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  • 2021-06-30 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版数列与不等式学案

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‎4. 数列与不等式 ‎■要点重温…………………………………………………………………………·‎ ‎1.等差数列及其性质 ‎(1){an}等差数列⇔an+1-an=d(d为常数)或an+1-an=an-an-1 (n≥2) ⇔2an=an+1+an-1(n≥2,n∈N*)‎ ‎⇔an=an+b⇔Sn=An2+Bn.‎ ‎(2)等差数列的性质 ‎①an=am+(n-m)d;‎ ‎②当m+n=p+q时,则有am+an=ap+aq,特别地,当m+n=2p时,则有am+an=2ap.‎ ‎③Sn=na1+d=n2+n是关于n的二次函数且常数项为0.‎ ‎④Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列.‎ ‎[应用1] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=12,S20=17,则S30为(  )‎ A.15     B.20‎ C.25 D.30‎ ‎[答案] A ‎2.等比数列及其性质 ‎(1){an}等比数列⇔ ⇔=q(q为常数,q≠0)(a1≠0)⇔an=a1·qn-1.‎ ‎[应用2] x=是a、x、b成等比数列的(  )‎ ‎【导 号:07804176】‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎[解析] 若x=a=0,x=成立,但a、x、b不成等比数列, 所以充分性不成立;反之,若a、x、b成等比数列,则x2=ab⇔x=±,所以x=不一定成立,必要性不成立.所以选D.‎ ‎[答案] D ‎(2)等比数列的性质 当m+n=p+q时,则有am·an=ap·aq,特别地,当m+n=2p时,则有am·an=a.‎ ‎[应用3] (1)在等比数列{an}中,a3+a8=124,a4a7=-512,公比q是整数,则a10=________.‎ ‎(2)各项均为正数的等比数列{an}中,若a5·a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10=________.‎ ‎[答案] (1)512 (2)10‎ ‎(3)求等比数列前n项和时,首先要判断公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比q是否为1时,要对q分q=1和q≠1两种情形讨论求解.‎ ‎[应用4] 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,则数列的公比q是________.‎ ‎[解析] ①当q=1时,S3+S6=9a1,S9=9a1,‎ ‎∴S3+S6=S9成立.‎ ‎②当q≠1时,由S3+S6=S9‎ 得+= ‎∴q9-q6-q3+1=0,即(q3-1)(q6-1)=0.‎ ‎∵q≠1,∴q3-1≠0,∴q6=1,∴q=-1.‎ ‎[答案] 1或-1‎ ‎3.求数列通项的常见类型及方法 ‎(1)已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳、猜想法.‎ ‎[应用5] 如图10(1),将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并擦去中间一段,得到图10(2),如此继续下去,得图10(3)……,试探求第n个图形的边长an和周长Cn.‎ 图10(1)   图10(2)    图10(3)‎ ‎[答案] an=,Cn=×(3×4n-1)‎ ‎(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义,可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式.‎ ‎(3)叠加法(迭加法):‎ an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1;‎ 叠乘法(迭乘法):‎ =··……·.‎ ‎[应用6] 已知a1=1,an+1=2nan,求an.‎ ‎[答案] an=2 ‎(4)已知Sn与an的关系,利用关系式an=求an.‎ ‎[应用7] 已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1,则an=________.‎ ‎[解析] 当n=1时,a1=S1=3.‎ n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1)-(2n-1+1)=2n-2n-1=2n-1.‎ 所以an=.‎ ‎[答案]  ‎(5)构造转化法:转化为等差或等比数列求通项公式.‎ ‎[应用8] 已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x,y∈R,都有f(xy)=xf(y)+yf(x)成立.数列{an}满足an=f(2n)(n∈N*),且a1=2,则数列{an}的通项公式为an=________.‎ ‎[解析] 令x=2,y=2n-1,则f(xy)=f(2n)=2f(2n-1)+2n-1f(2),即an=2an-1+2n,=+1,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,由此可得=1+(n-1)×1=n,‎ 即an=n·2n.‎ ‎[答案] n·2n ‎4.数列求和的方法 ‎(1)公式法:等差数列、等比数列求和公式;‎ ‎(2)分组求和法;‎ ‎(3)倒序相加法;‎ ‎(4)错位相减法;‎ ‎(5)裂项法.‎ 如:=-;=.‎ ‎[应用9] 求和:Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1.‎ ‎[答案] Sn= ‎ ‎(6)并项法 数列求和时要明确:项数、通项,并注意根据通项的特点选取合适的方法.‎ ‎[应用10] 数列{an}满足an+an+1=(n∈N,n≥1),若a2=1,Sn是{an}的前n项和,则S21的值为________. ‎ ‎【导 号:07804177】‎ ‎[答案]  ‎5.研究数列{an}的单调性的方法:‎ ‎(1)an+1-an ,如an=2n-4n-5;‎ ‎(2) ,an=;‎ ‎(3)an=f(n)增减性,转化为研究函数f(x)的增减性,如an=.‎ ‎[应用11] 若an=,求数列{an}中的最大项.‎ ‎[答案] a3= ‎ ‎6.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,同时要注意“同号可倒”,即a>b>0⇒<;a.‎ ‎[应用12] 若实数a,b∈R且a>b,则下列不等式恒成立的是(  )‎ A.a2>b2 B.>1‎ C.2a>2b D.lg(a-b)>0‎ ‎[解析] 根据函数的图象(图略)与不等式可知:当a>b时,2a>2b,故选C.‎ ‎[答案] C ‎7.用基本不等式“≥ (a,b>0)”求最值(或值域)时,要注意到条件“一正、二定、三相等”;在解答题,遇到利用基本不等式求最值的问题,要交待清楚取等号的条件.常用技巧:‎ ‎(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑.‎ ‎(2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元.‎ ‎(3)当题中等号条件不成立,可考虑从函数的单调性入手求最值.‎ ‎[应用13] (1)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是(  )‎ A.6+2 B.7+2 C.6+4 D.7+4 ‎[解析] 由题意得所以 又log4(3a+4b)=log2,‎ 所以log4(3a+4b)=log4(ab),‎ 所以3a+4b=ab,故+=1.‎ 所以a+b=(a+b)=7++≥7+2 =7+4,‎ 当且仅当=时取等号.‎ ‎[答案] D ‎(2)已知0<x<1<y,则logxy+logyx的值域是________. ‎ ‎【导 号:07804178】‎ ‎[答案] (-∞,-2] ‎ ‎(3)函数f(x)=的值域是________.‎ ‎[答案]  ‎ ‎8.求解线性规划问题时,不能准确把握目标函数的几何意义导致错解,如是指已知区域内的点与点(-2,2)连线的斜率,而(x-1)2+(y-1)2是指已知区域内的点到点(1,1)的距离的平方等.同时解线性规划问题,要注意边界的虚实;注意目标函数中y的系数的正负.‎ ‎[应用14] 若实数x,y满足,且x2+y2的最大值等于34,则正实数a的值等于(  )‎ A. B. C. D.3‎ ‎[解析] 做出可行域,如图所示,x2+y2表示点(x,y)与(0,0)距离的平方,由图知,可行域中的点B离(0,0)最远,故x2+y2的最大值为+32=34⇒a=,故选B.‎ ‎[答案] B ‎9.解答不等式恒成立问题的常用方法 ‎(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法,当x的取值为全体实数时,一般应用此法.‎ ‎(2)从函数的最值入手考虑,如大于零恒成立可转化最小值大于零.‎ ‎(3)能分离变量的,尽量把参变量和变量分离出 .‎ ‎(4)数形结合,结合图形进行分析,从整体上把握图形.‎ ‎[应用15] 如果kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,则实数k的取值范围是________. ‎ ‎【导 号:07804179】‎ A.-1≤k≤0 B.-1≤k<0‎ C.-1 B.ln(x2+1)>ln(y2+1)‎ C.sin x>sin y D.x3>y3‎ D [因为0y.采用赋值法判断,A中,当x=1,y=0时,<1,A不成立.B中,当x=0,y=-1时,ln 10且a6>|a5|,Sn是数列的前n项的和,则下列说法正确的是(  )‎ A.S1,S2,S3均小于0,S4,S5,S6…均大于0‎ B.S1,S2,…S5均小于0,S6,S7,…均大于0‎ C.S1,S2,…S9均小于0,S10,S11…均大于0‎ D.S1,S2,…S11均小于0,S12,S13…均大于0‎ C [由题意可知a6+a5>0,故S10==>0,‎ 而S9===9a5<0,故选C.]‎ ‎6.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为(  ) ‎ ‎【导 号:07804181】‎ A.3 690 B.3 660‎ C.1 845 D.1 830‎ D [当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1;‎ 当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3.‎ 所以a2k+1+a2k-1=2,所以a2k+1+a2k+3=2,‎ 所以a2k-1=a2k+3,所以a1=a5=…=a61.‎ 所以a1+a2+a3+…+a60‎ ‎=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)‎ ‎=3+7+11+…+(2×60-1)‎ ‎==30×61=1 830.]‎ ‎7.已知a,b都是负实数,则+的最小值是(  )‎ A. B.2(-1)‎ C.2-1 D.2(+1)‎ B [+= ‎=1- ‎=1-≥1-=2(-1).]‎ ‎8.已知定义域为R的偶函数f(x),其导函数为f′(x),对任意x∈[0,+∞),均满足:xf′(x)>-2f(x).若g(x)=x2f(x),则不等式g(2x)0,而g(x)=x2f(x)也为偶函数,所以g(2x)f(-m2+2m-2),则m的取值范围是________.‎ ‎1-≤m< [由题设可得2-a+3=0,即a=5,故f(-m2-1)>f(-m2+2m ‎-2)可化为f(m2+1)>f(m2-2m+2),又1≤m2+1≤3,1≤m2-2m+2≤3,故m2+10恒成立,则实数x的取值范围是________.‎ ‎(-∞,1)∪(3,+∞) [设f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),则f(a)>0对∀a∈[-1,1]成立等价于 ,即 ,解之得x<1或x>3,即实数x的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞).]‎ ‎12.已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为________. ‎ ‎【导 号:07804182】‎ ‎(2-,2+) [由指数函数图象可得f(a)>-1,所以g(b)>-1,即-b2+4b-3>-1,解得2-<b<2+.]‎ ‎13.设x,y满足约束条件 ,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6,则+的最小值为________.‎  [根据题意,画出可行域(图略).将z=ax+by变形为:y=-x+(a>0,b>0)进行平移,当 ,即 时,z=ax+by(a>0,b>0)取最大值6,所以4a+6b=6(a>0,b>0),所以+=(4a+6b)=≥==(当且仅当 时取“=”),所以最小值为.]‎ ‎14.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,a3=4,{an}的前3项和为7.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若a1b1+a2b2+…+anbn=(2n-3)2n+3,设数列{bn}的前n项和为Sn,求证:++…+≤2-.‎ ‎[解] (1)设数列{an}的公比为q,由已知得q>0,且∴ ‎∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.‎ ‎(2)证明:当n=1时,a1b1=1,且a1=1,解得b1=1.‎ 当n≥2时,anbn=(2n-3)2n+3-(2n-2-3)2n-1-3=(2n-1)·2n-1.‎ ‎∵an=2n-1,∴当n≥2时,bn=2n-1.‎ ‎∵b1=1=2×1-1满足bn=2n-1,‎ ‎∴数列{bn}的通项公式为bn=2n-1(n∈N*).‎ ‎∴数列{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.‎ ‎∴Sn=n2.‎ ‎∴当n=1时,=1=2-.‎ 当n≥2时,=<=-.‎ ‎∴++…+≤2-+-+…+- ‎=2-.‎ ‎15.已知数列{an}满足:a1=,a2=,2an=an+1+an-1(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足:b1<0,3bn-bn-1=n(n≥2,n∈N*),数列{bn}的前n项和为Sn.‎ ‎(1)求证:数列{bn-an}为等比数列;‎ ‎(2)求证:数列{bn}为递增数列;‎ ‎(3)若当且仅当n=3时,Sn取得最小值,求b1的取值范围. ‎ ‎【导 号:07804183】‎ ‎[解] (1)证明:∵2an=an+1+an-1(n≥2,n∈N*).‎ ‎∴{an}是等差数列.‎ 又∵a1=,a2=,‎ ‎∴an=+(n-1)·=,‎ ‎∵bn=bn-1+(n≥2,n∈N*)‎ ‎∴bn+1-an+1=bn+-=bn-= ‎=(bn-an).‎ 又∵b1-a1=b1-≠0,∴{bn-an}是b1-为首项,以为公比的等比数列.‎ ‎(2)证明:∵bn-an=·,an=.‎ ‎∴bn=·+.‎ 当n≥2时,bn-bn-1=-.‎ 又b1<0,∴bn-bn-1>0.‎ ‎∴{bn}是单调递增数列.‎ ‎(3)∵当且仅当n=3时,Sn取最小值.‎ ‎∴,‎ 即,∴b1∈(-47,-11).‎

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