江苏省如皋中学2020届高三下学期第一周综合自测数学试题 14页

‎2020年江苏省如皋中学高三年级第一次周测 数 学 I 一、填空题 1. 已知集合，若，则实数a的值为______．‎ 2. 若，则______．‎ 3. 过点且与直线平行的直线方程为______．‎ 4. 如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是______ ． ‎ 5. 已知向量，的夹角为，，，则______．‎ 1. 函数的图象恒过定点P，P在幂函数的图象上，则______．‎ 2. 等差数列，的前n项和分别为，，且，则______ ．‎ 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______．‎ 4. 将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数具有性质______填入所有正确性质的序号 最大值为，图象关于直线对称； 图象关于y轴对称； 最小正周期为； 图象关于点对称； 在上单调递减．‎ 5. 已知，，则______．‎ 6. 曲线在点处的切线方程为______．‎ 7. 函数是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是______ ．‎ 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______．‎ 1. 等差数列的前n项和为，，，则______．‎ 二、解答题 2. 如图，在四棱锥中，，且，，，点E在PC上，且． 求证：平面平面PCD； 求证：直线平面BDE． ‎ ‎ ‎ 3. 设为锐角，且． 求的值； 求的值． ‎ ‎ ‎ 1. 某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴如图拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米． 求出n关于m的函数关系式； 当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值． ‎ ‎ ‎ 1. 如图，已知椭圆C：的离心率是，一个顶点是． Ⅰ求椭圆C的方程； Ⅱ设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．‎ ‎ ‎ 2. 已知定义域为R的函数，是奇函数．‎ Ⅰ求a，b的值； Ⅱ若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围． ‎ ‎ ‎ 3. 各项均为正数的数列中，前n 项和． 求数列的通项公式； 若恒成立，求k的取值范围； 是否存在正整数m，k，使得，，成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，请说明理由． ‎ ‎2020年江苏省如皋中学高三年级第一次周测 数学I参考答案 ‎1. 1 2. 121 3. 4.-2 5. 6.7 7. 8. 9. ②③④ 10. 11.x-y+1=0 12. 13.36Π 14. 15.‎ 证明：因为，， 所以， 所以； 又，且， 平面PCD，平面PCD， 所以平面PCD， 又平面PAD， 所以平面平面PCD； 连接AC，交BD于点F，连接EF，如图所示； 在四边形ABCD中，，， 由∽，得， 又，即， 所以， 又直线平面BDE，直线平面BDE， 所以直线平面BDE． 16.‎ 解：为锐角， 又，故，分 ，分 又，分 故 分 ‎ ‎17.解：以AB的为x轴，以PO所在的直线的为y轴， 不妨设， 直路AB长为40米， ， ，解得， ， 到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米， ，； 由可得，， 设， ， 令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 答：当时，腰梯形草坪ABCD的面积最大，其最大值为． 18.解：Ⅰ设椭圆C的半焦距为c，依题意，得， 且 ， 解得 ， 所以椭圆C的方程是； Ⅱ易知，直线PQ的斜率存在， 设其方程为， 将直线PQ的方程代入， 消去y，整理得 ， ， 设 ，， 则 ，， 因为 ，且直线BP，BQ的斜率均存在， 所以 ， 整理得 ， 因为 ‎ ‎，， 所以 ， ， 将代入， 整理得， 将代入，整理得 ， 解得 ，或舍去， 所以，直线PQ恒过定点． 19.解：Ⅰ因为是奇函数，定义域为R， 所以， 即，， 又由知， 所以，， 经检验，时，是奇函数． Ⅱ由Ⅰ知， 易知在上为减函数， 又因为是奇函数， 所以等价于， 因为为减函数，由上式可得：， 即对一切有：， 从而判别式， 所以k的取值范围是． 20.解：， ， 两式相减得， 整理得， 数列的各项均为正数，，， 是公差为2‎ 的等差数列， 又得，； 由题意得， ， ， ； ． 假设存在正整数m，k，使得，，成等比数列，即， 即， ， ， ，为100的约数， 当，，，   当  ，，   ，   当，，．   故存在正整数m，k满足条件，，或 ，   或 ，． ‎ ‎2020年江苏省如皋中学高三年级第一次周测 数 学 II 1. 已知矩阵． 求； 求矩阵A的特征值．‎ ‎ ‎ 1. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为． 求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； 若点P，Q分别是曲线，上的点，求的最小值．‎ 1. 在一次购物抽奖活动中，假设某10张劵中有一等奖劵1张，二等奖劵3张，其余6张没有奖，某顾客从此10张劵中任抽2张，求： 该顾客中奖的概率； ‎ 设随机变量X为顾客抽的中奖劵的张数，求出X的概率分布及数学期望． ‎ 2. 已知等式． 求的展开式中含的项的系数，并化简： 证明：． ‎ ‎2020年江苏省如皋中学高三年级第一次周测 数学II参考答案 1. 解：‎ 矩阵A的特征多项式为： ， 令，则由方程，得 或， 矩阵A的特征值为1或4．‎ ‎2.解：曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为：． 曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为． 点P，Q分别是曲线，上的点， 设点则点P 到直线的距离， 所以． 3.解：解法一：； 解法二：； 随机变量X的取值为0，1，2； ，，； 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎． ‎ ‎4.解：的展开式中含的项的系数为， 由 可知，的展开式中含的项的系数为． 所以． 证明：当时，． 所以． 由知，即， 所以． ‎