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  • 2021-06-30 发布

北京市东城区2020届高三下学期4月第一次模拟新高考适应考试数学试题

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‎2020年高考数学(4月份)第一次模拟试卷 一、选择题(共10小题).‎ ‎1.已知集合A={x|x(x+1)≤0},集合B={x|﹣1<x<1},则A∪B=(  )‎ A.{x|﹣1≤x≤1} B.{x|﹣1<x≤0} C.{x|﹣1≤x<1} D.{x|0<x<1}‎ ‎2.已知复数z=(其中i是虚数单位),则|z|=(  )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎3.抛物线x2=4y的准线与y轴的交点的坐标为(  )‎ A. B.(0,﹣1) C.(0,﹣2) D.(0,﹣4)‎ ‎4.设函数f(x)=x+﹣2(x<0),则f(x)(  )‎ A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 ‎5.已知曲线C的方程为,则“a>b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.一排6个座位坐了2个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为(  )‎ A.12 B.‎36 ‎C.72 D.720‎ ‎7.已知圆C与直线y=﹣x及x+y﹣4=0的相切,圆心在直线y=x上,则圆C的方程为(  )‎ A.(x﹣1)2 +(y﹣1)2 =2 B.(x﹣1)2 +(y+1)2 =2 ‎ C.(x+1)2 +(y﹣1)2 =4 D.(x+1)2 +(y+1)2 =4‎ ‎8.已知正项等比数列{an}中,a‎1a5a9=27,a6与a7的等差中项为9,则a10=(  )‎ A.729 B.‎332 ‎C.181 D.96‎ ‎9.春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了(  )‎ A.10天 B.15天 C.19天 D.2天 ‎10.某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8,10,14,若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数至多是(  )‎ A.8 B.‎7 ‎C.6 D.5‎ 二、填空题共5题,每题5分,共25分.‎ ‎11.设向量,不平行,向量λ+与+2平行,则实数λ=   .‎ ‎12.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点(﹣1,),则sinα=   .‎ ‎13.某四棱锥的三视图如图所示,那么该四棱锥的体积为   .‎ ‎14.若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1),,(2,1),(4,2)中的2个点,则该抛物线的标准方程可以是   .‎ ‎15.某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,其函数图象如图(1)所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y与x的函数图象.‎ 给出下列四种说法:‎ ‎①图(2)对应的方案是:提高票价,并提高成本;‎ ‎②图(2)对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;‎ ‎③图(3)对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;‎ ‎④图(3)对应的方案是:提高票价,并降低成本.‎ 其中,正确的说法是   .(填写所有正确说法的编号)‎ 三、解答题 ‎16.如图1,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=2,BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,如图.‎ ‎(Ⅰ)求证:A1O⊥BD;‎ ‎(Ⅱ)求直线A‎1C和平面A1BD所成角的正弦值;‎ ‎17.在①b2+ac=a2+c2,②acosB=bsinA,③sinB+cosB=,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,_______,A=,b=,求△ABC的面积.‎ ‎18.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,制表如图:‎ 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件4.5元;乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.‎ ‎(Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数;‎ ‎(Ⅱ)为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.‎ ‎19.已知函数f(x)=lnx﹣.‎ ‎(1)若曲线y=f(x)存在斜率为﹣1的切线,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)求f(x)的单调区间;‎ ‎(3)设函数g(x)=,求证:当﹣1<a<0时,g(x)在(1,+∞‎ ‎)上存在极小值.‎ ‎20.已知椭圆C:x2+3y2=6的右焦点为F.‎ ‎(Ⅰ)求点F的坐标和椭圆C的离心率;‎ ‎(Ⅱ)直线l:y=kx+m(k≠0)过点F,且与椭圆C交于P,Q两点,如果点P关于x轴的对称点为P′,判断直线P'Q是否经过x轴上的定点,如果经过,求出该定点坐标;如果不经过,说明理由.‎ ‎21.各项均为非负整数的数列{an}同时满足下列条件:‎ ‎①a1=m(m∈N*);②an≤n﹣1(n≥2);③n是a1+a2+…+an的因数(n≥1).‎ ‎(Ⅰ)当m=5时,写出数列{an}的前五项;‎ ‎(Ⅱ)若数列{an}的前三项互不相等,且n≥3时,an为常数,求m的值;‎ ‎(Ⅲ)求证:对任意正整数m,存在正整数M,使得n≥M时,an为常数.‎ 参考答案 一、选择题共10题,每题4分,共40分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合A={x|x(x+1)≤0},集合B={x|﹣1<x<1},则A∪B=(  )‎ A.{x|﹣1≤x≤1} B.{x|﹣1<x≤0} C.{x|﹣1≤x<1} D.{x|0<x<1}‎ ‎【分析】先求出集合A,集合B,由此能求出A∪B.‎ 解:∵集合A={x|x(x+1)≤0}={x|﹣1≤x≤0},‎ 集合B={x|﹣1<x<1},‎ ‎∴A∪B={x|﹣1≤x<1}.‎ 故选:C.‎ ‎2.已知复数z=(其中i是虚数单位),则|z|=(  )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎【分析】利用复数模长的性质即可求解.‎ 解:∵复数z=,‎ ‎∴==,‎ 故选:A.‎ ‎3.抛物线x2=4y的准线与y轴的交点的坐标为(  )‎ A. B.(0,﹣1) C.(0,﹣2) D.(0,﹣4)‎ ‎【分析】利用抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1,即可求出抛物线x2=4y的准线与y轴的交点的坐标.‎ 解:抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1,‎ ‎∴抛物线x2=4y的准线与y轴的交点的坐标为(0,﹣1),‎ 故选:B.‎ ‎4.设函数f(x)=x+﹣2(x<0),则f(x)(  )‎ A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 ‎【分析】根据x<0即可根据基本不等式得出,从而可得出f(x)≤﹣4,并且x=﹣1时取等号,从而得出f(x)有最大值,没有单调性,从而得出正确的选项.‎ 解:∵x<0,‎ ‎∴,当且仅当,即x=﹣1时取等号,‎ ‎∴f(x)有最大值,‎ ‎∴f(x)在(﹣∞,0)上没有单调性.‎ 故选:A.‎ ‎5.已知曲线C的方程为,则“a>b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据椭圆方程的特点,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ 解:若a>b>0,则对应的曲线为双曲线,不是椭圆,即充分性不成立,‎ 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则满足a>﹣b>0,即a>0,b<0,满足a>b,即必要性成立,‎ 即“a>b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件,‎ 故选:B.‎ ‎6.一排6个座位坐了2个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为(  )‎ A.12 B.‎36 ‎C.72 D.720‎ ‎【分析】根据题意,由捆绑法分析:先将2个三口之家的成员进行全排列,再对2个三口之家整体进行全排列,由分步计数原理计算可得答案.‎ 解:根据题意,先将2个三口之家的成员进行全排列,有=36种情况,‎ 再对2个三口之家整体进行全排列,有=2种情况,‎ 则有36×2=72种不同的坐法;‎ 故选:C.‎ ‎7.已知圆C与直线y=﹣x及x+y﹣4=0的相切,圆心在直线y=x上,则圆C的方程为(  )‎ A.(x﹣1)2 +(y﹣1)2 =2 B.(x﹣1)2 +(y+1)2 =2 ‎ C.(x+1)2 +(y﹣1)2 =4 D.(x+1)2 +(y+1)2 =4‎ ‎【分析】根据圆心在直线y=x上,设出圆心坐标为(a,a),利用圆C与直线y=﹣x及x+y﹣4=0的相切,求得圆心坐标,再求圆的半径,可得圆的方程.‎ 解:圆心在y=x上,设圆心为(a,a),‎ ‎∵圆C与直线y=﹣x及x+y﹣4=0的相切,‎ ‎∴圆心到两直线y=﹣x及x+y﹣4=0的距离相等,‎ 即:⇒a=1,‎ ‎∴圆心坐标为(1,1),R==,‎ 圆C的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.‎ 故选:A.‎ ‎8.已知正项等比数列{an}中,a‎1a5a9=27,a6与a7的等差中项为9,则a10=(  )‎ A.729 B.‎332 ‎C.181 D.96‎ ‎【分析】正项等比数列{an}的公比设为q,q>0,运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质,解方程可得公比q,再由等比数列的通项公式计算可得所求值.‎ 解:正项等比数列{an}的公比设为q,q>0,‎ 由a‎1a5a9=27,可得a53=27,即a5=3,即a1q4=3,①‎ a6与a7的等差中项为9,可得a6+a7=18,即a1q5+a1q6=18,②‎ ‎①②相除可得q2+q﹣6=0,解得q=2(﹣3舍去),‎ 则a10=a5q5=3×32=96.‎ 故选:D.‎ ‎9.春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了(  )‎ A.10天 B.15天 C.19天 D.2天 ‎【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积,再列出解析式,并注明x的范围,列出方程求解即可.‎ 解:设荷叶覆盖水面的初始面积为a,则x天后荷叶覆盖水面的面积y=a•2x(x∈N+),‎ 根据题意,令2(a•2x)=a•220,解得x=19,‎ 故选:C.‎ ‎10.某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8,10,14,若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数至多是(  )‎ A.8 B.‎7 ‎C.6 D.5‎ ‎【分析】设周三,周二,周一开车上班的职工组成的集合分别为A,B,C,集合A,B,C中元素个数分别为n(A),n(B),n(C),根据n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)﹣n(A∩B)﹣n(A∩C)﹣n(B∩C)+n(A∩B∩C),且n(A∩B)≥n(A∩B∩C),n(A∩C)≥n(A∩B∩C),n(B∩C)≥n(A∩B∩C)可得.‎ 解:设周三,周二,周一开车上班的职工组成的集合分别为A,B,C,集合A,B,C中元素个数分别为n(A),n(B),n(C),‎ 则n(A)=14,n(B)=10,n(C)=8,n(A∪B∪C)=20,‎ 因为n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)﹣n(A∩B)﹣n(A∩C)﹣n(B∩C)+n(A∩B∩C),且n(A∩B)≥n(A∩B∩C),n(A∩C)≥n(A∩B∩C),n(B∩C)≥n(A∩B∩C),‎ 所以14+10+8﹣20+n(A∩B∩C)≥3n(A∩B∩C),即n(A∩B∩C)≤=6.‎ 故选:C.‎ 二、填空题共5题,每题5分,共25分.‎ ‎11.设向量,不平行,向量λ+与+2平行,则实数λ=  .‎ ‎【分析】利用向量平行的条件直接求解.‎ 解:∵向量,不平行,向量λ+与+2平行,‎ ‎∴λ+=t(+2)=,‎ ‎∴,解得实数λ=.‎ 故答案为:.‎ ‎12.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点(﹣1,),则sinα= 1 .‎ ‎【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义,先求得α的值,可得sinα的值.‎ 解:∵角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点(﹣1,),‎ ‎∴tan(α+)==﹣,故α+ 为第二象限角.‎ ‎∴可令α+=,此时,α=,sinα=1,‎ 故答案为:1.‎ ‎13.某四棱锥的三视图如图所示,那么该四棱锥的体积为  .‎ ‎【分析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据,求解几何体的体积.‎ 解:几何体的直观图如图:是长方体的一部分,‎ 长方体的棱长为:2,1,2,‎ 四棱锥的体积为:×1×2×2=.‎ 故答案为:.‎ ‎14.若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1),,(2,1),(4,2)中的2个点,则该抛物线的标准方程可以是 x2=8y或y2=x .‎ ‎【分析】由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=2py(p>0),然后分类求解得答案.‎ 解:由题意可得,抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=2py(p>0).‎ 若抛物线方程为y2=2px(p>0),代入(1,1),得p=,‎ 则抛物线方程为y2=x,此时(4,2)在抛物线上,符合题意;‎ 若抛物线方程为x2=2py(p>0),代入(2,1),得p=2,‎ 则抛物线方程为x2=8y,此时(2,)在抛物线上,符合题意.‎ ‎∴抛物线的标准方程可以是x2=8y或y2=x.‎ 故答案为:x2=8y或y2=x.‎ ‎15.某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,其函数图象如图(1)所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y与x的函数图象.‎ 给出下列四种说法:‎ ‎①图(2)对应的方案是:提高票价,并提高成本;‎ ‎②图(2)对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;‎ ‎③图(3)对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;‎ ‎④图(3)对应的方案是:提高票价,并降低成本.‎ 其中,正确的说法是 ②③ .(填写所有正确说法的编号)‎ ‎【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义,进而得解.‎ 解:由图可知,点A纵坐标的相反数表示的是成本,直线的斜率表示的是票价,‎ 故图(2)降低了成本,但票价保持不变,即②对;图(3)成本保持不变,但提高了票价,即③对;‎ 故选:②③.‎ 三、解答题共6题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎16.如图1,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=2,BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,如图.‎ ‎(Ⅰ)求证:A1O⊥BD;‎ ‎(Ⅱ)求直线A‎1C和平面A1BD所成角的正弦值;‎ ‎【分析】(Ⅰ)推导出A1O⊥DE,从而A1O⊥平面BCDE,由此能证明A1O⊥BD.‎ ‎(Ⅱ)以O为原点,在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴,以OE为y轴,OA1为z轴,建立空间直角坐标系,由此能求出直线A‎1C和平面A1BD所成角的正弦值.‎ 解:(Ⅰ)证明:∵在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,‎ O为DE的中点,AB=AC=2,BC=4.‎ ‎∴A1O⊥DE,‎ ‎∵将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,‎ ‎∴A1O⊥平面BCDE,‎ ‎∵BD⊂平面BCDE,∴A1O⊥BD.‎ ‎(Ⅱ)解:以O为原点,在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴,‎ 以OE为y轴,OA1为z轴,建立空间直角坐标系,‎ A1(0,0,2),C(2,2,0),B(2,﹣2,0),D(0,﹣1,0),‎ ‎=(2,2,﹣2),=(2,﹣1,0),=(0,1,2),‎ 设平面A1BD的法向量为=(x,y,z),‎ 则,取x=1,得=(1,2,﹣1),‎ 设直线A‎1C和平面A1BD所成角为θ,‎ 则直线A‎1C和平面A1BD所成角的正弦值为:‎ sinθ===.‎ ‎17.在①b2+ac=a2+c2,②acosB=bsinA,③sinB+cosB=,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,_______,A=,b=,求△ABC的面积.‎ ‎【分析】取①,由余弦定理可得cosB=进而解得B,C的大小也可得出,再由正弦定理可得a,最后利用三角形的面积公式计算即可得出;‎ 取②acosB=bsinA,由正弦定理可得:tanB=1,B∈(0,π),解得B,可得sinC=sin(A+B),由正弦定理可得:a,利用三角形面积计算公式即可得出;‎ 取③,可得,由此可求出B的大小,C的大小也可得出,再由正弦定理可得a,最后利用三角形的面积公式计算即可得出;‎ 解:(1)若选择①,‎ 由余弦定理,……………‎ 因为B∈(0,π),所以;……………………‎ 由正弦定理,得,……………‎ 因为,,所以,……………‎ 所以………‎ 所以.……………‎ ‎(2)若选择②acosB=bsinA,则sinAcosB=sinBsinA,……………‎ 因为sinA≠0,所以sinB=cosB,……………‎ 因为B∈(0,π),所以;……………‎ 由正弦定理,得,……………‎ 因为,,所以,……………‎ 所以,…‎ 所以.……………‎ ‎(3)若选择③,‎ 则,所以,……………‎ 因为B∈(0,π),所以,‎ 所以,所以;……………‎ 由正弦定理,得,……………‎ 因为,,所以,……………‎ 所以,………‎ ‎18.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,制表如图:‎ 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件4.5元;乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.‎ ‎(Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数;‎ ‎(Ⅱ)为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由茎叶图能求出甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数.‎ ‎(Ⅱ)由题意能求出X的可能取值为136,147,154,189,203,分别求出相对应的概率,由此能求出X的分布列和数学期望.‎ ‎(Ⅲ)利用(Ⅱ)的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.‎ 解:(Ⅰ)甲公司员工A投递快递件数的平均数为:‎ ‎=(32+33+33+38+35+36+39+33+41+40)=36,‎ 众数为33.‎ ‎(Ⅱ)设a为乙公司员工B投递件数,则 当a=34时,X=136元,当a>35时,X=35×4+(a﹣35)×7元,‎ ‎∴X的可能取值为136,147,154,189,203,‎ P(X=136)=,‎ P(X=147)=,‎ P(X=154)=,‎ P(X=189)=,‎ P(X=203)=,‎ X的分布列为:‎ X ‎136‎ ‎147‎ ‎154‎ ‎189‎ ‎203‎ P ‎=.‎ ‎(Ⅲ)根据图中数据,由(Ⅱ)可估算:‎ 甲公司被抽取员工该月收入=36×4.5×30=4860元,‎ 乙公司被抽取员工该月收入=165.5×30=4965元.‎ ‎19.已知函数f(x)=lnx﹣.‎ ‎(1)若曲线y=f(x)存在斜率为﹣1的切线,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)求f(x)的单调区间;‎ ‎(3)设函数g(x)=,求证:当﹣1<a<0时,g(x)在(1,+∞)上存在极小值.‎ ‎【分析】(1)求出函数的导数,问题转化为x2+x+a=0存在大于0的实数根,根据y=x2+x+a在x>0时递增,求出a的范围即可;‎ ‎(2)求出函数f(x)的导数,通过讨论a的范围,判断导函数的符号,求出函数的单调区间即可;‎ ‎(3)求出函数g(x)的导数,根据f(e)=﹣>0,得到存在x0∈(1,e)满足g′(x0)=0,从而得到函数的单调区间,求出函数的极小值,证出结论即可.‎ 解:(1)由f(x)=lnx﹣﹣1得:‎ f′(x)=,(x>0),‎ 由已知曲线y=f(x)存在斜率为﹣1的切线,‎ ‎∴f′(x)=﹣1存在大于0的实数根,‎ 即x2+x+a=0存在大于0的实数根,‎ ‎∵y=x2+x+a在x>0时递增,‎ ‎∴a的范围是(﹣∞,0);‎ ‎(2)由f′(x)=,(x>0),‎ 得:a≥0时,f′(x)>0,‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)递增;‎ a<0时,若x∈(﹣a,+∞)时,f′(x)>0,‎ 若x∈(0,﹣a),则f′(x)<0,‎ 故f(x)在(﹣a,+∞)递增,在(0,﹣a)递减;‎ ‎(3)由g(x)=及题设得:‎ g′(x)==,‎ 由﹣1<a<0,得:0<﹣a<1,‎ 由(2)得:f(x)在(﹣a,+∞)递增,‎ ‎∴f(1)=﹣a﹣1<0,取x=e,显然e>1,‎ f(e)=﹣>0,‎ ‎∴存在x0∈(1,e)满足f(x0)=0,‎ 即存在x0∈(1,e)满足g′(x0)=0,‎ 令g′(x)>0,解得:x>x0,‎ 令g′(x)<0,解得:1<x<x0,‎ 故g(x)在(1,x0)递减,在(x0,+∞)递增,‎ ‎∴﹣1<a<0时,g(x)在(1,+∞)存在极小值.‎ ‎20.已知椭圆C:x2+3y2=6的右焦点为F.‎ ‎(Ⅰ)求点F的坐标和椭圆C的离心率;‎ ‎(Ⅱ)直线l:y=kx+m(k≠0)过点F,且与椭圆C交于P,Q两点,如果点P关于x轴的对称点为P′,判断直线P'Q是否经过x轴上的定点,如果经过,求出该定点坐标;如果不经过,说明理由.‎ ‎【分析】(I)由椭圆的标准方程即可得出;‎ ‎(II)直线l:y=kx+m(k≠0)过点F,可得l:y=k(x﹣2).代入椭圆的标准方程可得:(3k2+1)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0.(依题意△>0).‎ 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),可得根与系数的关系.点P关于x轴的对称点为P',则P'(x1,﹣y1).可得直线P'Q的方程可以为,令y=0,,把根与系数的关系代入化简即可得出.‎ 解:(Ⅰ)∵椭圆C:,‎ ‎∴c2=a2﹣b2=4,解得c=2,‎ ‎∴焦点F(2,0),离心率.‎ ‎(Ⅱ)直线l:y=kx+m(k≠0)过点F,‎ ‎∴m=﹣2k,‎ ‎∴l:y=k(x﹣2).‎ 由,得(3k2+1)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0.(依题意△>0).‎ 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 则,.‎ ‎∵点P关于x轴的对称点为P',则P'(x1,﹣y1).‎ ‎∴直线P'Q的方程可以设为,‎ 令y=0,‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎==3.‎ ‎∴直线P'Q过x轴上定点(3,0).‎ ‎21.各项均为非负整数的数列{an}同时满足下列条件:‎ ‎①a1=m(m∈N*);②an≤n﹣1(n≥2);③n是a1+a2+…+an的因数(n≥1).‎ ‎(Ⅰ)当m=5时,写出数列{an}的前五项;‎ ‎(Ⅱ)若数列{an}的前三项互不相等,且n≥3时,an为常数,求m的值;‎ ‎(Ⅲ)求证:对任意正整数m,存在正整数M,使得n≥M时,an为常数.‎ ‎【分析】(Ⅰ)当m=5时,写出数列{an}的前五项;‎ ‎(Ⅱ)对a2、a3分类取值,再结合各项均为非负整数列式求m的值;‎ ‎(Ⅲ)令Sn=a1+a2+…+an,则.进一步推得存在正整数M>m,当n>M时,必有成立.再由成立证明an为常数.‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:m=5时,数列{an}的前五项分别为:5,1,0,2,2.‎ ‎(Ⅱ)解:∵0≤an≤n﹣1,∴0≤a2≤1,0≤a3≤2,‎ 又数列{an}的前3项互不相等,‎ ‎(1)当a2=0时,‎ 若a3=1,则a3=a4=a5=…=1,‎ 且对n≥3,都为整数,∴m=2;‎ 若a3=2,则a3=a4=a5=…=2,‎ 且对n≥3,都为整数,∴m=4;‎ ‎(2)当a2=1时,‎ 若a3=0,则a3=a4=a5=…=0,‎ 且对n≥3,都为整数,∴m=﹣1,不符合题意;‎ 若a3=2,则a3=a4=a5=…=2,‎ 且对n≥3,都为整数,∴m=3;‎ 综上,m的值为2,3,4.‎ ‎(Ⅲ)证明:对于n≥1,令Sn=a1+a2+…+an,‎ 则.‎ 又对每一个n,都为正整数,∴,其中“<”至多出现m﹣1个.‎ 故存在正整数M>m,当n>M时,必有成立.‎ 当时,则.‎ 从而.‎ 由题设知,又及an+1均为整数,‎ ‎∴=an+1=,故=常数.‎ 从而=常数.‎ 故存在正整数M,使得n≥M时,an为常数.‎