>0，a≠1)‎ y′＝axln a 特别地(ex)′＝ex y＝logax (a>0，a≠1)‎ y′＝ 特别地(ln x)′＝ y＝sin x y′＝cos x y＝cos x y′＝－sin x y＝tan x y′＝ y＝cot x y′＝－ ‎[情境导学]‎ 在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题．‎ 探究点一　函数在一点处的导数计算 思考1　函数f(x)在一点处的导数有什么实际意义？‎ 答　函数f(x)在x0处的导数就是在点x0处的瞬时变化率，可以表示事物变化的快慢．‎ 思考2　物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若s′(1)＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　)‎ A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速度 B．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速度 C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速度 D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速度 答案　C 例1　已知f(x)＝x2－3.‎ ‎(1)求f(x)在x＝2处的导数；‎ ‎(2)求f(x)在x＝a处的导数．‎ 解　(1)∵＝ ‎＝＝4＋Δx，‎ ‎∴f′(2)＝ ＝ (4＋Δx)＝4.‎ ‎(2)∵＝ ‎＝＝2a＋Δx，‎ ‎∴f′(a)＝ ＝ (2a＋Δx)＝2a.‎ 反思与感悟　计算函数y＝f(x)在一点x0处的导数的步骤：‎ ‎(1)确定函数值的增量：‎ Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．‎ ‎(2)确定平均变化率 ＝.‎ ‎(3)当Δx趋于0时，得到导数f′(x0)‎ ‎＝ .‎ 跟踪训练1　求函数f(x)＝－x在点x＝4处的导数．‎ 解　＝ ‎＝－1.‎ ‎∴f′(4)＝ ＝ ＝－.‎ 探究点二　导函数 思考1　函数的导函数是怎样定义的？‎ 答　如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数f′(x)：f′(x)＝ ，‎ 则f′(x)是x的函数，称为f(x)的导函数．‎ 思考2　函数的导函数和函数在一点处的导数有何区别和联系？‎ 答　函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是一个确定的数；当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，f ′(x)＝ ，f′(x0)是f′(x)当x＝x0时的函数值．‎ 例2　求函数y＝f(x)＝＋5的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(2)．‎ 解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)‎ ‎＝＋5－＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴f′(x)＝＝＝－.‎ ‎∴f′(2)＝－.‎ 反思与感悟　f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的函数值．计算f′(x0)可以直接使用定义，也可以先求f′(x)，然后求f′(x)在x＝x0处的函数值f′(x0)．‎ 跟踪训练2　求函数f(x)＝－x2＋3x的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(3)，f′(－1)．‎ 解　f′(x)＝ ‎＝ ‎＝(－Δx－2x＋3)＝－2x＋3，‎ 即f′(x)＝－2x＋3，‎ ‎∴f′(3)＝－2×3＋3＝－3，‎ f′(－1)＝－2×(－1)＋3＝5.‎ 探究点三　导数公式表的应用 思考　利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？‎ 答　可以使用给出的导数公式表进行求导，简化运算过程，降低运算难度．‎ 例3　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝sin；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；‎ ‎(5)y＝log3x.‎ 解　(1)y′＝0；‎ ‎(2)y′＝(5x)′＝5xln 5；‎ ‎(3)y′＝′＝(x－3)′＝－3x－4；‎ ‎(4)y′＝()′＝(x)′＝x－＝；‎ ‎(5)y′＝(log3x)′＝.‎ 反思与感悟　对于教材中出现的几个导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现′＝cos这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，利用公式求导．‎ 跟踪训练3　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝x8；(2)y＝()x；(3)y＝x；(4)y＝logx.‎ 解　(1)y′＝8x7；‎ ‎(2)y′＝()xln ＝－()xln 2；‎ ‎(3)∵y＝x＝x，∴y′＝x；‎ ‎(4)y′＝＝－.‎ 例4　判断下面计算是否正确．‎ 求f(x)＝cos x在x＝处的导数，过程如下：‎ f′()＝′＝－sin ＝－.‎ 解　错误．应为f′(x)＝－sin x，‎ ‎∴f′()＝－sin ＝－.‎ 反思与感悟　函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x＝x0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x0代入导函数求解，不能先代入后求导．‎ 跟踪训练4　求函数f(x)＝在x＝1处的导数．‎ 解　f′(x)＝()′＝(x－)′‎ ‎＝－x－－1＝－x－＝－，‎ ‎∴f′(1)＝－＝－，‎ ‎∴函数f(x)在x＝1处的导数为－.‎ ‎1．给出下列结论：‎ ‎①若y＝，则y′＝－；‎ ‎②若y＝，则y′＝；‎ ‎③若y＝，则y′＝－2x－3；‎ ‎④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.‎ 其中正确的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　C 解析　①y＝＝x－3，‎ 则y′＝－3x－4＝－；‎ ‎②y＝＝x，则y′＝·x－≠；‎ ‎③y＝＝x－2，则y′＝－2x－3.‎ ‎④由f(x)＝3x，知f′(x)＝3，‎ ‎∴f′(1)＝3.∴①③④正确．‎ ‎2．函数f(x)＝，则f′(3)等于(　　)‎ A. B．0 C. D. 答案　A 解析　∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝.‎ ‎3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　)‎ A．[0，]∪[，π) B．[0，π)‎ C．[，] D．[0，]∪[，]‎ 答案　A 解析　∵(sin x)′＝cos x，kl＝cos x，‎ ‎∴－1≤kl≤1，∴αl∈[0，]∪[，π)．‎ ‎4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ．‎ 答案　e2‎ 解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，‎ ‎∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，‎ 即y＝e2x－e2.‎ 当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.‎ ‎∴S△＝×1×|－e2|＝e2.‎ ‎[呈重点、现规律]‎ ‎1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．‎ ‎2．有些函数可先化简再应用公式求导．‎ 如求y＝1－2sin2的导数．‎ 因为y＝1－2sin2＝cos x，‎ 所以y′＝(cos x)′＝－sin x.‎ ‎3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．‎ 一、基础过关 ‎1．下列结论中正确的个数为(　　)‎ ‎①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则f′(3)＝－；‎ ‎③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝.‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　D 解析　①y＝ln 2为常数，所以y′＝0.①错．‎ ‎2．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(　　)‎ A. B.或 C. D. 答案　B 解析　y′＝′＝－＝－4，x＝±，故选B.‎ ‎3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　)‎ A．4 B．－4 C．5 D．－5‎ 答案　A 解析　f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.‎ ‎4．曲线y＝x3的斜率等于1的切线有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定 答案　B 解析　∵y′＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点 处有斜率为1的切线．‎ ‎5．若f(x)＝10x，则f′(1)＝ .‎ 答案　10ln 10‎ 解析　f′(x)＝10xln 10，∴f′(1)＝10ln 10.‎ ‎6．曲线f(x)＝在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为 ．‎ 答案　－ ‎ 解析　f′(x)＝(x－)′＝－·x－，‎ ‎∴f′(1)＝－＝k，∴倾斜角的正切值为－.‎ ‎7．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝；‎ ‎(4)y＝log2x2－log2x；(5)y＝－2sin .‎ 解　(1)y′＝(x)′＝′＝x－1＝.‎ ‎(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.‎ ‎(3)y′＝()′＝′＝x－1＝x－＝.‎ ‎(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，‎ ‎∴y′＝(log2x)′＝.‎ ‎(5)∵y＝－2sin ‎＝2sin ‎＝2sin cos ＝sin x，‎ ‎∴y′＝(sin x)′＝cos x.‎ 二、能力提升 ‎8．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于(　　)‎ A．64 B．32 C．16 D．8‎ 答案　A 解析　∵y＝x－，∴y′＝－x－，‎ ‎∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，‎ ‎∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．‎ 令x＝0得y＝a－；‎ 令y＝0得x＝3a.‎ ‎∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝·3a·a－＝a＝18，‎ ‎∴a＝64.‎ ‎9．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　)‎ A. B．－ C．－e D．e 答案　D 解析　y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则 ‎∴＝·x0，∴x0＝1，∴k＝e.‎ ‎10．已知直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝ .‎ 答案　ln 2－1‎ 解析　设切点为(x0，y0)，‎ ‎∵y′＝，∴＝，‎ ‎∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝×2＋b，‎ ‎∴b＝ln 2－1.‎ ‎11．求与曲线y＝在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程．‎ 解　∵y＝，‎ ‎∴y′＝()′＝′＝x－，‎ 即在点P(8,4)处的切线的斜率为.‎ 从而适合题意的直线方程为y－4＝－3(x－8)，‎ 即3x＋y－28＝0.‎ ‎12．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．‎ 如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，利用导数的定义求h′(2)，并解释其实际意义．‎ 解　烟花在t＝2 s时的瞬时速度就是h′(2)．‎ 而＝＝－4.9－4.9Δt.‎ 所以h′(2)＝ ＝ (－4.9－4.9Δt)＝－4.9.‎ 即在t＝2 s时，烟花正以4.9 m/s的瞬时速度下降．‎ 三、探究与拓展 ‎13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 015(x)．‎ 解　f1(x)＝(sin x)′＝cos x，‎ f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，‎ f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，‎ f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，‎ f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，‎ f6(x)＝f2(x)，…，‎ fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4，‎ ‎∴f2 015(x)＝f3(x)＝－cos x.‎