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- 2021-06-30 发布
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2018-2019学年吉林省长春市第十一高中高一上学期期末考试 数学试题 (理科)
第Ⅰ卷(共48分)
一、选择题:本题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.设P是△ABC所在平面内的一点,,则( )
A. B. C. D.
2.设函数,x∈R,则f(x)是( )
A.最小正周期为π的偶函数 B. 最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为π的奇函数
3.函数在区间上的所有零点之和等于( )
A. -2 B. 0 C. 3 D. 2
4.已知是以为圆心的圆上的动点,且,则( )
A. B. C. D.
5.函数的最大值为( )
A.2 B. C. D.4
6. 函数的图像大致为 ( )
A. B. C. D.
7.为了得到函数的图象,只需将函数图象上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度
8.实数满足,则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
9.函数的部分图象如图所示,则的值为( )
A. B. C. D.
10.已知函数,且,则( )
A. 3 B. C.9 D.
11.已知定义在R上的奇函数f(x)满足,当时,,则( )
A. B.
C. D.
12.已知函数,若存在四个互不相等的实数根,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共82分)
二、填空题:本题共4小题,每小题4分,共16分.
13. 已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在第________象限.
14. 在△ABC中,已知CB=8,CA=5,△ABC的面积为12,则cos2C=________.
15. 在正方形ABCD中,E是线段CD的中点,若,则________.
16.定义:关于的两个不等式和的解集分别为和,则称这两个不等式为相连不等式.如果不等式与不等式为相连不等式,且,则_________.
三、解答题:本题共6小题,共66分.
17.( 本小题满分10分)
已知向量的夹角为.
(1)求 ;
(2)若,求的值.
18.( 本小题满分10分)
已知,
(1)求的值;(2)求的值;
(3)求的值.
19.( 本小题满分12分)
已知A(2,0),B(0,2),,O为坐标原点.
(1),求sin 2θ的值;
(2)若,且θ∈(-π,0),求与的夹角.
20.(本小题满分12分)
已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)记集合,,判断与的关系;
(3)当时,若函数值域为,求的值.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)求的值;
(2)若函数在区间是单调递增函数,求实数的取值范围;
(3)若关于的方程在区间内有两个实数根,记,求实数的取值范围 .
22.(附加题,本小题满分10分,该题计入总分)
已知函数,若在区间内有且仅有一个,使得成立,则称函数具有性质.
(1)若,判断是否具有性质,说明理由;
(2)若函数具有性质,试求实数的取值范围.
数学试题理科参考答案
一、选择题
1.B 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C 7.B 8.A 9.D 10.C 11.B 12.D
二、填空题
13. 二 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解:(1)由题意得,……2分
∴……5分
(2)∵,∴,……7分
∴,∴,
∴ ……10分
18.解:(1)∵, ,
∴∴ …………3分
(2).…………6分
(3)…………10分
19. 解:(1)∵=(cos θ,sinθ)-(2,0)=(cos θ-2,sin θ),
=(cos θ,sin θ)-(0,2)=(cos θ,sin θ-2), ……2分
=cos θ(cos θ-2)+sin θ(sin θ-2)=cos2θ-2cos θ+sin2θ-2sin θ
=1-2(sin θ+cos θ)= ∴sin θ+cos θ=, ……4分
平方得 1+2sin θcos θ= ∴sin 2θ=-1=-. ……6分
(2)∵=(2,0),=(cos θ,sin θ),
∴+=(2+cos θ,sin θ), ……8分
∵|+|=,所以4+4cos θ+cos2θ+sin2θ=7,
∴4cos θ=2,即cos θ=.
∵-π<θ<0,∴θ=-, ……10分
又∵=(0,2),=,
∴cos〈,〉=,∴〈,〉=. ……12分
20解:(1)∵为偶函数,∴ ,
即
即: R且,∴ ……3分
(2)由(1)知: 当时,;当时,∴…5分
而==,
∴. ……7分
(3) ∵,∴在上单调递增. ……9分
∴,∴,即,
∴m,n是方程的两个根, ……11分
又由题意可知,且,∴
∴. ……12分
21. 解:(1)∵
……2分
∴ ……3分
(2)由,得,
∴在区间上是增函数 ……5分
∴当时,在区间上是增函数
若函数在区间上是单调递增函数,则 ……6分
∴,解得 ……7分
(3)方程在区间内有两实数根等价于直线与曲线 有两个交点. ……8分
∵当时,由(2)知在上是增函数,在上是减函数,且,,,∴
即实数的取值范围是 ……10 分
∵函数的图像关于对称
∴,∴ ……11分
∴实数的取值范围为. ……12分
22.解:(1)具有性质.
依题意,若存在,使,
则时有,即,,.……2分
由于,所以.又因为区间内有且仅有一个,
使成立,
所以 具有性质 …………4分
(2)依题意,若函数具有性质,
即方程 在上有且只有一个实根.
设,即在上有且只有一个零点,
依题意,
(1)由得,,解得或.……6分
同时需要考虑以下三种情况:
(2)由解得. …………7分
(3)由解得不等式组无解.…………8分
(4)由解得解得.…………9分
综上所述,若函数具有性质,实数的取值范围是
或或 …………10分