【数学】2018届高考一轮复习人教A版第十二节函数与方程学案 11页

第十二节 函数与方程 1． 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．‎ 2． 根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．‎ 1． 考查具体函数的零点个数和零点的取值范围．‎ 2． 利用函数零点求解参数的取值范围．‎ 3． 考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化思想和数形结合思想．‎ 一、函数零点 ‎1．定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．‎ ‎2．函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．‎ ‎3．零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.‎ ‎4．对函数零点的认知：(1)并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝. ‎ ‎(2)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根．‎ 二、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 ‎(x1,0)，(x2,0)‎ ‎(x1,0)‎ 无交点 零点个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 三、二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零点分布情况 根的分布(m＜n＜p为常数)‎ 图象 满足的条件 x1＜x2＜m (两根都小于m)‎ m＜x1＜x2 (两根都大于m)‎ x1＜m＜x2 (一根大于m，一根小于m)‎ f(m)＜0‎ x1，x2∈(m，n) (两根位于m，n之间)‎ m＜x1＜n＜x2＜p (两根分别位于m与n，n与p之间)‎ 只有一根在m，n之间 或f(m)·f(n)＜0‎ 四、二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．‎ 考向一 确定函数零点所在区间 例1．方程log3x＋x＝3的根所在的区间为(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)‎ ‎2．函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是(　　)‎ A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(1,2)与(2,3)‎ ‎3．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)‎ 判断函数零点所在区间的方法：‎ 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．‎ 考向二 判断函数零点的个数 例1．函数f(x)＝x－()的零点个数为(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎2．函数f(x)＝x2－在x∈R上的零点的个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎3．函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内(　　)‎ A．没有零点 B．有且仅有一个零点 C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点 ‎ ‎ ‎ 判断函数零点个数的方法：‎ ‎1．解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；‎ ‎2．零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；‎ ‎3．数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ 考向三 函数零点的应用 例1．已知函数g(x)＝x＋(x＞0)．若g(x)＝m有实数根，求m的取值范围；‎ ‎2．若函数f(x)＝－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．[－1，＋∞)‎ 3． 已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．‎ ‎ 已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法和思路：‎ ‎1．直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎2．分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎3．数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.‎ 思想方法 解决方程根问题的一大“利器”——数形结合 利用函数处理方程解的问题，方法如下：‎ ‎1．方程f(x)＝a在区间I上有解⇔a∈{y|y＝f(x)，x∈I}，⇔y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有交点．‎ ‎2．方程f(x)＝a在区间I上有几个解⇔y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有几个交点．‎ 一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答．‎ ‎☆答题模版1．偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x)＝()在x∈[0,4]上解的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎ ‎ ‎【解析】根据f(x－1)＝f(x＋1)可得函数f(x)的周期为2，根据函数f(x)是偶函数以及f(x－1)＝f(x＋1)可得f(1－x)＝f(1＋x)，所以这个函数的图象关于直线x＝1对称．根据函数f(x)在[0,1]上的解析式可以画出函数f(x)在[0,4]上的图象，结合图象可得函数f(x)＝()在[0,4]上有4个解．‎ ‎【答案】D ‎2．已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(1,3) B．(0,3) C．(0,2) D．(0,1)‎ ‎【解析】画出函数f(x)的图象如图所示，‎ ‎ ‎ 观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0＜a＜1.‎ ‎【答案】D 一、选择（本大题共6小题，每题5分，共30分）‎ ‎1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)‎ ‎　 ‎ A B C D ‎2．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间为(　　)‎ A．(2,4) B．(3,4) C．(2,3) D．(2.5,3)‎ ‎3．若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个零点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－1,1) B．(－2,2) ‎ C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ ‎4．函数f(x)＝log2x＋x－4的零点所在的区间是(　　)‎ A．(，1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)‎ ‎5．函数f(x)＝＋3x的零点个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎ ‎ ‎6．唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，那么下列命题中正确的是(　　)‎ A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C．函数f(x)在区间[2,16)上无零点 D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点 二、填空（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎7．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．‎ ‎8．函数y＝()有两个零点，则m的取值范围是________．‎ ‎9．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在零点，则实数a的取值范围是________．‎ ‎10．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．‎ 第十二节 函数与方程 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)‎ ‎1．函数f(x)＝ln(x＋1)－的一个零点所在的区间是(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)‎ ‎2．已知函数f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,3)内近似解的过程中，取区间中点x0＝2，那么下一个有根区间为(　　)‎ A．(1,2) B．(2,3) C．不能确定 D．(1,2)或(2,3)都可以 ‎3．函数f(x)＝log2x－x＋2的零点个数为(　　)‎ A．0 B．1 C．3 D．2‎ ‎4．函数f(x)=2x-cosx在[0,+∞)内　(　　)‎ A．没有零点 B．有且仅有一个零点 C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点 ‎5．设函数f(x)的定义域为R，f(x)＝且对任意的x∈R都有f(x＋1)＝f(x－1)，若在区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－mx－m恰有四个不同零点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[0，] B．[0，) C．(0，] D．(0，]‎ ‎6．设x1，x2是方程ln|x－2|＝m(m为实常数)的两根，则x1＋x2的值为(　　)‎ A．4 B．2 C．－4 D．与m有关 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)‎ ‎7．函数f(x)＝的零点个数为________．‎ ‎8．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x2.若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围为________．‎ ‎9．(2014·南宁模拟)已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________.‎ 三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分)‎ ‎10．(15分) 若函数F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．‎ ‎11．(15分) 已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．‎ ‎12．(15分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．‎ ‎(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；‎ ‎(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．‎ 第十二节 函数与方程 考向一：例1．【解析】法一：方程log3x＋x＝3的根即是函数f(x)＝log3x＋x－3的零点，由于f(2)＝log32＋2－3＝log32－1<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0且函数f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．∴函数f(x)的零点即方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2,3)．‎ ‎ ‎ 法二：方程log3x＋x＝3的根所在区间即是函数y1＝log3x与y2＝3－x交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2,3)．【答案】C ‎2．【解析】f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)．当10，所以f(x)>0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点．f(2)＝1－ln 1＝1，f(3)＝－ln 2＝＝，∵＝2≈2.828>e，∴8>e2，即ln 8>2，即f(3)<0，又f(4)＝－ln 3<0，∴f(x)在(2,3)内存在一个零点．【答案】B 3．【解析】由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得00，所以f(x)＝x－x在定义域内有唯一零点．【答案】B 2．【解析】注意到f(－1)×f(0)＝×(－1)<0，因此函数f(x)在(－1,0)上必有零点．又f(2)＝f(4)＝0，因此函数f(x)的零点个数是3.【答案】C 3．【解析】令f(x)＝－cos x＝0，则＝cos x，设函数y＝和y＝cos x，在同一坐标系下做出它们在[0，＋∞)的图象，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内有且仅有一个零点．【答案】B 考向三：例1．【解析】法一：∵g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因此，只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．故当g(x)＝m有实数根时，m的取值范围为[2e，＋∞)．法二：作出g(x)＝x＋(x＞0)的大致图象如图：可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.故当g(x)＝m有实数根时，m的取值范围为[2e，＋∞)．‎ ‎ ‎ ‎2．【解析】令g(x)＝ax(a>0，且a≠1)，h(x)＝x＋a，分01两种情况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f(x)＝ax－x－a有两个不同的零点，则函数g(x)，h(x)的图象有两个不同的交点，根据画出的图象只有当a>1时符合题目要求．‎ ‎ 【答案】A ‎3．【解析】在同一坐标系中作出f(x)＝及y＝k的图象，如图．‎ ‎ ‎ 可知，当0或a<－1‎ ‎10．【答案】(－2,0)‎ 能力提升:1-6．BADBDA 7．【答案】2 8．【答案】 9．【答案】5‎ ‎10．【解析】若F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，即|4x－x2|＋a＝0有四个根，即|4x－x2|＝－a有四个根．令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.则作出g(x)的图象，‎ ‎ ‎ 由图象可知要使|4x－x2|＝－a有四个根，则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点，‎ ‎∴0<－a<4，即－40)的大致图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，∴f(x)的图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．‎ ‎12．【解析】(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.∴函数f(x)的零点为3或－1.(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，∴b2－4a(b－1)>0‎ 恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0