2017-2018学年河北省衡水中学滁州分校高二下学期第二次月考数学（理）试题 Word版 12页

启用前绝密 河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年下学期第二次月考试卷 高二理科数学 注意事项：‎ ‎1．你现在拿到的这份试卷是满分150分，作答时间为120分钟 ‎ ‎2．答题前请在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎3．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 60分）‎ 一、选择题(本大题共12个小题，共60分。) ‎ ‎1.已知 ，复数 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D.‎ ‎2.设是可导函数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. 0‎ ‎3.设都为正数，那么用反证法证明“三个数至少有一个不小于2“时，正确的反设是这三个数( )‎ A. 都不大于2 B. 都不小于2 C. 至少有一个不大于2 D. 都小于2‎ ‎4.已知函数f（x）= ，则y=f（x）的图象大致为（　　） A.B.C.D.‎ ‎5.如图，阴影部分的面积是（ ）.‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.将某师范大学 名大学四年级学生分成 人一组，安排到 城市的甲、乙两所中学进行教学实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D.种 ‎7. 展开式中的常数项为（ ） A.﹣1320 B.1320 C.﹣220 D.220‎ ‎8.已知的取值如下表：（ ）‎ ‎0‎ ‎1，‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎1.3‎ ‎3.2‎ ‎5.6‎ ‎8.9‎ 若依据表中数据所画的散点图中，所有样本点都在曲线附近波动，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎9.已知函数，若对任意恒成立，则的最小值为（ ）‎ A. B. 0 C. 1 D. ‎ ‎10.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在（3，6）内的概率为（   ） 附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2‎ ‎），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544． A.0.2718 B.0.0456 C.0.3174 D.0.1359‎ ‎11.若多项式 ，则（ ）‎ A. 9 B. 10 C. -9 D. -10‎ ‎12.若函数 图像上存在两个点 ， 关于原点对称，则对称点 为函数 的“孪生点对”，且点对 与 可看作同一个“孪生点对”.若函数 恰好有两个“孪生点对”，则实数 的值为（ ） A.0 B.2 C.4 D.6‎ 第II卷（非选择题 90分）‎ 二、填空题(本大题共4个小题，共20分。)‎ ‎13.若函数f(x)＝－ x3＋ x2＋2ax在 上存在单调递增区间，则a的取值范围是    ．‎ ‎14.某学校有5个班级的同学一起到某工厂参加社会实践活动，该工厂5个不同的车间供学生选择，每个班级任选一个车间进行时间学习，则恰有2个班级选择甲车间，1个班级选择乙车间的方案有   种．‎ ‎15.设随机变量，随机变量，若，则_________.‎ ‎16.在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行：‎ 设实系数一元二次方程……①‎ 在复数集内的根为， ，则方程①可变形为，‎ 展开得.……②‎ 比较①②可以得到： ‎ 类比上述方法，设实系数一元次方程（且 ‎）在复数集内的根为， ，…， ，则这个根的积 __________．‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共70分。)‎ ‎17. (12分)已知函数，其中.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若对成立，求实数的取值范围.‎ ‎18. (12分)第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示. （1）写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数； （2）从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人. ①记 表示选取4人的成绩的平均数,求 ； ②记 表示测试成绩在80分以上的人数,求 的分布列和数学期望.‎ ‎19. (12分)已知某商品的价格 （元）与需求量 （件）之间的关系有如下一组数据：‎ x ‎14‎ ‎16‎ ‎18‎ ‎20‎ ‎22‎ y ‎12‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎（参考公式： ， ） 参考数据： 当n-2=3， , （1）求 , ; （2）求出回归直线方程 （3）计算相关系数r的值，并说明回归模型拟合程度的好坏。‎ ‎20. (12分)为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系.某重点高中数学教师对高三年级的50名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有22人，余下的人中，在高三年级模拟考试中数学平均成绩不足120分钟的占，统计成绩后，得到如下的列联表：‎ 分数大于等于120分钟 分数不足120分 合计 周做题时间不少于15小时 ‎4‎ ‎22‎ 周做题时间不足15小时 合计 ‎50‎ ‎（Ⅰ）请完成上面的列联表，并判断能否有99%以上的把握认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）按照分层抽样，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；‎ ‎（ii） 若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.‎ 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎21. (12分)在数列中， ， ，其中实数．‎ ‎(1)求，并由此归纳出的通项公式；‎ ‎(2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．‎ ‎22. (10分)现有一张长为，宽为（）的长方形铁皮，准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形的一个角上剪下一块边长为的正方形铁皮，作为铁皮容器的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体的高为，体积为.‎ ‎（Ⅰ）求关于的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）求该铁皮容器体积的最大值.‎ 滁州分校2017-2018学年下学期第二次月考试卷 高二理科数学 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B C D B D B C A B D D A ‎13.‎ ‎【解析】对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a ＝－ 2＋ ＋2a. 当x∈ 时，f′(x)的最大值为f′ ＝ ＋2a. 令 ＋2a＞0，解得a＞－ . 所以a的取值范围是 . ‎ ‎14.270‎ ‎【解析】恰有2个班级选择甲车间有C52=10种，1个班级选择乙车间有C31=3种， ‎ 还剩2个班级3个不同车间，每个班级有3种选择方法，由32=9种，‎ 根据分步计数原理可得共有10×3×9=270，‎ 故答案为：270‎ ‎15.6‎ ‎【解析】因，故，即，则，又随机变量，所以， ，应填答案。‎ ‎16.‎ ‎【解析】计算可得：‎ ‎①设方程a0x+a1=0的1个根是x1,则；‎ ‎②设方程a0x2+a1x+a2=0的2个根是x1,x2,则；‎ ‎③设方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0的3个根是x1,x2,x3,则；‎ ‎④设方程a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=0的4个根是x1,x2,x3,x4,则；‎ ‎…‎ 观察式子的变化规律，‎ 发现每一个方程的一个根都可能写成规律性的式子，‎ 是首项与尾项的分式形式，且符号是正负相间：‎ 依此类推,第n个式子是.‎ ‎17.（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）定义域为，当时， 在上是减函数，当时，由得，当时， ， 时， ， 在上是减函数，在上是增函数，综上，当时， 的单调减区间为，没有增区间，当时， 的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎（2）化为时， ，‎ 令，‎ 当时， ，‎ 在上是减函数， 即.‎ ‎18. 【解析】 （1）众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为 ，故该校这次测试成绩在70分以上的约有 （人） （2）①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94. 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类. 一类是82，88，93，94，共1种； 另一类是76，88，93，94，共3种.所以 . ②由题意可得， 的可能取值为0，1，2，3，4 , , , , . 的分别列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ .‎ ‎19. 【解析】 （1） （2）解： .‎ ‎ （3） ,拟合好.‎ ‎20.(1) 有99%以上的把握认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”;(2) ，，,，.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）‎ 分数大于等于120分钟 分数不足120分 合计 周做题时间不少于15小时 ‎18‎ ‎4‎ ‎22‎ 周做题时间不足15小时 ‎12‎ ‎16‎ ‎28‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎∵‎ ‎∴有99%以上的把握认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）由分层抽样知大于等于120分的有3人，不足120分的有2人.‎ 的可能取值为0,1,2，‎ ‎，，，‎ ‎（ⅱ）设从全校大于等于120分钟的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不到好于15小时的人数为随机变量，‎ 由题意可知（25,0.6），‎ 故，.‎ ‎21.(1) (2)见解析 ‎【解析】 ‎ ‎(1) 由，及 ‎ 得，‎ ‎ ‎ 于是猜测: ‎ ‎(2)下面用数学归纳法予以证明:‎ 当时，由显然结论成立．‎ 假设时结论成立，即 那么，当时，‎ 由 ‎ ‎ 显然结论成立．‎ 由、知，对任何都有 ‎ ‎22.（Ⅰ）（）.（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（（Ⅰ）由题意得，‎ 即（）.‎ ‎（Ⅱ）铁皮容器体积 （）.‎ ‎ ，‎ 当时，即，在上， 恒成立，函数单调递增，‎ 此时；‎ 当，即，在上， ，函数单调递增，在上， ，函数单调递减，此时.‎ 所以