高中数学 1-3-2 函数的极值与导数双基限时训练 新人教版选修2-2 5页

‎【名师一号】2014-2015学年高中数学 ‎1-3-2‎ 函数的极值与导数双基限时训练 新人教版选修2-2‎ ‎1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有(　　)‎ A．1个　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析　设x0为f(x)的一个极小值点，则在x0左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，由y＝f′(x)的图象知，只有一个适合．‎ 答案　A ‎2．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于(　　)‎ A．2 B．1‎ C．－1 D．－2‎ 解析　y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.可判断函数y＝3x－x3在x＝1处取得极大值，因此极大值点的坐标为(1,2)，即b＝1，c＝2，又ad＝bc，∴ad＝2.‎ 答案　A ‎3．三次函数当x＝1时，有极大值，当x＝3时，有极小值，且函数的图象过原点，则该三次函数为(　　)‎ A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x 解析　本题若直接求解，相当于解一个大题，本题按照小题小做的原则，可采用试验找答案，显然四个函数的图象都过原点，下面分别求导函数，验证x＝1和x＝3都是导函数的根，对于B，y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．当x＝1和x＝3时，有y′＝0.而其他不适合题意．‎ 答案　B ‎4．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)‎ A．(2,3) B．(3，＋∞)‎ C．(2，＋∞) D．(－∞，3)‎ 解析　y′＝6x2＋2ax＋36.依题意知6×22＋‎4a＋36＝0，∴a＝－15，∴y′＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，易知当x>3时，y′>0，∴函数的一个增区间为(3，＋∞)．‎ 答案　B ‎5．函数f(x)＝x3－2ax2＋‎3a2x在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(0，＋∞) B．(－∞，3)‎ C. D. 解析　f′(x)＝x2－4ax＋‎3a2＝(x－a)(x－‎3a)，易知a≠0，∴f′(0)＝‎3a2>0，Δ＝(－‎4a)2－‎12a2＝‎4a2>0，依题意可得解得00，解得a<－1，或a>2.‎ 答案　a>2或a<－1‎ ‎7．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋m，在R上的极大值为20，则实数m＝________.‎ 解析　f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，‎ 当－1＜x<3时，f′(x)>0，‎ 当x>3时，f′(x)<0，‎ ‎∴当x＝3时，f(x)有极大值，则 f(3)＝－33＋3×32＋9×3＋m＝20，‎ ‎∴m＝－7.‎ 答案　－7‎ ‎8．曲线y＝x2＋4lnx上切线斜率的极小值为________．‎ 解析　y′＝x＋(x>0)，令g(x)＝x＋，则g′(x)＝1－.令g′(x)＝0，得x＝2.当x∈(0,2)时，g′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时g′(x)>0，∴当x＝2时，g(x)有极小值g(2)＝2＋＝4.‎ 答案　4‎ ‎9．函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：‎ ‎①－3是函数y＝f(x)的极值点；‎ ‎②－1是函数y＝f(x)的最小值点；‎ ‎③y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增；‎ ‎④y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零．‎ 以上正确命题的序号是________．‎ 解析　由f′(x)的图象知，在－3的左右两侧f′(x)符号左负右正，是极值点，故①正确；②错；在(－3,1)上f′(x)≥0，故③正确；k＝f′(0)>0，故④错．‎ 答案　①③‎ ‎10．设x＝－2，x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．‎ ‎(1)求常数a，b；‎ ‎(2)判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．‎ 解　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，‎ 由极值点的必要条件可知，x＝－2，x＝4是方程 f′(x)＝0的两根．‎ ‎∴a＝－3，b＝－24.‎ ‎(2)f′(x)＝3x2－6x－24＝3(x＋2)(x－4)‎ 当x<－2时，f′(x)>0，‎ 当－24时，f′(x)>0，‎ ‎∴x＝－2是f(x)的极大值点，x＝4是f(x)的极小值点．‎ ‎11．设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)讨论f(x)的极值．‎ 解　由已知得，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，‎ 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1，‎ ‎(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2，‎ f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．‎ 当a>1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]．‎ f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ ‎(0，a－1)‎ a－1‎ ‎(a－1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 从表上可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增；在(0，a－1)上单调递减；在(a－1，＋∞)上单调递增．‎ ‎(2)由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值．‎ 当a>1时，函数在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.‎ ‎12．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝‎2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．‎ 解　∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，‎ ‎∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.‎ 令x＝1，得f′(1)＝3＋‎2a＋b，‎ 又f′(1)＝‎2a，∴3＋‎2a＋b＝‎2a，‎ ‎∴b＝－3.‎ 令x＝2，得f′(2)＝12＋‎4a＋b，‎ 又f′(2)＝－b，∴12＋‎4a＋b＝－b，‎ 解得a＝－.‎ ‎∴f(x)＝x3－x2－3x＋1.‎ 从而f(1)＝－.‎ 又∵f′(1)＝2×(－)＝－3.‎ 故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－)＝－3(x－1)，‎ 即6x＋2y－1＝0.‎ ‎(2)由(1)知，g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，‎ ‎∴g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x＝－3x(x－3)e－x.‎ 令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝3.‎ 当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，0)上为减函数；‎ 当x∈(0,3)时，g′(x)>0，故g(x)在(0,3)上为增函数；‎ 当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(3，＋∞)上为减函数．‎ 从而可知，函数g(x)在x＝0处取得极小值g(0)＝－3，‎ 在x＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.‎