2018届二轮复习计数原理、二项式定理课件（全国通用） 78页

第一讲　 计数原理、二项式定理 【 必备知识 】 1. 排列 排列数公式： =n(n-1) … (n-m+1)=_________ (m≤n ， m ， n∈N * ). 2. 组合 (1) 组合数公式： =_________________ =___________ (m≤n ， m ， n∈N * ). 由于 0 ！ =1 ，所以 =1. (2) 组合数的性质 3. 二项式定理 (1) 二项展开式： 通项： T k+1 =________.(k=0 ， 1 ， 2 … n) (2) 二项式系数的有关性质： ①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数 项的二项式系数的和，即 = ； 2 n-1 ② 若 f(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + … +a n x n ， 则 f(x) 展开式中的各项系数和为 f(1) ， 奇数项系数和为 a 0 +a 2 +a 4 + … = ， 偶数项系数之和为 a 1 +a 3 +a 5 + … =__________. 【 真题体验 】 1.(2016· 全国卷 Ⅱ) 如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( 　　 ) A.24 B.18 C.12 D.9 【 解析 】 选 B.E→F 有 6 种走法， F → G 有 3 种走法，由分步乘法计数原理知，共 6 × 3=18 种走法 . 2.(2017· 全国卷 Ⅱ) 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有 ( 　　 ) A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种 【 解析 】 选 D. 由题意 4 项工作分配给 3 名志愿者，分 配方式只能为 (2 ， 1 ， 1) ，所以安排方式有 =36( 种 ). 3.(2017· 全国卷 Ⅰ) (1+x) 6 展开式中 x 2 的系 数为 ( 　　 ) A.15 B.20 C.30 D.35 【 解析 】 选 C. (1+x) 6 展开式中含 x 2 的项为 1· x 2 + · x 4 =30x 2 ，故 x 2 的系数为 30. 4.(2015· 全国卷 Ⅰ)(x 2 +x+y) 5 的展开式中， x 5 y 2 的系数为 ( 　　 ) A.10 B.20 C.30 D.60 【 解析 】 选 C. 在 (x 2 +x+y) 5 的 5 个因式中， 2 个取因式中 x 2 ，剩余的 3 个因式中 1 个取 x ，其余因式取 y ，故 x 5 y 2 的系数为 =30. 【 大数据易错点 】 排序 1. 忽视顺序致误：解决排列组合问题时，易忽略题设中的问题与顺序是否有关这一条件，进而将排列与组合混淆，导致错误结论 . 排序 2. 混淆两个系数致误：二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数容易混淆，要注意它们的区别 . 排序 3. 忽视 k 的取值范围致误：在利用二项展开式的通项公式求某一特定项时， k=0 ， 1 ， 2 ， … ， n ，易漏掉 k=0 的情况 . 排序 4. 忽视排列中“相同元素”致误：某些应用选取元素时允许重复，只能用两个原理或转化为组合求解 . 热点考向一　两个计数原理的应用 命题解读：主要考查两个计数原理的简单应用，有时会与概率相结合，以选择题、填空题为主 . 【 典例 1】 (1)(2016· 全国卷 Ⅲ) 定义“规范 01 数列” {a n } 如下： {a n } 共有 2m 项，其中 m 项为 0 ， m 项为 1 ，且对任意 k≤2m ， a 1 ， a 2 ， … ， a k 中 0 的个数不少于 1 的个数 . 若 m=4 ，则不同的“规范 01 数列”共有 ( 　　 ) A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个 (2)(2017· 长沙一模 ) 设集合 A={(t 1 ， t 2 ， t 3 )|t i ∈ {-2 ， 0 ， 2} ， i=1 ， 2 ， 3} ，则集合 A 中满足条件：“ 1<|t 1 |+|t 2 |+|t 3 |<6” 的元素个数为 ________. 【 解题导引 】 (1) 依题设可知： a 1 =0 ， a 2m =1 ，然后按照前四位 4 个 0 ， 3 个 0 ， 2 个 0 分类一一列出即可得出答案； (2) 对于 1<|t 1 |+|t 2 |+|t 3 |<6 ，可分 |t 1 |+|t 2 | +|t 3 |=2 ， 4 两类进行分类讨论求解 . 【 规范解答 】 (1) 选 C. 由题意得必有 a 1 =0 ， a 2m =1 具体情况如下： 00001111 ， 00010111 ， 00011011 ， 00011101 ， 00100111 ， 00101011 ， 00101101 ， 00110011 ， 00110101 ， 01000111 ， 01001011 ， 01001101 ， 01010011 ， 01010101 ；共 14 个 . (2) 对于 1<|t 1 |+|t 2 |+|t 3 |<6 ，可分以下几种情况： ① |t 1 |+|t 2 |+|t 3 |=2 ，即此时集合 A 的元素含有一个 2 或 -2 ，两个 0.2 或 -2 从三个位置选一个有 3 种选法，剩下的位置都填 0 ，这种情况有 6 种； ② |t 1 |+|t 2 |+|t 3 |=4 ，即此时集合 A 含有两个 2 或 -2 ，一个 0 ；或者一个 2 ，一个 -2 ，一个 0. 当是两个 2 或 -2 ，一个 0 时，从这三个位置任选一个填 0 ，剩下的两个位置都填 2 或 -2 ，这种情况有 3×2=6 种； 当是一个 2 ，一个 -2 ，一个 0 时，对这三个的全排列即得到 3×2×1=6 种 . 由分类加法计数原理可知：集合 A 中满足条件： “ 1<|t 1 |+|t 2 |+|t 3 |<6 ” 的元素个数为 6+6+6=18. 答案： 18 【 易错警示 】 解答本题易出现以下两种错误： 一是对满足条件“ 1<|t 1 |+|t 2 |+|t 3 |<6” 不会分类讨论，造成思路受阻；二是分类不对造成错解 . 【 规律方法 】 应用两个计数原理的二个技巧 一是先分类再分步，每步中又可能用到分类加法计数原理，也可能先分类，每一类中用到分步乘法计数原理；二是可恰当地列出示意图或表格，使问题形象化、直观化 . 【 变式 1+1】 1.(2017· 南昌二模 ) 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组” . 在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 ________. 【 解析 】 由题意知本题是一个分类计数问题，一个长方体的面可以和它相对的面上的 4 条棱和两条对角线组成 6 个平行线面组，一共有 6 个面，共有 6 × 6=36 种结果，长方体的 1 个对角面组成两组，共有 6 个对角面，共有 12 种结果，根据分类计数原理知共有 36+12=48 种结果 . 答案： 48 2.( 新题预测 ) 无重复数字的五位数 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ，当 a 1 a 3 ， a 3 a 5 时称为波形数，则由 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 任意组成的一个没有重复数字的波形五位数有 ________ 个 . 世纪金榜导学号 92494062 【 解析 】 将 5 排在 a 2 位置， 4 排在 a 4 位置，其余三个数可以任意排列，共有 3×2×1=6 种排法； 5 、 4 交换位置又有 6 种方法；将 5 排在 a 2 位置， 3 排在 a 4 位置，则 4 只能排在 a 1 的位置，其余两个数有 2 种排列方法； 5 ， 3 交换位置又有两种方法 . 由分类加法计数原理可得：共有 6+6+2+2=16 个 . 答案： 16 【 加练备选 】 6 名志愿者选 4 人去“鸟巢”和“水立方”实地培训，每处 2 人，其中乙不能去“水立方”，则选派方法有 ( 　　 ) A.60 种 B.70 种 C.80 种 D.90 种 【 解析 】 选 A. 若乙被选上，则乙不能去水立方，只能 去鸟巢，共有 =30 种选派方法，若乙不被选上， 共有 =30 种选派方法，所以共有 30+30=60 种选派 方法 . 热点考向二　排列与组合的简单应用 命题解读：主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，有时会与概率相结合，以选择题、填空题为主 . 【 典例 2】 (1)(2017· 南昌一模 ) 某学校高三年级有 2 个文科班， 3 个理科班，现每个班指定 1 人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是 ( 　　 ) A.24 B.32 C.48 D.84 (2) 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60° 的共有　世纪金榜导学号 92494063( 　　 ) A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对 (3)(2017· 洛阳一模 ) 要从 3 名骨科和 5 名内科医生中选派 3 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 __________( 用数字作答 ). 【 解题导引 】 (1) 分 3 步进行分析，由分步计数原理计算可得答案 (2) 找出与一个面上的两条对角线成 60° 的角的直线对数，再乘以 6 进行分析即可求解，或用间接法求解 . (3) 可考虑用间接法求解，即从总体中减去 “ 全是骨科 ” 和 “ 全是内科医生 ” 的情况，即可得出答案 . 【 规范解答 】 (1) 选 A. 根据题意，分 3 步进行分析： ①在 3 个理科班中选 2 个班，去检查 2 个文科班，有 =6 种情况； ②剩余的 1 个理科班的学生不能检查本班，只能检查其他的 2 个理科班，有 2 种情况， ③ 将 2 个文科班学生全排列，安排检查剩下的 2 个理科 班，有 =2 种情况； 则不同安排方法的种数 6×2×2=24 种 . (2) 选 C. 方法一：直接法：如图， 在上底面中选 B 1 D 1 ，四个侧面中 的对角线都与它成 60° ，共 8 对， 同样 A 1 C 1 对应的也有 8 对，因此一个面上的 2 条面对角 线与其相邻的 4 个面上的 8 条对角线共组成 16 对，又 正方体共有 6 个面，所以共有 16×6=96( 对 ) ，又因为 每对被计算了 2 次，因此成 60° 的面对角线有 ×96 =48( 对 ). 方法二：间接法：正方体的 12 条面对角线中，任意两 条垂直、平行或成角为 60° ，所以成角为 60° 的共有 -12-6=48( 对 ). (3) 共 8 名医生， 2 个科类，要求每个科类至少 1 名医生， “ 骨科和内科医生都至少有 1 人 ” 的对立事件是 “ 全是骨科或全是内科医生 ” . 若从这 8 名医生中任选 3 名，不同的选法有 种； 其中全为骨科医生的选法只有 1 种，全为内科医生的 选法有 种 . 所以所求选派方法有 -1- =56-1-10=45( 种 ). 答案： 45 【 易错警示 】 解题 (3) 时易出现从骨科和内科医生中各选一人，再从剩余的人中选出一人，共有 90 种选法的错误，此种错误的原因是出现了重复的情况 . 【 母题变式 】 若题 (2) 变为：若两条异面直线所成的角为 60° ，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有 __________ 对 . 【 解析 】 依题意，注意到在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，与直线 AC 构成异面直线且所成的角为 60 ° 的直线 有 BC 1 ， BA 1 ， A 1 D ， DC 1 ，注意到正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 共有 12 条面对角线，可知所求的 “ 黄金异面直线对 ” 共有 =24 对 . 答案： 24 【 规律方法 】 1. 求解排列、组合问题的关注点 排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘 . 2. 排列、组合应用问题的常见解法 (1) 特殊元素 ( 特殊位置 ) 优先安排法 . (2) 相邻问题捆绑法 . (3) 不相邻问题插空法 . (4) 定序问题缩倍法 . (5) 多排问题一排法 . (6)“ 小集团”问题先整体后局部法 . (7) 构造模型法 . (8) 正难则反，等价转化法 . 【 变式 1+1】 1.(2017· 太原一模 ) 大数据时代出现了滴滴打车服 务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普 遍存在，某城市关系要好的 A ， B ， C ， D 四个家庭各有 两个小孩共 8 人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、 乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 名 ( 乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置 ) ，其中 A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有 ( 　　 ) A.18 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种 【 解题导引 】 分 2 种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案 . 【 解析 】 选 B. 根据题意，分 2 种情况讨论： ① A 户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要 来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选 2 个，再从每个家庭的 2 个小孩中任选一个，来乘坐甲 车，有 =12 种乘坐方式； ②A 户家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三 个家庭中任选 1 个，让其 2 个小孩都在甲车上，对于剩 余的 2 个家庭，从每个家庭的 2 个小孩中任选一个，来 乘坐甲车，有 =12 种乘坐方式；则共有 12+12=24 种乘坐方式 . 2.( 新题预测 ) 九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休老教师晚会，学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目，其中歌曲有 2 个节目，小品有 2 个节目，相声有 1 个节目，要求相邻的节目艺术形式不能相同，则不同的编排种数为　世纪金榜导学号 92494064( 　　 ) A.96 B.72 C.48 D.24 【 解析 】 选 C. 第一类，先选择一个小品插入到 2 个歌 曲之间，另一个小品放在歌曲的两边，这时形成了 5 个空，将相声插入其中一个，故有 =40 种， 第二类，相声插入歌曲之间，再把小品插入歌曲两 边，有 =4 种，第三类，相声插入小品之间，再把 歌曲插入小品两边，有 =4 种，根据分类计数原理 可得，共有 40+4+4=48. 【 加练备选 】 (2017· 九江一模 )8 名学生和 2 位老师站成一排合影， 2 位老师不相邻的排法种数为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 不相邻问题用插空法， 8 名学生先排有 种排法，产生 9 个空， 2 位老师插空有 种排法，所 以共有 种排法 . 热点考向三　二项式定理及其应用 考情分析 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 卷 Ⅰ 卷 Ⅱ 卷 Ⅰ 卷 Ⅱ 卷 Ⅰ 卷 Ⅱ 卷 Ⅲ 卷 Ⅰ 卷 Ⅱ 卷 Ⅲ T13 5 分 T13 5 分 T10 5 分 T15 5 分 T14 5 分 T6 5 分 T4 5 分 题型解读 主要考查二项式定理中的通项、二项式系数、二项式特定项 ( 指定项 ) ，以选择题、填空题为主 . 类型一 与特定项有关的问题 【 典例 3】 (1)(2017· 全国卷 Ⅲ)(x+y)(2x-y) 5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为 ( 　　 ) A.-80 　　　 B.-40 　　　 C.40 　　　 D.80 (2)(2017· 汉中一模 ) 的展开式中整理后的常数项为 __________. 　世纪金榜导学号 92494065 【 解题导引 】 (1) 利用通项公式求解 . (2) 先将代数式化为二项式，再依据二项式定理写出通项公式，由通项公式再求常数项即可 . 【 规范解答 】 (1) 选 C. 由二项式定理可得，原式展开式 中含 x 3 y 3 的项为： x · (2x) 2 (-y) 3 +y · (2x) 3 (-y) 2 =-40x 3 y 3 +80x 3 y 3 =40x 3 y 3 ， 故展开式中 x 3 y 3 的系数为 40. (2) 的通项公式： T r+1 = 令 5-r=0 ，解得 r=5. 所以 常数项 = =252. 答案： 252 类型二 展开式中系数的和 【 典例 4】 (2015· 全国卷 Ⅱ)(a+x)(1+x) 4 的展开式中 x 的奇数次幂的项的系数之和为 32 ，则 a=_______. 世纪金榜导学号 92494066 【 解题导引 】 先设出展开式，再用赋值法，分别令 x=1 ， x=-1 ，将两式相减，再利用奇数次幂项的系数之和求 a. 【 规范解答 】 设 (a+x)(1+x) 4 =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 + a 4 x 4 +a 5 x 5 ， 令 x=1 ，得 16(a+1)=a 0 +a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 ，① 令 x=-1 ，得 0=a 0 -a 1 +a 2 -a 3 +a 4 -a 5 .② ①-② ，得 16(a+1)=2(a 1 +a 3 +a 5 ) ，即展开式中 x 的奇数次幂的项的系数之和为 a 1 +a 3 +a 5 =8(a+1) ， 所以 8(a+1)=32 ，解得 a=3. 答案： 3 【 规律方法 】 与二项式定理有关的题型及解法 类型 解法 求特定项或其系数 常采用通项公式分析求解 系数的和或差 常用赋值法 近似值问题 利用展开式截取部分项求解 整除 ( 或余数 ) 问题 利用展开式求解 【 通关 1+1】 1.(2017· 西安一模 ) 已知 (x 2 +2x+3y) 5 的展开式中 x 5 y 2 的系数为 ( 　　 ) A.60 B.180 C.520 D.540 【 解析 】 选 D.(x 2 +2x+3y) 5 可看作 5 个 (x 2 +2x+3y) 相 乘，从中选 2 个 y ，有 种选法；再从剩余的三个括号 里边选出 2 个 x 2 ，最后一个括号选出 x ，有 种选 法；所以 x 5 y 2 的系数为 3 2 ·2· =540. 2.( 新题预测 )(ax+ ) 5 的展开式中 x 3 项的系数为 20 ，则实数 a=________. 【 解析 】 展开式的通项为 令 5- =3 得 r=4 ， 所以 a · =20 ，解得 a=4. 答案： 4 3.( 新题预测 ) 设 i 为虚数单位，则 (2i-x) 6 的展开式中含 x 4 项的系数为 __________. 【 解析 】 (2i-x) 6 的展开式中含 x 4 的系数为 ·(2i) 2 =-60. 答案： -60 【 加练备选 】 (2016· 四川高考 ) 设 i 为虚数单位，则 (x+i) 6 的展开式中含 x 4 的项为 ( 　　 ) A.-15x 4 B.15x 4 C.-20ix 4 D.20ix 4 【 解析 】 选 A. 二项式 展开的通项 T r+1 = x 6-r i r ，则 其展开式中含 x 4 的项是当 6-r=4 ，即 r=2 ，则展开式中 含 x 4 的项为 x 4 i 2 =-15x 4 .