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- 2021-06-30 发布
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核心素养测评九 幂函数与二次函数
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图像关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为 ( )
A.-3 B.1 C.2 D.1或2
【解析】选B.由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1符合题意.
2.(2020·成都模拟)已知幂函数f(x)=xα,当x>1时,恒有f(x)1时,恒有f(x)1时,函数f(x)=xα的图像在y=x的图像的下方,由幂函数的图像与性质可判断α<1时满足题意.
3.(2020·合肥模拟)已知函数f(x)=x2-2x+4在区间[0,m](m>0)上的最大值为4,最小值为3,则实数m的取值范围是 ( )
A.[1,2] B.(0,1]
C.(0,2] D.[1,+∞)
【解析】选A.作出函数的图像如图所示,从图中可以看出当1≤m≤2时,函数f(x)=x2-2x+4在区间[0,m](m>0)上的最大值为4,最小值为3.
4.(2020·淮安模拟)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图像上,设a=f,b=f(ln π),c=f,则a,b,c的大小关系为 ( )
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A.c0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是 ( )
【解析】选D.由A,C,D知,f(0)=c<0.因为abc>0,所以ab<0,所以对称轴x=->0,知A、C错误,D符合要求.由B知f(0)=c>0,所以ab>0,所以x=-<0,B错误.
6.(2020·南昌模拟)已知正实数a,b,c满足loga2=2,log3b=,c6=,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a0,即b2>4ac,①正确.对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误.结合图像,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误.由对称轴为x=-1知,b=2a.又函数图像开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a0.那么f(x)的零点是________________;若f(x)的值域是,则c的取值范围是________________.
【解析】当0≤x≤c时,由=0得x=0.当-2≤x<0时,由x2+x=0,得x=-1,所以函数f(x)的零点为-1和0.当0≤x≤c时,f(x)=,所以0≤f(x)≤;当-2≤x<0时,f(x)=x2+x=-,所以此时-≤f(x)≤2.若f(x)的值域是,则有≤2,即0b>c,a+b+c=0,集合A={m|f(m)<0},则
( )
A.∀m∈A,都有f(m+3)>0
B.∀m∈A,都有f(m+3)<0
C.∃m∈A,使得f(m+3)=0
D.∃m∈A,使得f(m+3)<0
【解析】选A.由a>b>c,a+b+c=0可知a>0,c<0,且f(1)=0,f(0)=c<0,
即1是方程ax2+bx+c=0的一个根,
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当x>1时,f(x)>0.由a>b,得1>,
设方程ax2+bx+c=0的另一个根为x1,
则x1+1=->-1,即x1>-2,
由f(m)<0可得-20.
3.(5分)(2019·抚州模拟)若对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则a的取值范围是________________.
【解析】因为对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,函数y=x3在R上单调递增,所以3x+a≤2x在x∈[a,a+2]上恒成立,即x+a≤0,所以a+2+a≤0,得到a≤-1.
答案:(-∞,-1]
4.(10分)函数y=F(x)的图像如图所示,该图像由指数函数f(x)=ax与幂函数g(x)=xb“拼接”而成.
(1)求F(x)的解析式.
(2)比较ab与ba的大小.
(3)若(m+4)-b<(3-2m)-b,求m的取值范围.
【解析】(1)依题意得解得
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所以F(x)=
(2)因为ab==,ba=,指数函数y=单调递减,所以<,即ab0,解得-10时,因为-g(-1)=-(2-3q)
=≥0,所以g(x)max==,
g(x)min=g(-1)=2-3q=-4.解得q=2.
②当q<0时,g(x)max=g(-1)=2-3q=,
g(x)min==-4,q不存在.
综上所述,存在q=2满足题意.
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