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- 2021-06-30 发布
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相似三角形的判定
相似三角形的判定
这两个三角形的三个内角的大小有什么关系?
三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗?
三个内角对应相等。
观察你与老师的直角三角尺
,会相似吗?
(
30
O
与
60
O
)
思考
相
似
画
△
,使三个角分别为
60°
,
45°,
75°
。
①同桌分别量出两个三角形三边的长度;
②同桌这两个三角形相似吗
?
即: 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等,那么这两个三角形_______.
相似
一定需三个角吗?
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似.
相似三角形的识别方法:
思 考
如果两个三角形仅有一对角是对应相等的,那么它们是否一定相似?
观察
C
A
A
'
B
B
'
C
'
∵ ∠
A=∠A
'
, ∠B=∠B
'
∴
ΔABC ∽ ΔA
'
B
'
C
'
用数学符号表示:
相似三角形的识别
(
两个角分别对应相等的两个三角形相似
)
例1 如图所示,在两个直角三角形△
ABC
和△
A
′
B
′
C
′
中,∠
B
=∠
B
′=
90
°,∠
A
=∠
A
′,
判断这两个三角形是否相似.
C'
B'
A'
C
B
A
例题欣赏
解:∵ ∠
B
=∠
B
′=90°(
已知),
∠
A
=∠
A
′(
已知),
∴ △
ABC
∽△
A
′
B
′
C
′(
两个角分别对应相等的两个三角形相似.)
例2. 如图,△
ABC
中,
DE
∥
BC
,
EF
∥
AB
,
试说明△
ADE
∽△
EFC
.
A
E
F
B
C
D
用一用
例题分析
解: ∵
DE
∥
BC
,
EF
∥
AB
(
已知),
∴ ∠
ADE
=∠
B
=∠
EFC
(
两直线平行,同位角相等)
∠
AED
=∠
C
. (
两直线平行,同位角相等)
∴ △
ADE
∽△
EFC
. (
两个角分别对应相等的两个三角形相似.)
例
3.
弦
AB
和
CD
相交于⊙
o
内一点
P,
求证
:PA
·
PB=PC
·
PD
A
B
C
D
P
O
证明
:
连接
AC
、
BD
∵∠
A
、∠
D
都是
CB
所对的圆周角
⌒
∴ ∠
A=
∠
D
同理
:
∠
C=
∠
B
∴△
PAC∽
△
PDB
即
PA·PB=PC·PD
A
B
C
D
E
例
4.
已知
D
、
E
分别是
△ABC
的边
AB,AC
上的点,若
∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °
则
AD·AB= AE·AC
找一找
F
A
B
C
D
G
E
图
1
(
1
)图
1
中
DE∥FG∥BC
,找出图中所有的相似三角形。
(
2
)图
2
中
AB∥CD∥EF
,找出图中所有的相似三角形。
答:相似三角形有
△
ADE∽△AFG∽△ABC
。
答:相似三角形有
△
AOB∽△FOE∽△DOC
。
A
B
图
2
C
F
D
E
O
(
3
)在
△
ABC
和
△
A′B′C′
中,如果
∠
A
=
80°
,
∠
C
=
60°
,∠
A′
=
80°
,∠
B′
=
40°
,那么这两个三角形是否相似?为什么?
∠
B=180 °
-
(∠
A+∠C
)
=
180 °
-
(
80 °+60 °
)
=4
0 °
练一练
C
A
D
B
3.
找出图中所有的相似三角形
巩固练习
△
ACD
∽
△
CBD∽
△
ABC
你能写出对应边的比例式吗
?
A
B
D
C
图
3
填一填
(
1
)如图
3
,点
D
在
AB
上,当∠
=∠
时,
△
ACD∽△ABC
。
(
2
)如图
4
,已知点
E
在
AC
上,若点
D
在
AB
上,则满足
条件
,就可以使
△
ADE
与原
△
ABC
相似。
●
A
B
C
E
图
4
∠
ACD
∠
B
(
或者
∠
ACB
=∠
ADB
)
DE//BC
D
(
或者
∠
C
=∠
ADE
)
(
或者
∠
B
=∠
ADE
)
D
探索与思考
如图,在
Rt△ABC
的一边
AB
上有一点
P(
点
P
与点
A,B
不重合),过点
P
作直线截得的三角形与△
ABC
相似,想一想满足条件的直线共有多少条?试画出图形并简要说明理由.
思考:若三角形为任意三角形,点
P
为三角形任意一边上的点,则这样的直线有几条?
我们来试一试…
E
A
B
D
C
解: ∵ ∠
A= ∠ A ∠ABD=∠C
∴ △ABD ∽ △ACB
∴ AB : AC=AD : AB
∴ AB
2
= AD · AC
∵ AD=2 AC=8
∴ AB =4
3.
已知如图, ∠
ABD=∠C AD=2 AC=8
,求
AB
A
B
C
D
D
B
C
A
18
4 √2
12√2
5
、如图:在
Rt △ ABC
中, ∠
ABC=90
0
,
BD⊥AC
于
D
若
AB=6 AD=2
则
AC=
BD=
BC=
5
、如图:在
Rt △ ABC
中, ∠
ABC=90
0
,
BD⊥AC
于
D
A
B
D
C
E
F
问:若
E
是
BC
中点,
ED
的延长线交
BA
的延长线于
F
,
求证:
AB : AC=DF : BF
泰勒斯测量金字塔高度的示意图
:
A
A′
B C B′ C′
C
B
A
C′
B′
A′
如果人体高度
AC
=
1.7
米,人影长
BC
=
2.2
米,而
B′C′
=
176
米,你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗?
可证
△
ABC∽△A’B’C’
即
所以
A’ C’=1.7
x176÷2.2=136m
相似三角形的识别方法有那些?
方法1:通过定义
方法
5
:通过两角对应相等。
课 堂 小 结
(这可是今天新学的,要牢记噢!)
方法2:平行于三角形一边的直线。
方法
3
:三边对应成比例。
方法
4
:两边对应成比例且夹角。
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
2
1
O
C
B
A
D
常见
图形
O
C
D
A
B
A
B
C
D
E