2018届二轮复习概率与统计学案（全国通用） 31页

专题16 概率与统计 ‎1．以客观题形式考查抽样方法，样本的数字特征和回归分析，独立性检验的基本思路、方法及相关计算与推断．‎ ‎2．本部分较少命制大题，若在大题中考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．‎ ‎3．以客观题形式考查古典概型与几何概型、互斥事件与对立事件的概率计算．‎ ‎4．与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型．‎ 一、统计与统计案例 ‎ ‎1.抽样方法 三种抽样方法的比较 类别 ‎ 共同点 ‎ 各自特点 ‎ 相互联系 ‎ 适用范围 ‎ 简单随机抽样 ‎ 抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 ‎ 从总体中逐个抽取 ‎ 总体中的个体数较少 ‎ 系统抽样 ‎ 将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取 ‎ 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 ‎ 总体中的个体数较多 ‎ 分层抽样 ‎ 将总体分成几层，分层进行抽取 ‎ 分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 ‎ 总体由差异明显的几部分组成 ‎ ‎2.统计图表 ‎(1)在频率分布直方图中：‎ ‎①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝；②各小矩形面积之和等于1；③中位数左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值．‎ ‎(2)茎叶图 当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．‎ 当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)．‎ ‎3．样本的数字特征 ‎(1)众数 在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)．‎ ‎(2)中位数 样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．‎ ‎(3)平均数与方差 样本数据的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)．‎ 方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．‎ 注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．‎ ‎(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定．‎ ‎4．变量间的相关关系 ‎(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量x和y具有线性相关关系．‎ ‎(2)用最小二乘法求回归直线的方程 设线性回归方程为＝x＋，则 .‎ 注意：回归直线一定经过样本的中心点(，)，据此性质可以解决有关的计算问题．‎ ‎5．回归分析 r＝，叫做相关系数．‎ 相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越高，|r|越接近于0，相关程度越低．‎ ‎6．独立性检验 假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 y1‎ y2‎ 总计 x1‎ a b a＋b x2‎ c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 则K2＝，‎ 若K2>3.841，则有95%的把握说两个事件有关；‎ 若K2>6.635，则有99%的把握说两个事件有关；‎ 若K2<2.706，则没有充分理由认为两个事件有关.‎ ‎7.随机事件的概率 随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；‎ 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.‎ ‎8．古典概型 ‎①计算一次试验中基本事件的总数n；②求事件A包含的基本事件的个数m；③利用公式P(A)＝计算．‎ ‎9．一般地，如果事件A、B互斥，那么事件A＋B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎10．对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A和不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P()＝1－P(A)．‎ ‎11．互斥事件与对立事件的关系 对立必互斥，互斥未必对立．‎ ‎12．几何概型 一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝.‎ 考点一　几何概型 例1．【2017课标1，】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【变式探究】(2017·江苏卷)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率为＝.‎ ‎【变式探究】从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C　‎ ‎【解析】由题意知，＝，故π＝，即圆周率π的近似值为.‎ 考点二　古典概型 例2．‎ ‎(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)‎ A.　　　　B. C. D. ‎【答案】D ‎【2017山东】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】标有， ， ， 的张卡片中，标奇数的有张，标偶数的有张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ,选C.‎ ‎【变式探究】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ ‎【变式探究】(2017·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝＝.‎ 故选C.‎ 考点三　概率与其他知识的交汇 例3 、(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．‎ ‎(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．‎ ‎【变式探究】某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：‎ 消费次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次及以上 收费比例 ‎1‎ ‎0.95‎ ‎0.90‎ ‎0.85‎ ‎0.80‎ 该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：‎ 消费次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次及以上 频数 ‎60‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：‎ ‎(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；‎ ‎(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；‎ ‎(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．‎ ‎【解析】(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为＝0.4.‎ ‎(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为200－150＝50(元)．‎ 第2次消费时，公司获得的利润为200×0.95－150＝40(元)，所以，公司获得的平均利润为＝45(元)。‎ ‎(3)因为20：10：5：5＝4：2：1：1，所以用分层抽样方法抽出的8人中，消费2次的有4人，分别设 考点四　抽样方法 例1、(1)(2017·江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件；‎ ‎(2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示.‎ 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．‎ ‎【答案】18 4‎ ‎【解析】(1)∵ ＝＝，‎ ‎∴ 应从丙种型号的产品中抽取×300＝18(件)．‎ ‎(2)35人抽取7人，则n＝＝5，而在[139,151]上共有20人，应抽取4人． ‎ ‎【变式探究】某月月底，某商场想通过抽取发票存根的方法估计该月的销售总额．先将该月的全部销售发票的存根进行了编号，1,2,3，…，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本．若从编号为1,2,3，…，10的前10张发票的存根中随机抽取1张，然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第2张、第3张、第4张、……，则抽样中产生的第2张已编号的发票存根，其编号不可能是(　　)‎ A．13　 B．‎17 C．19 D．23‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为第一组的编号为1,2,3，…，10，所以根据系统抽样的定义可知第二组的编号为11,12,13，…，20，故第2张已编号的发票存根的编号不可能为23.‎ 考点五、　用样本估计总体 例5、(2016·四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0,0.5)，[0.5，1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎ ‎ ‎(1)求直方图中a的值；‎ ‎(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；‎ ‎(3)估计居民月均用水量的中位数．‎ ‎【解析】(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，‎ ‎(3)设中位数为x吨．‎ 因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5，‎ 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5，‎ 所以2≤x＜2.5.‎ 由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.‎ 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．‎ ‎【变式探究】一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是(　　)‎ A．3　　 B．‎4 ‎‎ C．5 D．6‎ ‎【答案】C 考点六　变量的相关性与统计案例 例6、(1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．‎ 根据该折线图，下列结论错误的是(　　)‎ A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎(2)(2017·山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其回归直线方程为＝x＋.已知i＝225，i＝1 600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为(　　)‎ A．160　　　　　B．163‎ C．166 D．170‎ ‎【解析】(1)根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少，所以A错误．‎ ‎【变式探究】已知变量x与y之间的回归直线方程为＝－3＋2x，若i＝17，则i的值等于(　　)‎ A．3 B．‎4 ‎‎ C．0.4 D．40‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意＝＝1.7，‎ 而直线＝－3＋2x一定经过样本点的中心(，)，所以＝－3＋2＝－3＋2×1.7＝0.4，所以i＝0.4×10＝4.‎ ‎1.【2017课标1，文2】为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 ‎【答案】B ‎【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B ‎【考点】样本特征数 ‎2.【2017课标1，文4】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【考点】几何概型 ‎3.【2017山东，文8】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为 A. 3，5 B. 5，‎5 C. 3，7 D. 5，7‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知中甲组数据的中位数为65，故乙数据的中位数为65，即y=5，可得乙数据的平均数为66，即甲数据的平均数为66，故 x=3，故选A.‎ ‎【考点】茎叶图、样本的数字特征 ‎4.【2017天津，文3】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】C ‎ ‎【考点】古典概型 ‎5.【2017课标II，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：‎ 总计有25种情况，满足条件的有10种.‎ 所以所求概率为.‎ ‎【考点】古典概型概率 ‎6.【2017课标3，文3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.‎ 根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【答案】A ‎【考点】折线图 ‎7.【2017江苏，7】 记函数的定义域为.在区间上随机取一个数,则的概率是 ▲ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是.‎ ‎【考点】几何概型概率 ‎8.【2017江苏，3】 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18．‎ ‎【考点】分层抽样 ‎9.【2017课标1，文19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：‎ 抽取次序 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 零件尺寸 ‎9．95‎ ‎10．12‎ ‎9．96‎ ‎9．96‎ ‎10．01‎ ‎9．92‎ ‎9．98‎ ‎10．04‎ 抽取次序 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 零件尺寸 ‎10．26‎ ‎9．91‎ ‎10．13‎ ‎10．02‎ ‎9．22‎ ‎10．04‎ ‎10．05‎ ‎9．95‎ 经计算得，，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．‎ ‎（1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？‎ ‎（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0．01）‎ 附：样本的相关系数，．‎ ‎【答案】（1），可以；（2）（ⅰ）需要；（ⅱ）均值与标准差估计值分别为10．02，0．09．‎ ‎【考点】相关系数，方差均值计算 ‎10.【2017课标II，文19】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：‎ （1） 记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于‎50kg”，估计A的概率；‎ （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量＜‎‎50kg 箱产量≥‎‎50kg 旧养殖法 新养殖法 （1） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。‎ 附：‎ P（）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）0.62.（2）有把握（3）新养殖法优于旧养殖法 ‎【解析】（1）旧养殖法的箱产量低于‎50kg的频率为 ‎ （0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62‎ 因此，事件A的概率估计值为0.62.‎ ‎(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量＜‎‎50kg 箱产量≥‎‎50kg 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ 程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.‎ ‎【考点】频率分布直方图 ‎11.【2017课标3，文18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）需求量不超过300瓶，即最高气温不高于，从表中可知有54天，‎ ‎∴所求概率为.‎ ‎（2）Y的可能值列表如下：‎ 最高气温 ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ Y ‎-100‎ ‎-100‎ ‎300‎ ‎900‎ ‎900‎ ‎900‎ ‎【考点】古典概型概率 ‎12.【2017山东，文】16(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游. ‎ ‎(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)‎ ‎【解析】 ‎ ‎（Ⅰ）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎ ，共个.‎ ‎【考点】古典概型 ‎13.【2017北京，文17】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；‎ ‎（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）5人；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由频率分布直方图知，‎ 分数在的频率为，‎ 分数在的频率为，‎ ‎【考点】频率分布直方图的应用 ‎1.【2016高考新课标1文数】为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为，选C.‎ ‎【考点】古典概型 ‎2. 【2016高考新课标2文数】‎ 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.‎ ‎3.[2016高考新课标Ⅲ文数]某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温 和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为‎150C，B点表示四月的平均最低气温约为‎50C．下面叙述不正确的是（ ）‎ A.各月的平均最低气温都在‎00C以上 B. 七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D. 平均气温高于‎200C的月份有5个 ‎【答案】D ‎【考点】统计图 ‎4.[2016高考新课标Ⅲ文数]小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】开机密码的可能有，‎ ‎，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ‎5.【2016高考山东文数】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的 频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）‎ A.56 B‎.60 ‎ C.120 D.140‎ ‎【答案】D ‎【考点】频率分布直方图 ‎6.【2016高考天津文数】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】甲不输概率为选A.‎ ‎7.【2016高考北京文数】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】从5名学生中随机选出2人有10种选法，甲被选中的情况有4种，故所求概率为，故选B.‎ ‎【考点】古典概型 ‎8.【2016高考北京文数】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.‎ 学生序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 立定跳远（单位：米）‎ ‎1.96‎ ‎1.92‎ ‎1.82‎ ‎1.80‎ ‎1.78‎ ‎1.76‎ ‎1.74‎ ‎1.72‎ ‎1.68‎ ‎1.60‎ ‎30秒跳绳（单位：次）‎ ‎63‎ a ‎75‎ ‎60‎ ‎63‎ ‎72‎ ‎70‎ a−1‎ b ‎65‎ 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则 A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 ‎ C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛 ‎【答案】B ‎9.【2016高考北京文数】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ‎①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；‎ ‎②这三天售出的商品最少有_______种.‎ ‎【答案】①16；②29 ‎ ‎【解析】①由于前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出但第二天未售出的有19–3=16种商品.答案为16．‎ ‎②第三天售出但第二天未售出的商品共有14种，且有1种商品第一天未售出，当三天售出的商品种数最少时，第三天售出但第二天未售出的14种商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29．分别用表示第一、二、三天售出的商品，如图是最少时的情形．故答案为29．‎ ‎【考点】统计分析 ‎10.【2016高考四川文科】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从2，3，8，9中任取两个数记为，作为对数的底数与真数，共有个不同的基本事件，其中为整数的只有两个基本事件，所以所求概率.‎ ‎【考点】古典概型 ‎11.【2016高考上海文科】某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将4种水果每两种分为一组，有种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为.‎ ‎12.【2016高考上海文科】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）.‎ ‎【答案】1.76‎ ‎13.‎ ‎【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：‎ 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,表示购机的同时购买的易损零件数.‎ ‎（I）若=19,求y与x的函数解析式；‎ ‎（II）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5,求的最小值；‎ ‎（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？‎ ‎【答案】（I）（II）19（III）19 ‎ ‎【解析】‎ 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 ‎ ‎【考点】函数解析式、概率与统计 ‎14.【2016高考新课标2文数】某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其 上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 保费 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求的估计值；‎ ‎（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.‎ 求的估计值；‎ ‎（III）求续保人本年度的平均保费估计值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）由求的估计值；（Ⅱ）由求的估计值；（III）根据平均值得计算公式求解.‎ ‎15.[2016高考新课标Ⅲ文数]下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 ‎（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎（II）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．‎ 附注：‎ 参考数据：，，，≈2.646.‎ 参考公式：相关系数 ‎ 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎．‎ ‎【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨．‎ ‎【解析】‎ 与的关系. ‎ ‎【考点】线性相关与线性回归方程的求法与应用 ‎16.【2016高考北京文数】（本小题13分）‎ 某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图： ‎ ‎（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？‎ ‎（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.‎ ‎【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由用水量的频率分布直方图知，‎ 组号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 分组 频率 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：‎ ‎（元）．‎ ‎【考点】频率分布直方图、频率、平均数的估计值.‎ ‎17.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）‎ 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：‎ ‎①若，则奖励玩具一个； ‎ ‎②若，则奖励水杯一个；‎ ‎③其余情况奖励饮料一瓶.‎ 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.‎ ‎（I）求小亮获得玩具的概率；‎ ‎（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.‎ ‎【答案】（）.（）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.‎ ‎【解析】用数对表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集一一对应.因为中元素个数是所以基本事件总数为 ‎【考点】古典概型 ‎18.【2016高考四川文科】（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）， [0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（I）求直方图中的a值；‎ ‎（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；‎ ‎（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.04．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.‎ 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.‎ ‎【考点】频率分布直方图