2017-2018学年广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高二12月月考数学（理）试题 9页

‎2017-2018学年广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高二12月月考理科数学试卷 注意事项：‎ ‎1.本卷为高二年级理科实验班第12月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1．下列说法中正确的是(　　)．‎ A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价 C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”‎ D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 ‎2.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 ‎ C. 若，则 D. 若，则 ‎3.函数y=x2cosx的导数为（　　）‎ A．y′=2xcosx﹣x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinx C．y′=x2cosx﹣2xsinx D．y′=xcosx﹣x2sinx ‎4．下列命题中的假命题是(　　)．‎ A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0‎ C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2‎ ‎5.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ）‎ 充分而不必要条件 必要而不充分条件 ‎ 充分必要条件 既不充分又不必要条件 ‎6.已知直线y=k（x﹣2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，若|AB|=9，则k=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图所示，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为(　　)．‎ A. 　　　 B. ‎ C. 　　　 D. ‎8.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC1的中点，‎ 则DE与平面ABC1D1所成角的正切值为(　 　)‎ A. B. C. D. ‎9.过双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长FM交双曲线C1于点N，若点M为线段FN的中点，则双曲线C1的离心率为（　　）‎ A． B． C． +1 D．‎ ‎10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）‎ A.45° B.60° C.90° D.120°‎ ‎11.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（，2） D．[，）‎ 二、填空题（共4题，每题5分）‎ ‎13．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线＝4x的焦点，则实数a＝________.‎ ‎14．过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则•+•的最大值等于　 　．‎ ‎15.过点作圆的两条切线，切点分别为，，则点到直线的距离为 ．‎ ‎16.如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为　 　．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17. 设命题幂函数在上单调递减,命题 在上有解；若为假， 为真，求的取值范围.‎ ‎18.如图，在直三棱锥A1B1C1﹣ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．‎ ‎（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；‎ ‎（2）求平面ADC1与平面A1BA所成的二面角（是指不超过90°的角）的余弦值．‎ ‎19.如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．‎ ‎（1）求证：A1B∥面ADC1； ‎ ‎（2）求直线B1C1与平面ADC1所成角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎20.如图，在棱长为1的正方体中:‎ （1） 求异面直线与所成的角的大小；‎ （2） 求证：。‎ ‎21.如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）E是侧棱PB上一点，记，‎ 是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎22.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）是否存在点E，使得为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案：‎ 1. D2.A3.A4.B5.A6.D7.D8.D9.A10.B11.C12.A ‎13.－1. 14. ﹣16．15.16.‎ 17. 的取值范围为.‎ 18. ‎（1）余弦值为．‎ ‎（2）．‎ ‎19：（1）证明：如图，以{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），B1（2，0，4），C1（0，2，4）‎ ‎∴，，，‎ 设平面ADC1的法向量为，由 ‎∴取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为 由此可得，‎ 又A1B⊄平面ADC1，‎ ‎∴A1B∥面ADC1．‎ ‎（2）解：，设直线B1C1与平面ADC1所成角为θ，则，‎ 又θ为锐角，‎ ‎∴直线B1C1与平面ADC1所成角的余弦值为．‎ ‎20.（1）解：∵AA1∥BB1，‎ ‎∴异面直线BC1与AA1所成的角就是BC1与BB1所成的角，即∠B1BC1=45o，‎ 故异面直线BC1与AA1所成的角为45o ‎ ‎（3） 证明：如图，连结BD、B1D1 ，‎ ‎∵A1B1C1D1是正方形，‎ ‎∴A1C1⊥B1D1，‎ 又∵BB1⊥底面A1B1C1D1，A1C1底面A1B1C1D1，‎ ‎∴A1C1⊥BB1，‎ ‎∴A1C1⊥平面BB1D1D，‎ ‎∴B1D⊥A1C1，同理可证：B1D⊥BC1，且A1C1∩BC1= C1‎ 故B1D⊥平面A1C1B ‎21.‎ ‎（1）证明：由已知，得，∵，，‎ 又，∴．又底面，平面，则，∵平面，平面，且，∴平面．∵平面，∴平面平面．‎ ‎（2）解：以为坐标原点，过点作垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图3所示．则，因为在平行四边形中，，则，∴‎ ‎．又，知．设平面的法向量为，则即取，则．设平面的法向量为，则即取，则．‎ 若平面与平面所成的二面角为，则，即，‎ 化简得，即，解得（舍去）或．于是，存在，使平面与平面所成的二面角为．‎ ‎22.（1）由，设a=3k（k＞0），‎ 则，b2=3k2，‎ 所以椭圆C的方程为，‎ 因直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即，‎ 代入椭圆方程，解得y=±k，于是，即，‎ 所以椭圆C的方程为；（4分）‎ ‎（2）假设存在点E，使得为定值，设E（x0，0），‎ 当直线AB与x轴重合时，有，‎ 当直线AB与x轴垂直时，，‎ 由，解得，，‎ 所以若存在点E，此时，为定值2．‎ 根据对称性，只需考虑直线AB过点，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 又设直线AB的方程为，与椭圆C联立方程组，‎ 化简得，所以，，‎ 又，‎ 所以，‎ 将上述关系代入，化简可得．‎ 综上所述，存在点，使得为定值2．（12分）‎ ‎ ‎