甘肃省张掖市临泽县第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 15页

临泽一中2019-2020学年上学期期中试卷 高一数学 ‎（考试时间：120分钟试卷满分：150分）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合交集定义,即可求解.‎ ‎【详解】集合,‎ 由交集运算可得 故选:A ‎【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题.‎ ‎2.已知集合A＝{x|y，x∈Z}，则集合A的真子集个数为（　　）‎ A. 32 B. ‎4 ‎C. 5 D. 31‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定集合中元素个数，然后根据真子集数量的计算公式：得到结果.‎ ‎【详解】因为且，所以，故集合的真子集个数为：.‎ ‎【点睛】集合中含有个元素：则的子集个数为：；的真子集个数为：；‎ 的非空真子集个数为：.‎ ‎3.函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数对定义域要求,可得关于的不等式,解不等式即可.‎ ‎【详解】函数 根据对数对定义域要求可知, ‎ 解不等式可得,即 故选:D ‎【点睛】本题考查了对数函数定义域的求法,指数不等式的解法,属于基础题.‎ ‎4.若函数且在R上为减函数，则函数的图象可以是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数为减函数，得，又由当时，函数 ‎，在根据图象的变换和函数的奇偶性，即可得到函数图象，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数 且在R上为减函数，可得，‎ 又由函数的定义域为或，‎ 当时，函数，‎ 将函数的图象向右平移1个单位，即可得到函数的图象，‎ 又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及合理利用图象的变换求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.函数的递增区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得对数函数的定义域.由复合函数单调性判断方法,结合二次函数的开口及对称轴,即可判断单调递增区间.‎ ‎【详解】函数 定义域为,解不等式可得或 ‎ 即定义域为 由复合函数“同增异减”的原则可知,对数部分为单调递增函数 因此若函数递增 则为单调递增 二次函数开口向上,对称轴为,所以其单调递增区间为 结合函数定义域可知, 函数的递增区间为 故选:C ‎【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断,对数函数定义域的求法,属于基础题.‎ ‎6.设f(x)为定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则f(-2)=（ ）‎ A. 6 B. ‎-6 ‎C. 4 D. -4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∴f(x)为定义在R上的奇函数，且当时，，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴．选A． ‎ ‎7.函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的定义域,再利用同增异减以及二次函数的图像判断单调区间即可.‎ ‎【详解】令,得f(x)的定义域为 ‎,根据复合函数的单调性规律,即求函数在上的减区间,根据二次函数的图象可知为函数的减区间.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查对数函数的定义域以及复合函数的单调区间等,属于基础题型.‎ ‎8.设，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据来分段，然后根据指数函数性质，比较出的大小关系.‎ ‎【详解】由于，而，故，所以选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.‎ ‎9.若，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断值是大于1,还是在之间.再根据换底公式和对数的性质,即可判断的大小.‎ ‎【详解】因为 可得 则,即 且由换底公式将化为 不等式两边时乘以,可得 因为,不等式两边同时除以可得 由对数单调性可得 综上可知的关系为 故选:D ‎【点睛】本题考查了根据对数函数的大小比较参数,对数函数的运算及图像与性质的综合应用,属于中档题.‎ ‎10. 某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（ ）‎ A. 不增不减 B. 约增1.4%‎ C. 约减9.2% D. 约减7.8%‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设商品原始价格为1，则第一年年末的价格是120%，第二年年末的价格为120%×120%=144%，第三年年末的价格为144%×80%=115.2%，第四年年末的价格为115.2%×80%=92.16%，‎ 所以商品四年后的价格比原始价格降低了1-92.16%=7.84%．故选D．‎ 考点：本题主要考查等比数列的概念、函数模型．‎ 点评：增长率可用函数y=a（1+p）x来表示，其中p为增长率（或减少率）．‎ ‎11.已知是函数的零点，若，则的值满足（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据零点定义及函数单调性,结合零点存在定理即可判断的符号.‎ ‎【详解】因为是函数的零点 则 且为上单调递增函数 由零点存在定理可知当 故选:B ‎【点睛】本题考查了函数零点存在性的判定,函数单调性的综合应用,属于基础题.‎ ‎12.规定 ，，若，则函数的值域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义及,可求得的值.进而求得的解析式,即可求得函数的值域.‎ ‎【详解】因为,‎ 则 解方程可得 ‎ 则由定义可知 因为 ‎ 则 所以函数的值域为 故选:A ‎【点睛】本题考查了函数新定义的应用,函数值域的求法,属于基础题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.集合{x|x1}用区间表示为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：集合{x|x＜1}表示小于等于1的实数，用区间表示为 考点：集合的表示法 ‎14.若指数函数的图象过点，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设指数函数为，代入点的坐标求出的值，再求的值.‎ ‎【详解】设指数函数为，‎ 所以.‎ 所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查指数函数的解析式的求法和指数函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15.已知幂函数的图象过点，则的值为________.‎ ‎【答案】1 ‎ ‎【解析】‎ 分析：首先根据函数类型设出函数的解析式，利用函数图像所过的点，代入求得参数的值，从而求得函数解析式，之后再将相关的自变量的值代入求得函数值，利用对数式的意义求得结果.‎ 详解：设，其图像过点，‎ 则有，解得，‎ 即，所以，则.‎ 点睛：该题属于求函数值的问题，在求解的过程中，因为知道函数的类型，所以需要应用待定系数法求函数解析式，将点的坐标代入求得参数，在求出解析式之后，将相应的自变量代入，求得相应的函数值，再从对数的角度确定最后的结果.‎ ‎16.二次函数在区间上是增函数，则实数的取值范围用区间表示为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的单调区间与对称轴的关系,即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】因为二次函数 则对称轴为 ‎ 二次函数在区间上是增函数 则 解得,即 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数对称轴与单调区间的关系,属于基础题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知函数满足，求的解析式．‎ ‎【答案】，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，用代替，得到新的方程，与条件的方程构成方程组，解出.‎ ‎【详解】由，①‎ 用代替上式的 得，②‎ ‎，得.‎ 即.‎ 故解析式是，.‎ 点睛】本题考查利用构造方程组法求函数解析式，属于简单题.‎ ‎18.计算：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）25（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分数指数幂与根式的转化,化简即可得解.‎ ‎（2）由对数的运算及换底公式,化简即可得解.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎（2）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎【点睛】本题考查了分数指数幂与根式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于基础题.‎ ‎19.己知函数有唯一零点．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)当时，求函数的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类时为一次函数，只有一个零点，时，为二次函数，；‎ ‎（2）按（1）的结果分类求值域.‎ ‎【详解】(1)当时:， 符合题意:当时:；‎ ‎(2)当时:单调递增， 值域为;‎ 当时:, 值域为.‎ ‎【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题关键是对最高次项系数按是否为0分类讨论.‎ ‎20.已知函数且的图象经过点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数函数过的点,代入即可求得的值.‎ ‎（2）代入的值,结合指数函数的单调性,解不等式即可得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）∵且的图象经过点 ‎∴,由且 可得 ‎（2）由（1）得 若,代入 可得 由指数函数的单调性可知满足 解得,即 ‎【点睛】本题考查了指数函数解析式的求法,根据指数函数的单调性解不等式,属于基础题.‎ ‎21.“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，减少空气污染，某空气净化器制造厂，决定投入生产某种惠民型的空气净化器．根据以往的生产销售经验得到年生产销售的统计规律如下：①年固定生产成本为2万元；②每生产该型号空气净化器1百台，成本增加1万元；③年生产x百台的销售收入（万元）．假定生产的该型号空气净化器都能卖出（利润＝销售收入﹣生产成本）．‎ ‎（1）为使该产品的生产不亏本，年产量x应控制在什么范围内？‎ ‎（2）该产品生产多少台时，可使年利润最大？‎ ‎【答案】（1）100台到550台之间；（2）年产300台时，可使利润最大 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，成本函数为，从而年利润函数为，要使不亏本，利用分段函数和二次函数的性质，即可求解．‎ ‎（2）利用分段函数，求得每支上的最大值，即可得到函数的最大值，得到答案．‎ ‎【详解】（1）由题意得，成本函数为， ‎ 从而年利润函数为．‎ 要使不亏本，只要L（x）≥0，‎ ‎①当0≤x≤4时，由L（x）≥0得﹣0.5x2+3x﹣2.5≥0, 解得1≤x≤4， ‎ ‎②当x＞4时，由L（x）≥0得5.5﹣x≥0, 解得4＜x≤5.5 ‎ 综上1≤x≤5.5 ‎ 答：若要该厂不亏本，产量x应控制在100台到550台之间 ‎（2）当0≤x≤4时，L（x）= -0.5(x﹣3)2+2，‎ 故当x =3时，L（x）max=2（万元），‎ 当x＞4时，L（x）＜1.5＜2． ‎ 综上，当年产300台时，可使利润最大 ‎【点睛】本题考查了函数的实际应用问题，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案．‎ ‎22.已知函数为奇函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）探究的单调性，并证明你的结论；‎ ‎（3）求满足的的范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）在上递增，证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数是上的奇函数，利用列方程，解方程求得的值.‎ ‎（2）判断是上的增函数，并利用单调性的定义进行证明；‎ ‎（3）根据函数在上递增，求解出不等式中的范围.‎ ‎【详解】（1）由于是定义在上的奇函数，故，解得，所以.‎ ‎（2）是上增函数，证明如下：任取，，由于，所以，，所以，即，所以在上为增函数.‎ ‎（3）由于在上为增函数，所以由得，即，解得.‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性求函数的解析式，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，属于中档题.‎