【数学】2019届一轮复习人教A版 不等式选讲 学案 40页

一．学习目标 ‎【学习目标】‎ ‎1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：‎ ‎①|a＋b|≤|a|＋|b|；‎ ‎②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.‎ ‎2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：‎ ‎|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.‎ ‎3．会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最(极)值．‎ ‎4．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．‎ 二．知识要点 ‎【知识要点】‎ ‎1．绝对值的概念和几何意义 代数：|a|＝ 几何意义：|a|表示数轴上坐标为±a的点A到原点的距离．‎ ‎2．绝对值不等式性质 ‎|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.‎ ‎(1)|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时取等号；‎ ‎(2)|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时取等号．‎ ‎3．绝对值不等式的解法 原则是转化为不含绝对值的不等式求解．‎ 基本型：a＞0，|x|＜a⇔-aa ．‎ ‎(1)c＞0，|ax＋b|≤c⇔，|ax＋b|≥c⇔．‎ ‎(2)c＞0，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.‎ 三种解法：图解法(数形结合)、零点分区法(定义)、绝对值的几何意义(数轴)．‎ ‎4．比较法证明不等式 ‎(1)作差比较法：‎ 知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明ａ－ｂ＞０‎ 即可，这种方法称为作差比较法．‎ ‎(2)作商比较法：‎ 由a＞b＞0⇔＞1且a>0，b＞0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明即可，这种方法称为作商比较法．‎ ‎5．综合法证明不等式 从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，即“由因导果”的方法．这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法．‎ ‎6．分析法证明不等式 证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它 成立的充分条件 ‎ ‎，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、性质、或已证明的定理 ‎ 等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．‎ ‎7．反证法证明不等式 先假设要证的命题不成立 ‎ ‎，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾的结论，以说明假设不正确 ‎ ‎，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．‎ ‎8．放缩法证明不等式 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小 ‎ ‎，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．‎ 三．方法总结 ‎1.含绝对值不等式的求解策略 ‎(1)解含有绝对值的不等式的指导思想是设法去掉绝对值符号.常用的方法是：①由定义分段讨论(简称零点分区间法)；②利用绝对值不等式的性质(题型法)；③平方法；④数形结合法等.‎ ‎(2)解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论.注意：①要考虑参数的总取值范围.②用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏.‎ ‎(3)含绝对值不等式的证明，要善于应用分析转化法.‎ ‎(4)灵活运用绝对值不等式的两个重要性质定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，特别注意等号成立的条件.‎ ‎2.作差比较法是证明不等式最基本、最重要的方法，其关键是变形，通常通过因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断.‎ ‎3.综合法证明不等式时，主要利用基本不等式、函数的单调性以及不等式的性质，在严密的推理下推导出结论，综合法往往是分析法的逆过程，所以在实际证明时，用分析法分析，用综合法表述证明推理过程.‎ ‎4.某些不等式的条件与结论，或不等式的左右两边联系不明显，用作差法又难以对差进行变形，难以运用综合法直接证明，这时常用分析法，以便发现联系.分析的过程中，综合条件、定理等因素进行探索，把分析与综合结合起来，形成分析综合法.‎ ‎5.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法，凡是含有“至少”“唯一”或者含有其他否定词的命题，适宜用反证法.‎ ‎6.放缩法是一种常用的证题技巧，放缩必须有目标，而目标可以从求证的结论中和中间结果中寻找.常用的放缩技巧有添舍放缩，拆项对比放缩，利用函数的单调性和重要不等式放缩等.‎ 四．高考命题类型及分析 ‎1.绝对值不等式中的存在性问题 例1. 1．已知函数，且的解集为 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ 试题解析：（1）不等式的解集为 又∵的解集为 ‎∴，∴‎ ‎（2）∵，使得成立 ‎∴，使得∴，‎ 令 ‎∴，‎ ‎∴∴.‎ 练习1. 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ)解不等式；‎ ‎（Ⅱ）记，,若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】【试题分析】(I)利用含有一个绝对值的不等式的解法,可求得不等式的解集.(II)的值域为.利用基本不等式可求得函数的值域为.由于,所以,由此得到.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（Ⅰ) .‎ ‎（Ⅱ）,‎ ‎2. 绝对值不等式中的恒成立问题 例2. 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）已知，若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般利用零点讨论法解双绝对值的不等式.（2）第（2）问，一般先求左边的最大值利用柯西不等式求的最小值2，再解不等式.‎ 试题解析：（1）等价于，‎ 当时原不等式转化为，即，此时空集；‎ 当时原不等式转化为，即，此时；‎ 当时原不等式转化为，即，此时.‎ 综上可得，原不等式解集为.‎ ‎（2） .‎ 又由柯西不等式，得 ，‎ 由题意知，解得.‎ 练习1. 已知.‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)对于任意实数，不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，‎ 得；得；得，‎ 所以的解集为.‎ ‎（2）对于任意实数，不等式成立，即恒成立，‎ 又因为，‎ 要使原不等式恒成立，则只需，‎ 当时，无解；当时，，解得；‎ 当时，，解得.‎ 所以实数的取值范围是.‎ 练习2. 设.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）. （2）.‎ 解析：‎ ‎（1）当时，解得，故此情况无解；‎ 当时，解得，故；‎ 当时，解得，故.‎ 综上所述，满足的解集为. ‎ ‎（2）当时，可知对于，不等式均成立；‎ 当时，由已知可得恒成立，的最小值 当或时，等号成立. ‎ 综上所述，使得不等式恒成立的的取值范围为.‎ 练习3．已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）已知，若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ 试题解析：（1）不等式可化为：①‎ 当时，①式为，解得；‎ 当时，①式为，解得；‎ 当时，①式为，无解.‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎（2）解： ‎ 令 ‎ ‎∴，要使不等式恒成立，只需，即 ‎∴实数取值范围是.‎ ‎【方法总结】：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ 练习4．[选修4-5：不等式选讲]‎ 设函数，其中.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时，恒有，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，，化为，可得或，从而可得不等式的解集；（2）化简，因为，∴时，‎ 恒成立，又时，当时，，∴只需即可，所以.‎ 试题解析：（1）当时，，‎ 所以，所以或，‎ 解集为.‎ ‎（2），因为，∴时，恒成立，‎ 又时，当时，，∴只需即可，‎ 所以. ‎ 练习5．选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；‎ ‎（2）若，只需即可，将看作整体解不等式即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，不等式，即．‎ 可得，或，或．‎ 解得．‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎3.均值不等式中的范围问题 例3. （1）解不等式；‎ ‎（2）已知实数，，满足，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；‎ ‎（2）由，，，三式相加得：，因为，所以，即可得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由 可化为 或 或，‎ 解得，‎ 所以，不等式的解集为． ‎ ‎（2） 因为，，，‎ 三式相加得：，‎ 即，（当且仅当时，取“=”）‎ 又因为 所以，（当且仅当时，取“=”，有无数组解）‎ 故的取值范围为 练习1. 已知函数，．‎ ‎（1）求不等式的解集．‎ ‎（2）记在上最大值为，若，求正实数的取值范围．‎ ‎【答案】（）；（）‎ ‎【解析】试题分析：（1）第一问，先对x分类讨论，得到一个分段函数，再解不等式. (2)第二问，分类讨论得到两个解集，再求它们的并集，从而得到正实数a的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（）由题意知，，‎ ‎①当时，令，解得．‎ ‎②当时，令，解得．‎ 综上所述．‎ ‎（）①当时，令，解得．‎ ‎②当时，令，解得．‎ 故时，，故正实数的取值范围为．‎ ‎【方法总结】：本题的难点，在于思维的逻辑和灵活性，如果直接研究在上最大值为，就要对a分类讨论，比较复杂. 本题先令，再求它们的并集就简单多了.所以我们在平时的学习中，要多思考，多总结，提高解题的灵活性.‎ 练习2. 已知函数，.‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若的解集为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 试题解析：(1)∵，∴，∴.‎ ‎(2)∵的解集为，‎ ‎∴，而，‎ ‎∴当时，,时，,经检验的解集为.‎ ‎4.绝对值不等式的证明问题 例4. 已知函数，.‎ ‎（1）当，解不等式；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）.（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）当，不等式即，零点分段可得不等式的解集为.‎ ‎（2）由题意结合绝对值不等式的性质可得： ‎ ‎ .‎ 试题解析：‎ ‎（1）当，‎ 或或 或或 或，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2） .‎ 练习1. 选修4-5：不等式选讲 设函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若正实数，满足，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) m＝1 (2)‎ ‎【解析】试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值，得到分段函数的表达式，根据图像即可得到函数最值；（2）将要求的式子两边乘以(b＋1)＋(a＋1)，再利用均值不等式求解即可.‎ 解析：‎ 当且仅当a＝b＝时取等号．‎ 即＋的最小值为．‎ 练习2. 已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）若正实数满足，求证：．‎ ‎【答案】（1）2；（2）见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由绝对值三角不等式即可得最值；‎ ‎（2）由即可证得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当且仅当时，等式成立．‎ ‎（2）则，当且仅当时取，等号成立．‎ 练习3. 已知函数的最小值为 ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)若,且,求证: .‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】试题分析：(1)利用绝对值的三角不等式，即可求解函数的最小值，从而得到实数的值；‎ ‎(2)由(1)知,且,利用柯西不等式作出证明即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)因为,当且仅当,‎ 即时取等号,所以的最小值为3,于是 ‎(2)由(1)知,且,由柯西不等式得 ‎ .‎ 练习4．已知， ，且.‎ ‎(1)若恒成立，求的取值范围；‎ ‎(2)证明： .‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(1)由 ‎，可得，对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；(2) 由柯西不等式，可得.‎ 当时， ，解得，故；‎ 当时， ，解得，故；‎ 综上， .‎ ‎(2) ‎ ‎.‎ 另解：‎ 由柯西不等式，可得 练习4. 已知函数 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记函数的值域为，若，证明： .‎ ‎【答案】(1) （2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；‎ ‎（2）求出M，根据m的范围以及不等式的性质证明结论即可．‎ 试题解析：‎ ‎(1)依题意，得 于是得或或 解得，‎ 即不等式的解集为.‎ ‎（2），‎ 当且仅当时，取等号，‎ ‎∴，‎ 原不等式等价于，‎ ‎，‎ ‎∵，∴， ，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎5.均值不等式的灵活运用 例5. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，函数的最小值为，（），求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ 试题解析：（1）当时，不等式为 两边平方得，解得或 ‎∴的解集为 ‎（2）当时，，可得，‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴ ，当且仅当，即，时取等号.‎ 练习1. 已知， ， ，函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当的最小值为时，求的值，并求的最小值.‎ ‎【答案】(1) 或 (2)3‎ ‎【解析】试题分析：（1）当a=b=c=1时，不等式即|x+1|+|x﹣1|+1＞3，化为：|x+1|+|x﹣1|＞2．对x与±1的大小关系分类讨论即可得出．‎ ‎（2）．可得，再利用均值不等式的性质即可得出．‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ 或或，‎ 解得或.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎．‎ 当且仅当时取得最小值．‎ 练习2. 已知均为实数.‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】【试题分析】（1）利用分组分解法将原不等式变形为 从而得证.（2）因为，所以.‎ ‎【试题解析】‎ 证明：（1）法一： ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 所以.‎ 法二： ‎ ‎，‎ 所以. ‎ 练习3. 已知正实数，函数.‎ ‎（1）若，解关于的不等式；‎ ‎（2）求证： .‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）可利用绝对值的性质去掉绝对值符号，然后解不等式组；‎ ‎（2）利用基本不等式有，相乘可证．‎ 试题解析：‎ ‎（1）原不等式等价于 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）∵, ,为正数，所以有 ‎，∴‎ ‎【方法总结】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎6.任意存在问题综合 例6. 已知函数，‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，，使，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；（2），，使等价于函数的值域是函数的值域的子集，根据绝对值不等式的性质等价于，解不等式即可求出实数的取值范围.‎ 试题解析：∵函数，且 ‎∴，或，或 ‎∴‎ ‎∴不等式的解集为 ‎【方法总结】：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎7.不等式证明综合 例7．已知均为实数.‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】【试题分析】（1）利用分组分解法将原不等式变形为 从而得证.（2）因为，所以.‎ ‎【试题解析】‎ 证明：（1）法一： ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 所以.‎ 法二： ‎ ‎，‎ 所以. ‎ ‎（2）证明：因为 (由柯西不等式得）‎ 所以，‎ 当且仅当即时， 有最小值.‎ 练习1．（提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准）‎ ‎（1）设， ， ，且 求证： ‎ ‎（2）设（）求证： ‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由柯西不等式证明；（2）由排序不等式证明。‎ 试题解析：‎ ‎（1）证：左式=‎ ‎=‎ ‎=‎ 练习2. 已知.‎ ‎（1）求在上的最大值及最小值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设，且，求证： .‎ ‎【答案】(1) ， ；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值得到，根据图像可得到函数的最值；（2）将式子变形为. 由柯西不等式得到最值.‎ 解析：‎ ‎（1）‎ 时， ， . ， ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎.‎ 练习3. 已知：a、b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2.求证：1＜a＋b＜.‎ ‎【答案】见解析 试题解析：‎ 根据已知条件有：（a﹣b）（a2+ab+b2）=（a﹣b）（a+b） ①；‎ ‎∵a≠b；‎ ‎∴①式两边同除以a﹣b得：a2+ab+b2=a+b；‎ ‎∴（a+b）2=a+b+ab；‎ ‎∴ab=（a+b）2﹣（a+b）；‎ ‎∵；‎ ‎∴；‎ ‎∴，解得：‎ ‎1＜a＋b＜．‎ 五．真题演练 ‎1. 若函数的最小值为5，则实数a=_______.‎ ‎【答案】或 ‎【考点定位】绝对值的性质，分段函数.‎ ‎【名师点晴】与绝对值有关的问题，我们可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把问题转化为不含绝对值的式子（函数、不等式等），本题中可利用绝对值定义把函数化为分段函数，再利用函数的单调性求得函数的最小值，令此最小值为5，求得的值．‎ ‎2. 已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将代入，不等式等价于，对按，，讨论，得出最值的解集；（2）当时，‎ ‎.若的解集包含，等价于当时.则在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.‎ 试题解析：（1）当时，不等式等价于.①‎ 当时，①式化为，无解；‎ 当时，①式化为，从而；‎ 当时，①式化为，从而.‎ 所以的解集为.‎ ‎（2）当时，.‎ 所以的解集包含，等价于当时.‎ 又在的最小值必为与之一，所以且，得.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法，恒成立问题.‎ ‎【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图像解题.‎ ‎3. 【2017课标II，理23】已知。证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）。‎ ‎【答案】(1)证明略；‎ ‎(2)证明略。‎ ‎【解析】‎ 试题解析：(1)‎ ‎(2)因为 所以，因此。‎ ‎【考点】 基本不等式；配方法。‎ ‎【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题。若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法。‎ ‎4. 【2017课标3，理23】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.‎ ‎（1）求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；‎ ‎(2) ‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）‎ 当时，无解；‎ 当时，由得，，解得 当时，由解得.‎ 所以的解集为.‎ ‎（2）由得，而 且当时，.‎ 故m的取值范围为.‎ ‎【考点】 绝对值不等式的解法 ‎【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.‎ ‎5. ［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）‎ ‎ 已知为实数，且证明 ‎【答案】见解析 ‎【解析】证明：由柯西不等式可得：，‎ 因为 所以，‎ 因此.‎ ‎【考点】柯西不等式 ‎【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0或存在一个数 ，使ai＝ bi(i＝1,2，…，n)时，等号成立.‎ ‎6. 解不等式 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【考点定位】含绝对值不等式的解法 ‎【名师点晴】①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎7. 【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式的解集为．‎ ‎（I）求实数，的值；‎ ‎（II）求的最大值．‎ ‎【答案】（I），；（II）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）先由可得，再利用关于的不等式的解集为可得，的值；（II）先将变形为，再利用柯西不等式可得的最大值．‎ 试题解析：（I）由，得 则解得,‎ ‎（II）‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 故.‎ 考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式和柯西不等式，属于容易题．解题时一定要注意不等式与方程的区别，否则很容易出现错误．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．用柯西不等式证明或求最值要注意：①所给不等式的形式是否与柯西不等式的兴致一致，若不一致，需要将所给式子变形；②等号成立的条件．‎ ‎8. 【2015高考新课标2，理24】（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设均为正数，且，证明：‎ ‎（Ⅰ）若，则；‎ ‎（Ⅱ）是的充要条件．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．‎ ‎（ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件．‎ ‎【考点定位】不等式证明．‎ ‎【名师点睛】（Ⅰ）要证明，只需证明，展开结合已知条件易证；（Ⅱ）充要条件的证明需要分为两步，即充分条件的证明和必要条件的证明．证明的关键是寻找条件和结论以及它们和已知之间的联系．‎ ‎9. 【2014全国2，理20】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数=‎ ‎（Ⅰ）证明：2；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以 ‎ ‎，解得：.‎ ‎【考点定位】绝对值函数及不等式.‎ ‎【名师点睛】本题考查了绝对值函数，绝对值的性质，解绝对值不等式的方法，计算能力，逻辑推理能力，属于基础题．‎ ‎10. 【2014课标Ⅰ，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 若，且.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在．‎ ‎【解析】（I）由，得，且当时取等号．故，且当时取等号．所以的最小值为．‎ ‎（II）由（I）知，．由于，从而不存在，使得．‎ ‎【考点定位】基本不等式．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查基本不等式在求函数最值中的应用,在使用基本不等式时一定要注意不等式成立的条件，要注意检验等号成立条件是否具备,本题考查了考生的计算能力和化归和转化问题的能力.‎ ‎11. 【2015高考新课标1，理24】选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）由题设可得，，‎ ‎ 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，所以△ABC的面积为.‎ 由题设得＞6，解得.‎ 所以的取值范围为（2，+∞）. ……10分 ‎【考点定位】含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法 ‎【名师点睛】对含有两个绝对值的不等式问题，常用“零点分析法”去掉绝对值化为若干个不等式组问题，原不等式的解集是这些不等式组解集的并集；对函数多个绝对值的函数问题，常利用分类整合思想化为分段函数问题，若绝对值中未知数的系数相同，常用绝对值不等式的性质求最值，可减少计算.‎ ‎12. （本小题满分7分）选修4—5：不等式选将 ‎ 已知定义在R上的函数的最小值为.‎ ‎ （I）求的值；‎ ‎ （II）若为正实数，且，求证：.‎ ‎【答案】（I）;（II）参考解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（I）已知定义在R上的函数的最小值,由绝对值的性质可得函数的最小值.即可得到结论.‎ ‎（II）由（I）可得,再根据柯西不等式即可得到结论.‎ 试题解析：（I）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.‎ ‎（II）由（I）知,又因为是正数,所以,即.‎ 考点：1.绝对值不等式.2.柯西不等式.‎ ‎【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,求含绝对值的函数的最值常用绝对值三角不等式,有关的结论是 ‎,在求最值时要注意等号成立的条件,如,.‎ ‎13. 【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲 已知，函数的最小值为4．‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求的最小值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)．‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为，当且仅当时，等号成立，又，所以,所以的最小值为,‎ 所以．‎ ‎【考点定位】1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式．‎ ‎【名师点睛】当的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如的函数的最小值，以及解析式形如的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值．利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标．‎ ‎14. 设，且.‎ ‎（1）；‎ ‎（2）与不可能同时成立.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将已知条件中的式子可等价变形为，再由基本不等式即可得证；（2）利用反证法，‎ 假设假设与同时成立，可求得，，从而与矛盾，即可得证 试题解析：由，，，得，（1）由基本不等式及，有，即；（2）假设与同时成立，则由及得，同理，从而，这与矛盾，故与不可能成立.‎ ‎【考点定位】1.基本不等式；2.一元二次不等式；3.反证法.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子 作等价变形，再利用基本不等式即可求解，第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，‎ 否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注.‎ ‎15. 【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；‎ ‎（II）求不等式的解集．‎ ‎【答案】（I）见解析（II）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）取绝对值得分段函数,然后作图；（II）用零点分 区间法分,,,分类求解,然后取并集。‎ 试题解析：⑴如图所示：‎ ‎⑵ ‎ ‎,当,,解得或,‎ 当,,解得或 或 当,,解得或,或 综上,或或,,解集为 考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法 ‎16. 【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲 已知函数，为不等式的解集．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）分，和三种情况去掉绝对值，再解不等式，即可得集合；（Ⅱ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，确定和的符号，从而证明不等式成立.‎ 试题解析：（I）‎ 当时，由得解得；‎ 当时， ；‎ 当时，由得解得.‎ 所以的解集.‎ 考点：绝对值不等式，不等式的证明. ‎ ‎【名师点睛】形如(或)型的不等式主要有三种解法：‎ ‎(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，， (此处设)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．‎ ‎(2)几何法：利用的几何意义：数轴上到点和的距离之和大于的全体，.‎ ‎(3)图象法：作出函数和的图象，结合图象求解．‎ ‎17. 【2016高考新课标3理数】选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（I）当时，求不等式的解集；‎ ‎（II）设函数．当时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用等价不等式，进而通过解不等式可求得；（Ⅱ）根据条件可首先将问题转化求解的最小值，此最值可利用三角形不等式求得，再根据恒成立的意义建立简单的关于的不等式求解即可．‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，.‎ 解不等式，得，‎ 因此，的解集为. ………………5分 ‎（Ⅱ）当时，‎ ‎，‎ 考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用．‎ ‎【易错警示】对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对，当且仅当时，等号成立，对，如果，当且仅当且时左边等号成立，当且仅当时右边等号成立．‎